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Mercoledi' 23 settembre 2026 (ore 16-18) TEORIA DEGLI INSIEMI (Cap. I, Sez. 4)
CONNETTIVI e SIMBOLI LOGICI: "elemento di", "sottoinsieme di"; esiste; per-ogni; implicazioni; equivalenza; negazione; et; vel; aut.
INSIEMI: elementi, inclusione, intersezione, unione, insieme vuoto, differenza di due insiemi, complementare di un insieme, formule del DE MORGAN, insieme delle parti di un insieme (e sua cardinalita'), prodotto cartesiano di due insiemi.
RELAZIONI BINARIE: Relazioni di equivalenza, insieme quoziente, ESEMPI (rette del piano e loro parallelismo); Relazioni d'ordine, ESEMPI (insieme delle parti di un insieme). Ordine TOTALE.
ESERCIZIO: dimostrare le FORMULE DI DE MORGAN
Giovedi' 24 settembre 2026 (ore 9-12) CALCOLO COMBINATORIO E PRINCIPIO DI INDUZIONE (Cap.1, Sez. 11; Cap.2, Sez.13 e 14)
ELEMENTI DI CALCOLO COMBINATORIO: disposizioni D(n,k), permutazioni P(n), combinazioni C(n,k); n! fattoriale; (n su k) coefficiente binomiale; LEMMA/TRIANGOLO di Tartaglia. Simbolo di SOMMATORIA.
PRINCIPIO DI INDUZIONE: le tessere del domino; ESEMPI: somma di GAUSS; disuguaglianza di Bernoulli; 1 + x + x^2 + ... + x^n = (x^{n+1}-1)/(x-1) per x in R\{1}.
TEOREMA BINOMIALE DI NEWTON: teorema e sua dimostrazione
ESERCIZIO: dimostrare per induzione la FORMULA 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = n(n+1)(2n+1)/6
Mercoledi' 30 settembre 2026 (ore 16-18) INSIEMI NUMERICI (Cap.1, Sez.5; Cap.2, Sez.12)
NUMERI: naturali (N), interi relativi (Z), razionali (Q) e le loro operazioni.
TEOREMA (Pitagora) Radice di 2 NON e' razionale. Significato "filosofico" di questo risultato.
NUMERI REALI: definizione assiomatica (proprieta' algebriche, ordine TOTALE, e ASSIOMA DI COMPLETEZZA). ESEMPI (relativi agli elementi SEPARATORI)
ESERCIZIO 1: sia A = {(m,n): m,n ∈ Z, n > 0} e sia ~ la relazione su A definita da (m,n) ~(m',n') se mn'=nm'. Domostrare che ~ e' una relazione di EQUIVALENZA. Verificare che se (m_1,n_1) ~(m'_1,n'_1) e (m_2,n_2) ~(m'_1,n'_2) allora: (m_1n_2+m_2n_1,n_1n_2)~ (m'_1n'_2+m'_2n'_1,n'_1n'_2) e (m_1m_2,n_1n_2) ~(m'_1m'_2,n'_1n'_2). Dedurne che Q = A/~.
ESERCIZIO 2: dimostrare che RADICE(3) non e' razionale.
ESERCIZIO 3: dimostrare che RADICE(6) non e' razionale.
Giovedi' 1 ottobre 2026 (ore 9-12) INSIEMI NUMERICI (Cap.1, Sez.12; Cap.2, Sez.15)
NUMERI REALI: maggioranti; insiemi limitati superiormente/inferiormente; insiemi limitati
MASSIMO, MINIMO (se esistono) DI UN INSIEME DI NUMERI REALI. ESEMPI
ESTREMI SUPERIORE E INFERIORE DI UN INSIEME DI NUMERI REALI (teorema-definizione)
TEOREMA: N (insieme dei numeri naturali) non e' limitato (proprieta' ARCHIMEDEA)
TEOREMA: DENSITA' DI Q IN R (senza dimostrazione)
L'INSIEME DEI NUMERI COMPLESSI E LE LORO OPERAZIONI
SOMMA: proprieta' associativa e commutativa, elemento neutro, opposto di un numero complesso
PRODOTTO: proprieta' associativa e commutativa, elemento neutro, inverso (di un numero complesso non nullo); (0,1)^2 = -(1,0)
R come sottoinsieme di C e compatibilita' con le operazioni
RAPPRESENTAZIONE GEOMETRICA DEI NUMERI COMPLESSI: piano di Argand-Gauss; asse reale; asse immaginario; 1 = (1,0); i = (0,1) UNITA' IMMAGINARIA
RAPPRESENTAZIONE ALGEBRICA DEI NUMERI COMPLESSI: compatibilita' della rappresentazione algebrica con le operazioni; parte reale, parte immaginaria, coefficiente dell'immaginario.
