Số tín chỉ: 3TC

Chương 1: Số thực

Bài 1.1: Tập hợp: tập hợp các số nguyên - Tập hợp các số hữu tỉ - Số thực

Bài 1.2: Ánh xạ: miền xác định - Tập hợp ảnh – Ánh xạ đơn ánh, toàn ánh, song ánh - Ánh xạ ngược

Bài 1.3: Dãy số - sự hội tụ của dãy số và tổng tích của chúng

Bài 1.4: Chuỗi số thực. Matlab cho tính toán các số thực, dãy và chuỗi số thực

Chương 2: Hàm số liên tục

Bài 2.1: Hàm số liên tục. Liên hệ tính liên tục và sự hội tụ của dãy số thực. Sự liên tục của các hàm số cùng với tổng và tích của chúng

Bài 2.2: Một số tính chất hàm số liên tục (định lí giá trị trung gian, sự tồn tại giá trị lớn nhất, nhỏ nhất,…) (không cần chứng minh)

Bài 2.3: Sự liên tục của các hàm số thông thường

Bài 2.4: Đồ thị. Dùng Matlab vẽ các đồ thị của các hàm số

Chương 3: Đạo hàm

Bài 3.1: Đạo hàm. Ý nghĩa đạo hàm (đo độ biến thiên, hình học, vật lí).

Bài 3.2: Đạo hàm của tổng và tích của hai hàm số. Đạo hàm của hàm số hợp và ánh xạ ngược (không chứng minh). Định lý giá trị trung bình và các ứng dụng.

Bài 3.3: Đạo hàm bậc cao. Định lý Taylor, công thức MacLaurin và ứng dụng. Dùng Mathlab để tính đạo hàm bậc cao và khai triển Taylor.

Bài 3.4: Qui tắc Hôpital và ứng dụng trong tính giới hạn.

Bài 3.5: Khảo sát hàm số, Cực trị của hàm số.

Chương 4: Phép tính tích phân hàm liên tục một biến

Bài 4.1: Tổng Rieman. Tích phân (không chứng minh sự hội tụ của tổng Rieman). Dùng Mathlab tính tích phân .

Bài 4.2: Các tính chất cơ bản của tích phân (không chứng minh) : Công thức Newton–Leibniz, Phương pháp đổi biến, Phương pháp tích phân từng phần.

Bài 4.3: Tích phân suy rộng . Nguyên hàm

Chương 5: Chuỗi hàm

Bài 5.1: Chuỗi hàm. Chuỗi luỹ thừa

Bài 5.2: định lý Abel, miền hội tụ, bán kính hội tụ. Chuỗi Fourier

Chương 1: Các khái niệm trong không gian Rⁿ

Bài 1.1: Không gian Rⁿ. Chuẩn Euclide trong Rⁿ. Hàm số nhiều biến liên tục. Dùng Mathlab vẽ đồ thị hàm hai biến.

Bài 1.2: Tập mở trong Rⁿ. Đạo hàm riêng phần của các hàm số nhiều biến.

Bài 1.3: Đạo hàm các hàm số có các đạo hàm riêng phần liên tục. Dùng Mathlab tính đạo hàm riêng phần.

Bài 1.4: Đạo hàm riêng phần cấp cao. Đạo hàm cấp cao. Cực trị của hàm số nhiều biến.

Chương 2: Tích phân nhiều lớp

Bài 2.1: Tích phân 2 lớp: Định nghĩa. Ý nghĩa hình học. Các tính chất của tích phân 2 lớp. Phương pháp tính tích phân 2 lớp trong hệ toạ độ Descartes.

Bài 2.2: Đổi biến trong tích phân 2 lớp. Trường hợp tổng quát. Tích phân 2 lớp trong hệ toạ độ cực. Ứng dụng của tích phân 2 lớp trong hình học, cơ học.

Bài 2.3: Tích phân 3 lớp: Định nghĩa. Ý nghĩa vật lý. Cách tính tích phân 3 lớp trong hệ toạ độ Descartes.

Bài 2.4: Phương pháp đổi biến trong tích phân 3 lớp. Trường hợp tổng quát.

Bài 2.5: Tích phân 3 lớp trong hệ toạ độ trụ. Tích phân 3 lớp trong hệ toạ độ cầu. Ứng dụng của tích phân 3 lớp.

