HỌC PHẦN TỰ CHỌN/BẮT BUỘC TRONG CHUYÊN NGÀNH GIẢI TÍCH

Chương 1: Không gian

Bài 1.1: Nhắc lại về tích phân Lebesgue

Bài 1.2 Định nghĩa và tính chất căn bản của

Bài 1.3 Tính phản xạ, tính tách được và đốing ẫu của

Bài 1.4 Tích chập

Bài 1.5 Tiêu chuẩn Compact trong

Bài 1.6 Biến đổi Fourier và biến đổi Plancherel

Chương 2: Không gian Sobolev 1 chiều

Bài 2.1 Định nghĩa đạo hàm suy rộng

Bài 2.2 Không gian ;

Bài 2.3 Áp dụng vào bài toán biên 1 chiều.

Chương 3: Không gian Sobolev nhiều chiều.

Bài 3.1 Định nghĩa

Bài 3.2 Toán tử thác triển và bất đẳng thức Sobolev, định lý nhúng compact

Bài 3.3 Vết và không gian

Bài 3.4 Ứng dụng vào bài toán Elliptic.

Ôn tập

Chương 1: Khái niệm cơ bản

Các loại sai số thường dùng: truncation error, rounding error, cancellation error.

Chương 2: Các phương pháp xấp xỉ

Các phương pháp xấp xỉ nghiệm phương trình một biến f(x) =0 bao gồm: Bisection method. Fixed point iteration. Newton Raphson method. Iterations to solve simultaneous equations.

Chương 3: Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính

Các phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính: Gaussian elimination, LU factorization. Pivoting. Cholesky's method. Illconditioned equations.

Chương 4: Phương pháp nội suy đa thức

Các phương pháp nội suy đa thức: Lagrange interpolation. Divided differences. Finite differences.

Chương 5: Phương pháp xấp xỉ đạo hàm và tích phân

Các phương pháp xấp xỉ đạo hàm và tích phân: Numerical differentiation. The mid point rule, trapezium rule, Simpson's rule. Composite formulae. Estimating the error term.

Chương 1: Các Định lý cơ bản tựa đề

1.1 Bổ đề Gronwall- Bellman và mở rộng

1.2 Định lý về sai lệch nghiệm

1.3 Định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm

1.4 Định lý về sự kéo dài của nghiệm

1.5 Định lý về sự phụ thuộc liên tục của nghiệm

1.6 Định lý về sự tính khả vi của nghiệm

Chương 2: Các loại Phương trình Vi phân khác (số tiết 15)

2.1 Phương trình Vi phân phụ thuộc tham số

2.2 Phương trình Vi phân Chậm

2.3 Phương trình Vi phân Ngẫu nhiên

2.4 Phương trình Vi phân Phức

2.5 Phương trình Vi phân trên Đa tạp

2.6 Phương trình Vi phân Đa trị

2.7 Phương trình Vi phân mờ

Chương 3: Dáng điệu nghiệm (số tiết 10)