CONIUGIO: interpretazione geometrica
MODULO DI UN NUMERO COMPLESSO: il valore assoluto di un numero reale a eguaglia il modulo del numero complesso a; il modulo di un numero complesso z come la distanza di z dallo zero 0 = (0,0); giustificazione della formula per l'inverso di un numero complesso (diverso da 0).
ESERCIZIO 1: dimostrare esistenza dell'ESTREMO INFERIORE di un sottoinsieme E di R limitato inferiormente.
ESERCIZIO 2: sia E un sottoinsieme di R limitato superiormente. Mostrare che M in R e' il supE se e solo se valgono le seguenti condizioni: (i) e ≤ M per ogni e in E; (ii) per ogni ε > 0 esiste e(ε) in M tale che M - ε ≤ e(ε).
Mercoledi' 7 ottobre 2026 (ore 16-18) NUMERI COMPLESSI (Cap.2, Sez.15)
FORMA TRIGONOMETRICA
Modulo, argomento (o anomalia), argomento principale, RADIANTI; esempi
Espressione del PRODOTTO di due numeri complessi in forma trigonometrica
Espressione del CONIUGATO/RECIPROCO di un numero complesso in forma trigonometrica
Espressione del RAPPORTO di due numeri complessi in forma trigonometrica
FORMULA DI DE MOIVRE
TEOREMA FONDAMENTALE DELL'ALGEBRA (solo enunciato): esempi
RADICI n-SIME DI UN NUMERO COMPLESSO:
TEOREMA (Esistenza e cardinalita' dell'insieme delle radici n-sime) Dato un numero complesso z non nullo, esistono esattamente n radici n-sime DISTINTE di z. In particolare, se rappresentate graficamente sul piano di Argand-Gauss, esse costituiscono i vertici di un n-gono regolare (inscritto nella circonferenza di raggio r uguale alla radice n-sima reale del modulo di z).
Giovedi' 8 ottobre 2026 (ore 9-12) NUMERI COMPLESSI e FUNZIONI (Cap.2, Sez.15 e Cap.1 Sez. 7 e 8)
FORMA ESPONENZIALE: e^{a+ib}=e^a(cos(t) + i sen(t)); z = |z|e^{iθ}. FORMULA DI EULERO: e^{iπ}+1 =0
FUNZIONI: dominio, codominio, grafico, rappresentazione con le frecce; FUNZIONI INIETTIVE; FUNZIONI SURIETTIVE; FUNZIONI BIETTIVE; interpretazione di iniettivita'/suriettivita'/biettivita' tramite il grafico; COMPOSIZIONE DI FUNZIONI; FUNZIONI INVERSE (interpretazione insiemistica (con le frecce invertite); il grafico della funzione inversa); funzione IDENTITA'
FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE: DOMINIO di una funzione; ESEMPI
FUNZIONI CRESCENTI, DECRESCENTI, MONOTONE, (e proprieta' dei loro GRAFICI); la funzione f(x) = [x] PARTE INTERA di x e suo GRAFICO; una funzione strettamente monotona e' iniettiva (e, viceversa, una funzione monotona iniettiva e' strettamente monotona)
Mercoledi' 14 ottobre 2026 (ore 16-18) FUNZIONI (Cap.1, Sez.7-10)
FUNZIONE VALORE ASSOLUTO: f(x) = |x|; disuguaglianza traingolare. Grafici di -f(x), f(-x), |f(x)| e di f(|x|). Funzioni PARI / DISPARI e loro grafici
POTENZE, FUNZIONI ESPONENZIALI E LOGARITMICHE: a^n, a^{m/n}, a^x (e sue proprieta'); loga_a (e sue proprieta')
TRIGONOMETRIA: IL RADIANTE; sin(x), cos(x), tan(x) e loro interpretazione geometrica; formula pitagorica fondamentale: cos^2(x) + sin^2(x) = 1; TABELLA DEI VALORI FONDAMENTALI (primo quadrante)
Giovedi' 15 ottobre 2026 (ore 9-12) FUNZIONI (Cap.1, Sez. 10) e SUCCESSIONI (Cap.3, Sez. 16 - 18)
TRIGONOMETRIA: FORMULE DI ADDIZIONE, DUPLICAZIONE, e BISEZIONE per sen(x) e cos(x); diseguaglianze |sin(x)| < |x| < |tan(x)|. Grafici di sin(x), cos(x), e tan(x). Funzioni trigonometriche INVERSE: arcsin(x), arcos(x), e arctan(x) e loro grafici.
DEFINIZIONE DI SUCCESSIONE: Esempi
SUCCESSIONI CONVERGENTI e LIMITE (la scommessa: voi scegliete epsilon (piccolo a piacere) e io trovo n_epsilon (sufficientemente grande)...). Interpretazione grafica; Esempio: a_n = 1/n; a_n = (-1)^n (successione alternata)
SUCCESSIONI DIVERGENTI (positivamente e negativamente): Esempi
TEOREMA DI UNICITA' DEL LIMITE
SUCCESSIONI LIMITATE; Teorema: ogni successione convergente e' limitata
ESERCIZIO 1: dimostrare che lim(1/n^2) = lim(1/(n+5)) = lim(1/n^{1/2}) = lim(1/n^{1/3}) = 0.
