ที่มาของฟังก์ชันของคลื่นบนผิวน้ำ

Post date: Aug 25, 2014 12:20:56 AM

จากนักศึกษาชาวดอย ท่านหนึ่ง

อาจารย์ครับ ช่วยอธิบายที่มาของฟังก์ชันคลื่น y(x,t) = Asin(kx - ωt) ผมยังไม่เข้าใจอีกว่า y(x,t) = Asin(ωt - kx) เป็นกรณีคลื่นเคลื่อนที่ไปตาม +x เหมือนกันเเต่ทำไมถึงมีรูปแบบไม่เหมือนกันครับ ช่วยอธิบายให้หน่อยครับ ขอบคุณครับ

คำถามแรก "ช่วยอธิบายที่มาของฟังก์ชันคลื่น y(x,t) = Asin(kx - ωt)"

หากคุณวาดฟังก์ชันบนกระดาษกราฟ อาทิ f(x)=x² ก็จะได้รูป parabola ดังแสดงในภาพ

จากนั้นนั่งจ้องมันอยู่ประมาณ 2 นาทีจะพบว่ามันไม่เคลื่อนที่ และไม่เปลี่ยนแปลงกับเวลา คราวนี้คุณอยากจะให้รูป parabola มัน "เลื่อนตำแหน่ง" จากจุดเดิมเล็กน้อย จึงสร้างฟังก์ชันใหม่สองอัน คือ f(x-8) และ f(x-16) ซึ่งเมื่อเปรียบเทียบกับอันเดิม จะปรากฏดังภาพ

สังเกตว่ากราฟทั้ง 3 ข้างต้น มีรูปร่างแบบเดียวกัน เพียงแต่มันเลื่อนตำแหน่งมาทางขวา ซึ่งเป็นไปตามทฤษฎีเลื่อนแกนที่คุณเรียนมาตอนมัธยมปลาย กล่าวคือ f(x-a) จะเลื่อนแกนไปเป็นระยะทาง a ยิ่งค่าคงที่ a สูงมาก ยิ่งเลื่อนออกไปไกลเท่านั้น

อย่ากระนั้นเลย แทนที่จะให้ a เป็นค่าคงที่ เราทำให้มันเปลี่ยนแปลงกับเวลา จะเป็นไรไป ดังนั้นลองวาดฟังก์ชัน f(x-vt) ลงบนกราฟดูจะได้ดังภาพ

สัมประสิทธิ์ v ที่คูณอยู่กับตัวแปรของเวลานั้น เป็นตัวควบคุมว่าจะเลื่อนแกนไปเร็วหรือช้าเท่าใด การที่เราเลือกใช้ตัวแปร v ซึ่งโดยทั่วไปหมายถึงความเร็วนั้น ไม่ใช่เหตุบังเอิญ เพราะในกรณีนี้ v หมายถึง "ความเร็ว" ที่ฟังก์ชันดังกล่าวเลื่อนแกนไปนั่นเอง

สังเกตว่าฟังก์ชัน f(x) ดังกล่าว จะมีรูปร่างเป็นอย่างไรก็ได้ เราสามารถทำให้มันเคลื่อนไปทางขวาเมื่อเวลาผ่านไป โดยการเขียน f(x-vt) นั่นเอง คราวนี้ตีกรอบให้แคบลง เฉพาะในกรณีที่ f(x) มีลักษณะคล้ายคลื่น อาทิเช่น คลื่นบนผิวน้ำ

1) เริ่มจากการวาดรูป f(x) = sin[kx] นั่งจ้องอยู่ 2 นาที มันก็หยุดนิ่งอยู่เช่นเดิม

2) ปรับรูปแบบฟังก์ชันให้เป็น f(x-vt) = sin[k(x-vt)] = sin[kx-kvt] = sin[kx-ωt] เมื่อ ω = kv จะได้คลื่นวิ่งกันอุตลุดดังภาพ

การบ้าน - จงแสดงให้เห็นว่า v = f*lamda

คำถามที่สอง "ผมยังไม่เข้าใจอีกว่า y(x,t) = Asin(ωt - kx) เป็นกรณีคลื่นเคลื่อนที่ไปตาม +x เหมือนกันเเต่ทำไมถึงมีรูปแบบไม่เหมือนกันครับ"

มาถึงขั้นนี้ คุณคงเข้าใจแล้วว่า ฟังก์ชันซึ่งแสดงการเคลื่อนที่ของคลื่น สามารถเขียนอยู่ในรูป y1(x,t) = sin(kx-ωt) คราวนี้พิจารณาอีกฟังก์ชันหนึ่ง y2(x,t) = sin(kx - ωt + theta) เมื่อ theta เป็นค่าคงที่ อาทิเช่น theta = 45 องศา หรือ theta = 180 องศา เป็นต้น

เมื่อวาดฟังก์ชัน y2(x,t) คุณก็จะเห็นว่ามันเป็นคลื่นที่กำลังวิ่งอยู่เช่นเดิม แต่จะ "เหลื่อม" อยู่กับ y1(x,t) อยู่เล็กน้อย ถ้าเปรียบกับนักวิ่งสองคน ก็คือเขาไม่ได้ออกสตาร์ทจากตำแหน่งเดียวกัน แต่คนหนึ่งตามหลังมาเล็กน้อย ดังภาพ

เพราะฉะนั้น ถ้าจะมองเฉพาะในแง่ของคลื่นที่กำลังเคลื่อนที่ มุม theta ไม่มีความหมายมากนัก เป็น "ตัวแปรไส้ติ่ง" ที่ขึ้นอยู่กับว่าคุณจะนับตำแหน่งใดเป็นจุดกำเนิดเท่านั้นเอง

คราวนี้สมมุตว่า theta = 180 องศา ทางคณิตศาสตร์แล้ว เราบอกได้ว่า sin[kx-ωt+180] = -sin[kx-ωt] = sin[ωt-kx] ด้วยเหตุนี้เอง ฟังก์ชัน sin[wt-kx] จึงมีสภาพเป็นคลื่นที่กำลังพุ่งไปทางขวา ด้วยนั่นเอง

--- Teepanis Chachiyo - ทีปานิส ชาชิโย