3.1 Hệ động lực chất điểm

3.2 Ổn định

3.3 Rẽ nhánh

3.4 Tương đương Topo

Chương 1: Số phức

Bài 1.1: Số phức và các phép toán đại số

Bài 1.2: Mặt phẳng phức

Bài 1.3 Lũy thừa phân số của số phức

Bìa 1.4: Mặt cầu Riemann

Chương 2: Tính khả vi

Bài 2.1: Giới hạn và liên tục

Bài 2.2: Tính khả vi

Bài 2.3: Tính giải tích

Bài 2.4: Hàm điều hòa

Chương 3: Các hàm phức cơ bản

Bài 3.1: Hàm mũ

Bài 3.2: Hàm lượng giác và hyperbolic

Bài 3.3: Hàm logarit

Bài 3.4: Hàm lượng giác và hyperbolic ngược

Bài 3.5: Sự rẽ nhánh

Chương 4: Tích phân trên mặt phẳng phức

Bài 4.1: Tích phân đường

Bài 4.2: Định lý Green

Bài 4.3: Độc lập đường và nguyên hàm

Bài 4.4: Công thức tích phân Cauchy

Chương 5: Chuỗi lũy thừa

Bài 5.1: Sự hội tụ của chuỗi số phức

Bài 5.2: Sự hội tụ đều của chuỗi hàmphức

Bài 5.3: Chuỗi lũy thừa và chuỗi Taylor

Bài 5.4: Kỹ thuật khai triển chuổi Taylor

Chương 6: Thặng dư và ứng dụng

Bài 6.1: Điểm kỳ dị

Bài 6.2: Định nghĩa thặng dư

Bài 6.3: Cách tính thặng dư

Bài 6.4: Tính tích phân bằng thặng dư

Bài 6.5: Áp dụng tính biến đổi Fourier và Laplace

Chương 1. Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai với hệ số hằng

1.1. Các bài toán dao động

1.2. Tính duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy

1.3. Cách giải phương trình vi phân tuyến tính cấp hai với hệ số hằng

1.4. Cách giải phương trình vi phân tuyến tính cấp hai với hệ số hằng liên quan tới các bài toán dao động.

Chương 2. Các phương trình toán lý

2.1. Mở đầu, các ví dụ.

2.2. Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính; Các tính chất nghiệm.

2.3. Phân loại phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai theo hai biến độc lập.

2.4. Thiết lập các bài toán cơ bản cho các phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai.

Chương 3. Phương trình sóng

3.1. Thiết lập phương trình sóng

3.2. Nghiệm của bài toán Cauchy (Bài toán giá trị ban đầu) phương trình sóng cho dây vô hạn. Công thức D’Alembert.

3.3. Bài toán đặt đúng. Ví dụ của Hadamard về bài toán không chỉnh.

3.4. Dao động tự do của một sợi dây cố định tại hai đầu. Phương pháp tách biến Fourier.

3.5. Dao động cưỡng bức của một sợi dây cố định tại hai đầu.

3.6. Dao động cưỡng bức của một sợi dây có tại hai đầu không cố định.

3.7. Dao động cưỡng bức của một sợi dây có gắn lò xo ở hai đầu.

3.8. Sơ đồ tổng quát của phương pháp tách biến Fourier.

3.9. Tính duy nhất nghiệm của bài toán hỗn hợp.

3.10. Dao động của một màng tròn.

3.11. Áp dụng biến đổi Laplace để giải bài toán hỗn hợp.

Chương 4. Phương trình nhiệt

4.1. Thiết lập phương trình nhiệt

4.2. Nghiệm của bài toán Cauchy phương trình nhiệt

4.3. Truyền nhiệt trong thanh hữu hạn. Phương pháp tách biến Fourier.

4.4. Truyền nhiệt trong thanh hữu hạn với các loại điều kiện biên Dirichlet không thuần nhất, Robin không thuần nhất, Robin - Dirichlet không thuần nhất.

Chương 5. Phương trình Laplace

5.1. Thiết lập bài toán biên.

5.2. Nghiệm cơ bản của phương trình Laplace.

5.3. Công thức Green

5.4. Tính chất của hàm điều hòa.

5.5. Bài toán Dirichlet cho phương trình Laplace trong miền hình tròn. Phương pháp tách biến Fourier.

5.6. Tích phân Poisson.

5.7. Bài toán Dirichlet cho phương trình Laplace trong miền hình chữ nhật. Phương pháp tách biến Fourier.

Chương 1: Phương trình elliptic.

1.1. Không gian Sobolev

1.2. Nghiệm suy rộng, Tính trơn của nghiệm.

1.3. Định lý Lax-Milgram

1.4. Bài toán gía trị riêng, véctơ riêng.

1.5. Nguyên lý cực đại.

Chương 2: Phương trình parabolic.

