第85回 7月26日（土）(大阪公立大学杉本キャンパス理学部棟数学大講究室 (E408))
呉 忠弘 氏 (The University of Edinburgh)
Gibbs measures and singular stochastic wave equations
In this talk, I will discuss the (non-)construction of the focusing Gibbs measures and the associated dynamical problems. This study was initiated by Lebowitz, Rose, and Speer (1988) and continued by Bourgain (1994), Brydges-Slade (1996), and Carlen-Fröhlich-Lebowitz (2016). In the one-dimensional setting, we consider the mass-critical case, where a critical mass threshold is given by the mass of the ground state on the real line. In this case, I will show that the Gibbs measure is indeed normalizable at the optimal mass threshold, thus answering an open question posed by Lebowitz, Rose, and Speer (1988).
In the three dimensional-setting, I will discuss the construction of the $\Phi^3_3$-measure with a cubic interaction potential. This problem turns out to be critical, exhibiting a phase transition: normalizability in the weakly nonlinear regime and non-normalizability in the strongly nonlinear regime.
In the second part of the talk, I will discuss the dynamical problem for the canonical stochastic quantization of the $\Phi^3_3$-measure, namely, the three-dimensional stochastic damped nonlinear wave equation with a quadratic nonlinearity forced by an additive space-time white noise (=the hyperbolic $\Phi^3_3$-model). In particular, I will describe the paracontrolled approach to study stochastic nonlinear wave equations, introduced in my previous work with Gubinelli and Koch.
If time permits, I will briefly describe the globalization part, using the variational formula and ideas from theory of optimal transport.
The first part of the talk is based on a joint work with Philippe Sosoe (Cornell) and Leonardo Tolomeo (Edinburgh), while the second part is based on a joint work with Mamoru Okamoto (Hiroshima) and Leonardo Tolomeo (Edinburgh).
A simple proof of attainability for the Sobolev inequality
Sobolev不等式の等号成立条件は、T.AubinとG.Talentiによって1976年に独立に証明され、その後P.L.Lions(1985)を始め、色々な数学者によって様々な証明が与えられた。今回は基本解を少し修正した関数列を導入し、微積分学の基本定理やヘルダーの不等式という初等的な道具を用いて等号成立条件を証明する。
Lifespan for systems of semilinear wave equations in 1D
1次元空間において異なる伝播速度をもつ半線形波動方程式系の初期値問題を考える. (弱)零条件に関連した条件の下で，小さな初期値に対する古典解の存在時間の評価を得る. 関連して, 1次元空間における1階双曲系の古典解の存在時間の評価も得る. 本講演は若狭恭平氏(室蘭工業大学)との共同研究に基づく.
第84回 6月9日（月）(大阪公立大学杉本キャンパス理学部棟数学大講究室 (E408))
Anatoli Ivanov 氏 (Pennsylvania State University)
Dynamics in simple differential delay models from biological applications
In the past half a century, differential delay equations were particularly useful in adequate modeling of various biological processes. Two particular models of interest are a model of hematopoiesis (blood cell production) and a model of megakaryopoiesis (platelet production). Both models are described mathematically by simple form scalar differential delay equations, which are closely related by several properties. Dynamics of solutions in these equations are comprehensively studied. Sufficient conditions are derived when the unique positive equilibrium is globally asymptotically stable. The stability conditions are given in terms of induced interval maps, one set being delay independent criteria and another one involving the size of delay. The existence of periodic solutions slowly oscillating about the equilibrium is also established. The periodic oscillations in the models always exist when the positive equilibrium is linearly unstable. The proof of existence follows the established ejective fixed point techniques with necessary modifications due to the specific form of the equations.
第83回 5月31日（土）(大阪公立大学杉本キャンパス理学部棟数学大講究室 (E408))
有界領域上におけるライプニッツ則に基づいた分数階微分の積の評価について
本講演では, ライプニッツ則を背景とした分数階微分の積の評価を有界領域上で考察する. 分数階微分に関する積の評価の研究は, 非線形偏微分方程式の初期値問題の適切性への応用の観点と調和解析学的観点の両側面から全空間上において研究されてきた. 一方で, 評価の導出手法の困難性から, 領域上における評価は明らかになっていなかった. 本講演では, ディリクレ境界条件を満たすラプラス作用素に基づいて導入される領域上のベソフ空間を用いて Kenig--Ponce--Vega (1993) に対応する分数階微分の積の評価式を示す. 本研究は岩渕司氏(東北大学)との共同研究に基づく.
Singular solutions of semilinear elliptic equations on spherically symmetric Riemannian manifolds
本講演では、球面や双曲空間といった動径対称性のあるリーマン多様体において、Lane-Emden方程式を典型例とする半線形楕円型方程式を対象に、特異解の定性的性質について議論する。これまでにユークリッド空間上での半線形楕円型方程式の特異解の性質に関しては詳細な解析がなされてきた一方で、球面や双曲空間等の空間では、結果が十分には得られていない場合があった。講演では、より一般化した空間において、特異解の存在や一意性、漸近挙動等の性質について得られた結果を述べる。
第82回 4月19日（土）(大阪公立大学杉本キャンパス理学部棟数学大講究室 (E408))
Global solvability and threshold for a parabolic-elliptic chemotaxis system
放物型-楕円型の連立系に基づいたある走化性方程式の初期値問題を考察する. 走化性方程式は, 一般的に細胞密度と化学物質の濃度を表す未知函数を含み, 拡散構造と非線形相互作用項から生じる集中を促す移流構造を備えている. 特に細胞密度を表す函数には質量保存が成り立ち, その初期質量の大きさに応じて, 解の時間大域挙動に大きく変化が現れることが知られている. そこで本発表では, 初期値問題の時間大域可解性が保証されるための条件を, 各次元における初期質量の閾値に焦点を当てて考察する. また, 初期値の形状が解の挙動に影響を与える点についても併せて考える.
特異性をもつ応力関数を伴う弾性体の伸縮運動を表現する初期値境界値問題の可解性
本講演では,歪みを-1に近づけると応力が負の方向に発散するような特異性をもつ応力関数を伴うbeam方程式に対する初期値境界値問題の可解性を考察する. Beam方程式は, 定義域と値域の次元が一致する場合に弾性体の方程式として知られている. 本研究では, 弾性閉曲線の平面上での伸縮運動を考えるため, 境界条件は周期境界条件を課す. 本研究の特徴は, 解の性質として歪みに対する下からの評価が得られることである. 本講演では, 応力関数の原始関数に, ある条件を課したbeam方程式に対する初期値境界値問題の可解性に関する結果を報告する.