Chương 3: Tích phân đường, tích phân mặt

Bài 3.1: Tích phân đường loại I. Tích phân đường loại II

Bài 3.2: Cách tính tích phân đường loại II. Sự liên hệ giữa tích phân đường loại II và tích phân đường loại I.

Bài 3.3: Công thức Green. Điều kiện để tích phân đường không phụ thuộc đường lấy tích phân.

Bài 3.4: Tích phân mặt loại I. Tích phân mặt loại II. Công thức Stokes. Công thức Gauss–Ostrogradsky

Bài 3.5: Dùng Mathlab trong tính tích phân đường và mặt.

Chương 4: Phương trình vi phân

Bài 4.1: Phương trình vi phân cấp 1. Các mô hình có phương trình vi phân. Phương trình tách biến. Phương trình đẳng cấp. Phương trình vi phân toàn phần.

Bài 4.2: Phương trình vi phân cấp 1 tuyến tính. Phương trình Bernoulli. Dùng Mathlab giải phương trình vi phân cấp 1.

Bài 4.3: Phương trình vi phân cấp 2: Định nghĩa. Điều kiện tồn tại nghiệm.

Bài 4.4: Phương trình vi phân cấp 2 tuyến tính hệ số hằng. Phương trình vi phân cấp 2 có thể giảm cấp. Dùng Mathlab giải phương trình vi phân.

Ôn tập

Chương 1. Dãy số thực và chuỗi số thực

1.1. Dãy số - dãy đơn điệu, dãy bị chận - Sự hội tụ của dãy số

1.2. Chuỗi số thực - chuỗi không âm

1.3. Các tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi : Tiêu chuẩn so sánh, Tiêu chuẩn Cauchy, Tiêu chuẩn d'Alembert

1.4. Chuỗi đan dấu - Định lý Leibniz

1.5. Sự hội tụ tuyệt đối của chuỗi

Chương 2: Hàm số một biến: Giới hạn và sự liên tục của hàm số

2.1. Hàm số – Mô hình toán học - Bốn cách biểu diễn một hàm số

2.2. Hàm đơn ánh, toàn ánh, song ánh

2.3. Hàm hợp - Hàm ngược

2.4. Giới hạn của hàm số – Khử dạng vô định bằng vô cùng bé, vô cùng lớn tương đương

2.5. Hàm số liên tục: Hàm liên tục tại một điểm, liên tục trên một khoảng - Một số tính chất hàm số liên tục

2.6. Định lí giá trị trung gian - Tính chất của đồ thị hàm số liên tục (liên thông)

Chương 3: Phép tinh vi phân hàm một biến

3.1. Xét hai bài toán trung tâm: tìm tiếp tuyến của đường cong – tìm vận tốc tức thời trong chuyến động thẳng

3.2. Đạo hàm - Đạo hàm của hàm số hợp và hàm ngược

3.3. Đạo hàm bậc cao – Định lý Leibniz – Khai triển Taylor-MacLaurin.

3.4 Vi phân – vi phân cấp cao

3.5 Ứng dụng: Xấp xỉ tuyến tính - Định lý giá trị trung bình - Qui tắc l’Hôpital – Tối ưu hóa hàm một biến

Chương 4: Phép tính tích phân hàm một biến

4.1. Nguyên hàm - Tích phân bất định

4.2. Các tính chất cơ bản của tích phân

4.3. Xét bài toán tính diện tích của một miền phẳng bị chận - Tổng Rieman – Tích phân xác định

4.4. Định lý cơ bản của phép tính vi tích phân - Công thức Newton–Leibniz.

4.5. Tích phân suy rộng: Tích phân suy rộng loại 1 – Tích phân suy rộng loại 2 – Các tiêu chuẩn hội tụ của tích phân suy rộng

4.6. Xấp xỉ tích phân

4.7. Ứng dụng: Giá trị trung bình - Tâm khối lượng - Kỳ vọng của một biến ngẫu nhiên

