HỌC PHẦN TỰ CHỌN/BẮT BUỘC TRONG CHUYÊN NGÀNH GIẢI TÍCH SỐ

Chương 1: Không gian

Bài 1.1: Nhắc lại về tích phân Lebesgue

Bài 1.2 Định nghĩa và tính chất căn bản của

Bài 1.3 Tính phản xạ, tính tách được và đốing ẫu của

Bài 1.4 Tích chập

Bài 1.5 Tiêu chuẩn Compact trong

Bài 1.6 Biến đổi Fourier và biến đổi Plancherel

Chương 2: Không gian Sobolev 1 chiều

Bài 2.1 Định nghĩa đạo hàm suy rộng

Bài 2.2 Không gian ;

Bài 2.3 Áp dụng vào bài toán biên 1 chiều.

Chương 3: Không gian Sobolev nhiều chiều.

Bài 3.1 Định nghĩa

Bài 3.2 Toán tử thác triển và bất đẳng thức Sobolev, định lý nhúng compact

Bài 3.3 Vết và không gian

Bài 3.4 Ứng dụng vào bài toán Elliptic.

Ôn tập

Chương 1: Khái niệm cơ bản

Các loại sai số thường dùng: truncation error, rounding error, cancellation error.

Chương 2: Các phương pháp xấp xỉ

Các phương pháp xấp xỉ nghiệm phương trình một biến f(x) =0 bao gồm: Bisection method. Fixed point iteration. Newton Raphson method. Iterations to solve simultaneous equations.

Chương 3: Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính

Các phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính: Gaussian elimination, LU factorization. Pivoting. Cholesky's method. Illconditioned equations.

Chương 4: Phương pháp nội suy đa thức

Các phương pháp nội suy đa thức: Lagrange interpolation. Divided differences. Finite differences.

Chương 5: Phương pháp xấp xỉ đạo hàm và tích phân

Các phương pháp xấp xỉ đạo hàm và tích phân: Numerical differentiation. The mid point rule, trapezium rule, Simpson's rule. Composite formulae. Estimating the error term.

Chương 1: Khái niệm cơ bản

Giới thiệu tổng quan các khái niệm đại số tuyến tính: các phép toánma trận, hệ phương trình, các loại ma trận, các phương pháp phân tích ma trận...

Chương 2: QR decomposition and Least Squares problem (12 tiết).

Giới thiệu phương pháp QR decomposition: phương pháp chiếu (projectors), phương pháp Gram-Schmidt, phương pháp Householder, bài toán bình phương tối thiểu.

Chương 3: Hệ phương trình tuyến tính.

Giới thiệu các thuật toán giải hệ phương trình tuyến tính

Chương 4: Eigenvalues

Giới thiệu bài toán trị riêng ma trận và các thuật toán liên quan.

Chương 5: Độ ổn định

Đánh giá độ ổn định của các thuật toán

Chương 1: Khái niệm cơ bản (6 tiết)

Giới thiệu tổng quan các khái niệm giải tích hàm: chuẩn, tích trong, không gian Sobolev, đạo hàm yếu, định lý Lax-Milgram.

Chương 2: Lý thuyết xấp xĩ và nội suy (8 tiết)

Giới thiệu các phương pháp xấp xỉ cho đạo hàm, tích phân và các phương pháp nội suy. Trình bày các bổ đề Bramble-Hilbert, Friedrichs, Cea... được sử dụng để đánh giá cá phương pháp xấp xĩ và nội suy trong không gian Sobolev.

Chương 3: Phương pháp phần tử hữu hạn (8 tiết)

Giới thiệu phương pháp phần tử hữu hạn dưới dạng xấp xĩ cho Ritz- Galerkin áp dụng cho bài toán biến phân. Trình bày các không gian của các hàm liên tục tuyến tính từng phần (continuous piecewise linear) trên các phần tử của lưới được chia trên miền của bài toán. Điều kiện lưới chuẩn và inverse assumption của lưới. Trình bày các đánh giá sai số giữa một hàm trong không gian Sobolev với nội suy của nó, và sai số gradient giữa hai hàm này trong đánh giá, được xét trên lưới chuẩn.

Chương 4: Phương pháp phần tử hữu hạn cho bài toán khuyếch tán và đối lưu (8 tiết)

Xem xét sự ổn định, tồn tại và duy nhất nghiệm xấp xỉ của phương pháp phần tử hữu hạn cho bài toán khuếch tán và đối lưu. Đánh giá sai số tiên nghiệm. Sử dụng Matlab để mô phỏng bài toán khuyếch tán và đối lưu bằng phương pháp phần tử hữu hạn.

Chương 1: Phương trình elliptic.

1.1. Không gian Sobolev

1.2. Nghiệm suy rộng, Tính trơn của nghiệm.

1.3. Định lý Lax-Milgram

1.4. Bài toán gía trị riêng, véctơ riêng.

1.5. Nguyên lý cực đại.

Chương 2: Phương trình parabolic.

2.1. Không gian C(I;X)

2.2. Lý thuyết nửa nhóm

2.3. Sự tồn tại nghiệm của phương trình parabolic.

2.4. Nguyên lý cực đại.

2.5. Khai triển nghiệm theo véc-tơ riêng của toán tử Elliptic.

Chương 3: Phương trình hyperbolic.

3.1. Sự tồn tại nghiệm của phương trình Hyperbolic.

3.2. Khai triển nghiệm theo véc-tơ riêng của toán tử Elliptic.

Chương 1: Phương trình động lực học chất lỏng

Dạng định luật bảo toàn và một số dạng khác của phương trình động lực học chất lỏng. Sơ lược về nhiệt động học. Tìm hiểu dạng tích phân của phương trình: đạo hàm theo thời gian, bảo toàn khối lượng, động lượng và năng lượng. Mô hình Navier-Stokes nén và không nén được. Nghiệm yếu của định luật bảo toàn.