ESERCIZIO 2: dimostrare che lim(n-2) = lim(n^2) = lim(n^2+n) = lim(n^{2/3}) = +infinito.
Giovedi' 22 ottobre 2026 (ore 9-12) SUCCESSIONI (Cap.3, Sez. 20 - 25)
TEOREMA (OPERAZIONI CON I LIMITI): limite della somma, del multiplo, (e quindi della differenza), del prodotto, del reciproco, (e quindi del rapporto)
LIMITE di una successione polinomiale; LIMITE del rapporto di DUE POLINOMI
FORME INDETERMINATE
Teorema della PERMANENZA del SEGNO e suo corollario
Teorema dei CARABINIERI
TEOREMA (prodotto di una successione infinitesima per una successione limitata); esempi
LIMITI NOTEVOLI con la disuguaglianza di BERNOULLI: a^n (a in R); radice n-sima di a (a > 0); radice n-sima di n^k (k in R).
LIMITI NOTEVOLI trigonometrici: se a_n --> 0 allora: sin(a_n) ---> 0 (con dimostrazione geometrica); cos(a_n) --->1; sin(a_n)/a_n ---> 1 (con dimostrazione geometrica); (1-cos(a_n))/a_n^2 ---> 1/2; (1-cos(a_n))/a_n ---> 0.
SUCCESSIONI MONOTONE: TEOREMA: una successione monotona e' regolare
IL NUMERO e DI NEPERO: Lemma 1: a_n = (1+ 1/n)^n e' crescente;; Lemma 2: b_n = (1+ 1/n)^{n+1} e' decrescente; OSS: 2 = a_1 < a_2 < a_3 < ... < a_n < b_n < ... < b_3 < b_2 < b_1 = 4; TEOREMA (definizione di "e"). La successione a_n e' convergente.
Mercoledi' 28 ottobre 2026 (ore 16-18) SUCCESSIONI (Cap.3, Sez.20-23) e LIMITI DI FUNZIONI Cap.4, Sez. 31-32)
SUCCESSIONI ESTRATTE (SOTTOSUCCESSIONI). Definizioni ed esempi.
TEOREMA (una sottosuccessione estratta di una successione convergente/divergente e' convergente/divergente).
TEOREMA DI BOLZANO WEIERSTRASS (con dimostrazione).
LIMITI DI FUNZIONI
DEFINIZIONI (per successioni): limite finito per x --> x_0; limite +/- infinito per x --> x_0; ESEMPI (con grafici)
TEOREMA (operazioni coi limiti): limite della somma/multiplo/prodotto/reciproco/rapporto...
Giovedi' 29 ottobre 2026 (ore 9-12) LIMITI DI FUNZIONI E CONTINUITA' (Cap.4, Sez. 31-32 e 33 - 34)
LIMITI DI FUNZIONI
DEFINIZIONI: limite finito per x --> +/- infinito; limite +/- infinito per x --> +/- infinito; ESEMPI (con grafici)
EQUIVALENZA DELLE DEFINIZIONI DI LIMITE mediante: (i) successioni (ii) epsilon e delta_epsilon (per limiti finiti) R; M e delta(M) per limiti infiniti
LIMITI DESTRO E SINISTRO
Il limite esiste SSE esistono limite sinistro, limite destro, e sono uguali
ESEMPI IMPORTANTI: f(x) = a^x (per x --> +/- infinito); f(x) = polinomio(x); f(x) = sen(x), cos(x), tan(x) (per x --> +/- infinito); f(x)= sen(x)/x (per x --> 0); f(x) = (1-cos(x)/x^2 (per x --> 0)
FUNZIONI CONTINUE
DEFINIZIONE DI CONTINUITA' IN UN PUNTO
CONTINUITA' a destra e a sinistra: Una funzione e' continua in x_0 SSE e' ivi continua a destra e a sinistra.
DISCONTINUITA': eliminabile; di prima e di seconda specie; ESEMPI (la funzione parte intera [x]).
DEFINIZIONE DI CONTINUITA' IN UN INSIEME (INTERVALLO) DI DEFINIZIONE
CONTINUITA' ED OPERAZIONI ELEMENTARI: continuita' del multiplo e della somma/prodotto/rapporto/reciproco di funzioni continue.
Mercoledi' 4 novembre 2026 (ore 16-18) LIMITI DI FUNZIONI E CONTINUITA' (Cap.4, Sez. 35-38)
TEOREMA della PERMANENZA del SEGNO
TEOREMA DEGLI ZERI
Applicazioni: un polinomio di grado dispari ha sempre uno zero; esistenza (ed unicita') delle radici n-sime di un numero reale positivo
TEOREMA DI WEIERSTRASS (con DIMOSTRAZIONE esistenza del MAX)
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