Chương 5: Phương trình vi phân

1.1. Ví dụ mở đầu

1.2. Định nghĩa phương trình vi phân

1.3. Phân loại nghiệm: nghiệm tổng quát, nghiệm riêng, nghiệm kỳ dị

1.4. Bài toán Cauchy - Điều kiện tồn tại nghiệm của bài toán Cauchy

1.5. Phương trình tách biến. Phương trình tuyến tính

Chương 1: Hệ phương trình tuyến tính

1.1. Ma trận – Các phép biến đổi ma trận

1.2. Hạng của ma trận – Ma trận nghịch đảo.

1.3. Định thức

1.4. Hệ phương trình tuyến tính

Chương 2. Vi tích phân hàm nhiều biến

2.1. Tập hợp Rⁿ: Điểm, Chuẩn Euclide, Khoảng cách trong Rⁿ – Hình cầu - Quả cầu - Tập đóng, tập mở trong Rⁿ

2.2. Hàm số hai biến: Định nghĩa hàm hai biến, miền xác định, miền giá trị, đồ thị - Các mặt bậc 2 - Tập mức.

2.3. Hệ tọa độ cực – Liên hệ của hệ tọa độ Descartes và hệ tọa độ cực trong không gian R²

2.4. Giới hạn của hàm hai biến: Hội tụ điểm - Định nghĩa giới hạn hàm hai biến bằng ngôn ngữ ε-δ và bằng ngôn ngữ dãy - Các qui tắc tính giới hạn – Ba cách chứng minh giới hạn không tồn tại

2.5. Đạo hàm riêng phần - Đạo hàm riêng phần cấp cao - Đạo hàm theo hướng

2.6. Vi phân hàm nhiều biến – Vi phân toàn phần

2.7. Định lý hàm ẩn

2.8. Ứng dụng: Xấp xỉ biểu thức bằng vi phân toàn phần. Phương trình tiếp tuyến. Khai triển Taylor hàm hai biến. Cực trị của hàm số hai biến: Cực trị không điều kiện – Cực trị có điều kiện – Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

Phần bài tập được trích dẫn từ

[1] J. Stewart Calculus (2012).

Chương 1: Số thực

Bài 1.1: Tập hợp: tập hợp các số nguyên - Tập hợp các số hữu tỉ - Số thực. Bài tập trong phần Appendix A của [1]

Bài 1.2: Ánh xạ: miền xác định - Tập hợp ảnh – Ánh xạ đơn ánh, toàn ánh, song ánh - Ánh xạ ngược. Bài tập chương 1 của [1]

Bài 1.3: Dãy số - sự hội tụ của dãy số và tổng tích của chúng. Bài tập chương 11.1 của [1]

Bài 1.4: Chuỗi số thực. Matlab cho tính toán các số thực, dãy và chuỗi số thực. Bài tập chương 11.2-11.11 của [1]

Chương 2: Hàm số liên tục

Bài 2.1: Hàm số liên tục. Liên hệ tính liên tục và sự hội tụ của dãy số thực. Sự liên tục của các hàm số cùng với tổng và tích của chúng. Bài tập chương 1 và chương 2.1-2.5 của [1]

Bài 2.2: Một số tính chất hàm số liên tục (định lí giá trị trung gian, sự tồn tại giá trị lớn nhất, nhỏ nhất,…) (không cần chứng minh). Bài tập chương 1 và chương 2.1-2.5 của [1]

Bài 2.3: Sự liên tục của các hàm số thông thường. Bài tập chương 1 và chương 2.1-2.5 của [1]

Bài 2.4: Đồ thị. Dùng Matlab vẽ các đồ thị của các hàm số

Chương 3: Đạo hàm

Bài 3.1: Đạo hàm. Ý nghĩa đạo hàm (đo độ biến thiên, hình học, vật lí). Bài tập chương 2.1 và 2.8 của [1]

Bài 3.2: Đạo hàm của tổng và tích của hai hàm số. Đạo hàm của hàm số hợp và ánh xạ ngược (không chứng minh). Định lý giá trị trung bình và các ứng dụng. Bài tập chương 3, 4 của [1]

Bài 3.3: Đạo hàm bậc cao. Định lý Taylor, công thức MacLaurin và ứng dụng. Dùng Mathlab để tính đạo hàm bậc cao và khai triển Taylor. Bài tập chương 3, 4 của [1]

Bài 3.4: Qui tắc Hôpital và ứng dụng trong tính giới hạn. Bài tập chương 3, 4 của [1]

Bài 3.5: Khảo sát hàm số, Cực trị của hàm số. Bài tập chương 3, 4 của [1]

Chương 4: Phép tính tích phân hàm liên tục một biến

Bài 4.1: Tổng Rieman. Tích phân (không chứng minh sự hội tụ của tổng Rieman). Dùng Mathlab tính tích phân. Bài tập chương 5, 7, 8 của [1]

Bài 4.2: Các tính chất cơ bản của tích phân (không chứng minh) : Công thức Newton–Leibniz, Phương pháp đổi biến, Phương pháp tích phân từng phần. Bài tập chương 5, 7, 8 của [1]

Bài 4.3: Tích phân suy rộng . Nguyên hàm. Bài tập chương 7.8 của [1]

Chương 5: Chuỗi hàm

Bài 5.1: Chuỗi hàm. Chuỗi luỹ thừa. Bài tập chương 11 của [1]

Bài 5.2: định lý Abel, miền hội tụ, bán kính hội tụ. Chuỗi Fourier. Bài tập chương 11 của [1]

Ôn tập

Phần bài tập được trích dẫn từ

[1] J. Stewart Calculus (2012).

