Рівняння з двома змінними

Це і є темою нашого уроку. Досі ми розглядали рівняння з однією змінною, а чи є за­дачі, розв'язування яких зводиться до розв'язування рівняння з двома змінними?

На сьогоднішньому уроці ми познайомимося з новими по­няттями: рівняння з двома змінними, лінійне рівняння з дво­ма змінними, рівняння першого степеня з двома змінними, розв'язок рівнянь з двома змінними.

Нехай відомо, що одне а двох чисел на 5 більше від другого. Якщо перше число позначити буквою х, а друге — буквою y, то співвідношення між ними можна записати у вигляді рівності х - у = 5, яка містить дві змінні. Такі рівності називають рівняннями з двома змінними, або рів­няннями з двома невідомими.

Наведемо інші приклади рівнянь з двома змінними:

5x + 2у = 10, -7x+y=5, х² + у² = 20, ху = 12. З цих рівнянь перші два мають вигляд

ах + by =c де а, b i с — числа. Такі рівняння називають лінійними рівняннями з двома змінними.

Означення. Лінійним рівнянням з двома змінними— називається рівняння виду

ах + bу = с, де x і у — змінні, a, b і с — деякі числа.

Якщо та , то це рівняння називають рівнянням першого степеня.

Якщо х = 8, у = 3, рівняння х - у = 5 перетворює­ться у правильну рівність: 8 - 3 = 5. Говорять, що пара значень змінних x=8, у=3 є розв'язком цього рівняння.

Означення. Розв'язком рівняння з двома змінними називається пара значень змінних, що перетворює це рівняння у правильну рівність.

Неважко перевірити, що розв'язками рівняння х - у =5 є також пари: х =105, у =100; х=4, у=-1; x=3,5, у=-1,5. Пари значень змінних записують іноді коротше. Наприклад, перелічені пари можна записати так: (105,100), (4;-1), (3,5; -1,5). При такому запису необхідно знати: значення якої із змінних стоїть на першому міcці, а якої – на другому. В запису розв’язків рівняння із змінними х і у умовимося на першому місці записувати значення х, а на другому — значення у.

Означення. Рівняння з двома змінними, які мають одні й ті самі розв'язки, називаються рівносильними.

Рівняння з двома змінними, які не мають розв'язків, також вважають рівносильними.

Рівняння з двома зміннимі мають такі самі власти­вості, як і рівняння з однією змінною:

1) якщо в рівнянні перенести доданок з однієї частини в іншу, змінивши його знак, то дістанемо рівняння рівно­сильне даному;

2) якщо обидві частини рівняння помножити або поді-лиги на одне й те саме число, відмінне від нуля, то діста­немо рівняння, рівносильне даному.

Розглянемо рівняння: 5x+2y=12

Скориставшись властивостями рівнянь, виразимо з цього рівняння одну змінну через другу, наприклад у через x.

y=-2,5x+6. Утворене рівняння рівносильне даному.

Користуючись формулою y=-2,5x+6 можна знайти скільки завгодно розв’язків.

Розглянемо для прикладу задачі.

Задача 1. Ви повинні купити 7 кг яблук. Чи можна за наяв­ності гир 1 кг і 2 кг зважити яблука?

Запитання задачі зводиться до того, щоб взнати, скільки гир треба взяти по 1 кг і по 2 кг, щоб зважити 7 кг яблук. Невідомих у задачі два:

х — число гир по 1 кг,

у — число гир по 2 кг.

Тоді 1х — маса гир по 1 кг,

2у — маса гир по 2 кг.

З умови задачі випливає рівняння х + 1у = 7.

Легко здогадатись, що х і у в рівнянні х + 2у = 7 може набувати тільки натуральних значень: 1, 2, 3, 4, 5, 6 і 7, які в математиці називають допустимими.