Chương 2: Phương trình đạo hàm riêng hyperbolic tuyến tính

Hệ phương trình tựa tuyến tính. Phương trình bình lưu tuyến tính. Bài toán giá trị đầu tổng quát. Sự chéo hoá và những biến đặc trưng. Đặc trưng và nghiệm tổng quát của bài toán Riemann. Bài toán khí đông lực học tuyến tính.

Chương 3: Hệ hyperbolic phi tuyến và định luật bảo toàn

Dạng tích phân của định luật bảo toàn. Hệ hyperbolic phi tuyến. Trường đặc trưng. Dạng phương trình bảo toàn và không bảo toàn. Điều kiện Rankine-Hugoniot. Những dạng sóng và cách tìm nghiệm chính xác (tổng quát) của bài toán Riemann.

Chương 4: Phép giải Riemann và phương pháp số

Tìm nghiệm chính xác từ phép giải Riemann cho bài toán SWE (shallow water equations). Giải nghiệm chính xác và sử dụng phương pháp thể tích hữu hạn để tìm nghiệm của phương trình bình lưu tuyến tính và phương trình Burgers.

Chương 1: Tổng quan về phương pháp thể tích hữu hạn

Giới thiệu tổng quan về phương pháp thể tích hữu hạn qua những bài toán cụ thể, rời rạc hóa theo biến không gian và thời gian…

Chương 2: Phương trình elliptic 1 chiều

Trình bày chi tiết phương pháp sai phân và thể tích hữu hạn cho phương trình elliptic 1 chiều. Rời rạc hoá theo biến không gian. Đánh giá sự hội tụ và sai số của sơ đồ số cho phương pháp thể tích hữu hạn.

Chương 3: Phương trình parabolic 1 chiều

Trình bày chi tiết phương pháp thể tích hữu hạn cho bài toán parabolic 1 chiều. Rời rạc hoá theo biến thời gian và không gian. So sánh phương pháp sai phân và thể tích hữu hạn qua bài toán mô hình: phương trình nhiệt.

Chương 4: Phương trình hyperbolic 1 chiều.

Trình bày chi tiết phương pháp thể tích hữu hạn cho bài toán hyperbolic 1 chiều trong trường hợp tuyến tính và phi tuyến. Rời rạc hoá theo biến thời gian và không gian. Phân tích kỹ thuật upwind và trung tâm qua bài toán mô hình: phương trình Burgers.

Chương 1: Tổng quan về mô hình hoá các bài toán công nghiệp

Bài 1.1: Giới thiệu tổng quan về cách thức mô hình hoá các bài toán công nghiệp. Ví dụ về mô hình hoá phương trình nhiệt (heat flow equation)

Bài 1.2: Giới thiệu một số mô hình kinh điển (phương trình sóng, Laplacian, hệ phương trình Stokes, v.v…)

Bài 1.3: Phân loại các phương trình đạo hàm riêng

Chương 2: Phương pháp sai phân hữu hạn cho phương trình elliptic

Bài 2.1: Nguyên lý phương pháp sai phân hữu hạn

Bài 2.2: Các thuật toán (scheme) phổ biến trong phương pháp

Bài 2.3: Tính chất của các scheme: ổn định, chính xác, nhất quán

Chương 3: Phương pháp sai phân hữu hạn cho phương trình parabolic

Bài 3.1: Tính toán nghiệm xấp xĩ của phương trình parabolic bằng các scheme khác nhau: Richardson, backward Euler, forward Euler, Crank Nicolson, θ-scheme, ...

Bài 3.2: Khảo sát và so sánh tính chất của các scheme qua những kết quả thực nghiệm. Nguyên lý phương pháp sai phân hữu hạn.

Chương 1: Phần mở đầu

o Mô hình toán học

o Tối ưu liên tục và tối ưu rời rạc - Tối ưu không ràng buộc và tối ưu có ràng buộc - Tối ưu toàn cục và tối ưu địa phương

o Tập lồi – Các phép toán bảo toàn tính lồi của tập - Phần trong tương đối – Điểm cực biên – Diện – Siêu phẳng tựa tập lồi - Định lý tách tập lồi

o Nón – Nón đối cực, nón pháp tuyến, nón tiếp xúc, nón lùi xa

o Hàm lồi - Epigraph – Các phép toán bảo toàn tính lồi của hàm

o Hàm giá – Hàm liên hợp – Hàm lồi liên tục – Hàm lồi khả vi

o Dưới vi phân của hàm lồi

o Một số tính chất đặc trưng của hàm lồi

Chương 2: Qui hoạch tuyến tính

o Qui hoạch tuyến tính dạng chuẩn, dạng chính tắc

o Sự tồn tại nghiệm và tính chất của tập nghiệm

o Phương pháp đơn hình: cơ sở toán học và thuật toán

o Bài toán vận tải

Chương 3: Bài toán tối ưu lồi không ràng buộc

o Các điều kiện tối ưu

o Phương pháp tìm kiếm trên tia

- Hướng giảm

- Độ dài bước

- Tốc độ hội tụ của phương pháp

o Phương pháp gradient

o Phương pháp Newton

Chương 4: Bài toán tối ưu lồi có ràng buộc

o Điều kiện tối ưu Karush – Kuhn-Tucker

o Phương pháp hàm chắn

o Phương pháp hàm phạt