Chương 1: Các khái niệm trong không gian Rⁿ .

Bài 1.1: Không gian Rⁿ. Chuẩn Euclide trong Rⁿ. Hàm số nhiều biến liên tục. Dùng Mathlab vẽ đồ thị hàm hai biến. Bài tập chương 12, 13 của [1].

Bài 1.2: Tập mở trong Rⁿ. Đạo hàm riêng phần của các hàm số nhiều biến. Bài tập chương 12, 13 của [1].

Bài 1.3: Đạo hàm các hàm số có các đạo hàm riêng phần liên tục. Dùng Mathlab tính đạo hàm riêng phần. Bài tập chương 14 của [1].

Bài 1.4: Đạo hàm riêng phần cấp cao. Đạo hàm cấp cao. Cực trị của hàm số nhiều biến. Bài tập chương 14 của [1].

Chương 2: Tích phân nhiều lớp

Bài 2.1: Tích phân 2 lớp: Định nghĩa. Ý nghĩa hình học. Các tính chất của tích phân 2 lớp. Phương pháp tính tích phân 2 lớp trong hệ toạ độ Descartes. Bài tập chương 15.1-15.5 của [1].

Bài 2.2: Đổi biến trong tích phân 2 lớp. Trường hợp tổng quát. Tích phân 2 lớp trong hệ toạ độ cực. Ứng dụng của tích phân 2 lớp trong hình học, cơ học. Bài tập chương 15.1-15.5 của [1].

Bài 2.3: Tích phân 3 lớp: Định nghĩa. Ý nghĩa vật lý. Cách tính tích phân 3 lớp trong hệ toạ độ Descartes. Bài tập chương 15.6-15.9 của [1]

Bài 2.4: Phương pháp đổi biến trong tích phân 3 lớp. Trường hợp tổng quát. Bài tập chương 15.6-15.9 của [1]

Bài 2.5: Tích phân 3 lớp trong hệ toạ độ trụ. Tích phân 3 lớp trong hệ toạ độ cầu. Ứng dụng của tích phân 3 lớp. Bài tập chương 15.6-15.9 của [1].

Chương 3: Tích phân đường, tích phân mặt

Bài 3.1: Tích phân đường loại I. Tích phân đường loại II. Bài tập chương 8 của [1].

Bài 3.2: Cách tính tích phân đường loại II. Sự liên hệ giữa tích phân đường loại II và tích phân đường loại I. Bài tập chương 8 của [1].

Bài 3.3: Công thức Green. Điều kiện để tích phân đường không phụ thuộc đường lấy tích phân. Bài tập chương 8 của [1].

Bài 3.4: Tích phân mặt loại I. Tích phân mặt loại II. Công thức Stokes. Công thức Gauss–Ostrogradsky. Bài tập chương 8 của [1].

Bài 3.5: Dùng Mathlab trong tính tích phân đường và mặt.

Chương 4: Phương trình vi phân

Bài 4.1: Phương trình vi phân cấp 1. Các mô hình có phương trình vi phân. Phương trình tách biến. Phương trình đẳng cấp. Phương trình vi phân toàn phần. Bài tập chương 9 của [1].

Bài 4.2: Phương trình vi phân cấp 1 tuyến tính. Phương trình Bernoulli. Dùng Mathlab giải phương trình vi phân cấp 1. Bài tập chương 9 của [1].

Bài 4.3: Phương trình vi phân cấp 2: Định nghĩa. Điều kiện tồn tại nghiệm. Bài tập chương 17 của [1].

Bài 4.4: Phương trình vi phân cấp 2 tuyến tính hệ số hằng. Phương trình vi phân cấp 2 có thể giảm cấp. Dùng Mathlab giải phương trình vi phân. Bài tập chương 17 của [1].

Ôn tập