2.1. Không gian C(I;X)

2.2. Lý thuyết nửa nhóm

2.3. Sự tồn tại nghiệm của phương trình parabolic.

2.4. Nguyên lý cực đại.

2.5. Khai triển nghiệm theo véc-tơ riêng của toán tử Elliptic.

Chương 3: Phương trình hyperbolic.

3.1. Sự tồn tại nghiệm của phương trình Hyperbolic.

3.2. Khai triển nghiệm theo véc-tơ riêng của toán tử Elliptic.

Chương 1: Khái niệm cơ bản (6 tiết)

Giới thiệu tổng quan các khái niệm giải tích hàm: chuẩn, tích trong, không gian Sobolev, đạo hàm yếu, định lý Lax-Milgram.

Chương 2: Lý thuyết xấp xĩ và nội suy (8 tiết)

Giới thiệu các phương pháp xấp xỉ cho đạo hàm, tích phân và các phương pháp nội suy. Trình bày các bổ đề Bramble-Hilbert, Friedrichs, Cea... được sử dụng để đánh giá cá phương pháp xấp xĩ và nội suy trong không gian Sobolev.

Chương 3: Phương pháp phần tử hữu hạn (8 tiết)

Giới thiệu phương pháp phần tử hữu hạn dưới dạng xấp xĩ cho Ritz- Galerkin áp dụng cho bài toán biến phân. Trình bày các không gian của các hàm liên tục tuyến tính từng phần (continuous piecewise linear) trên các phần tử của lưới được chia trên miền của bài toán. Điều kiện lưới chuẩn và inverse assumption của lưới. Trình bày các đánh giá sai số giữa một hàm trong không gian Sobolev với nội suy của nó, và sai số gradient giữa hai hàm này trong đánh giá, được xét trên lưới chuẩn.

Chương 4: Phương pháp phần tử hữu hạn cho bài toán khuyếch tán và đối lưu (8 tiết)

Xem xét sự ổn định, tồn tại và duy nhất nghiệm xấp xỉ của phương pháp phần tử hữu hạn cho bài toán khuếch tán và đối lưu. Đánh giá sai số tiên nghiệm. Sử dụng Matlab để mô phỏng bài toán khuyếch tán và đối lưu bằng phương pháp phần tử hữu hạn.

Chương 1: Tập hợp vô hạn

1.1 Lực lượng

1.2 Lực lượng của Z, Q, R. Sự không tồn tại lực lượng cực đại.

1.3 Tiên đề chọn

Chương 2: Không gian tôpô

2.1 Tôpô

2.2 Phần trong, bao đóng, biên

2.4 Cơ sở của tôpô

Chương 3: Không gian con

3.1 Tôpô của không gian con.

Chương 4: Sự liên thông

4.1 Liên thông, liên thông đường và quan hệ

4.2 Thành phần liên thông

4.3 Hàm liên tục trên không gian liên thông

Chương 5: Sự tách

5.1 Không gian Hausdorff, chính tắc, chuẩn tắc và quan hệ

Chương 6: Sự hội tụ

6.1 Lưới

6.2 Lưới và sự hội tụ

6.3 Dãy và sự cần thiết của lưới

Chương 7: Không gian compắc

7.1 Không gian compắc

7.2 Sự compắc theo dãy và quan hệ

7.3 Số Lebesgue cho không gian metric compắc

7.4 Compắc hóa Alexandroff

Chương 8: Không gian tích

8.1 Tôpô tích

8.2 Định lí Tikhonov

8.3 Compắc hóa Stone-Cech

Chương 9: Hàm thực và không gian hàm

9.1 Bổ đề Urysohn

9.2 Tôpô hội tụ đều và tôpô compắc-mở

9.3 Định lí Tiestze

Chương 10: Không gian thương

10.1 Tôpô thương

10.2 Sự nhúng và sự nhúng chìm

10.3 Các không gian hay gặp: mặt xuyến, mặt Mobius, mặt Klein, không gian xạ ảnh.