HỌC PHẦN TỰ CHỌN CHUYÊN NGÀNH GIẢI TÍCH

Chương 1: Phép biến đổi Fourier

Bài 1.1: Bổ đề Riemann - Lebesgue, tích phân kỳ dị Cauchy, tích phân kỳ dị Weierstrass.

Bài 1.2: Chuỗi Dirichlet, công thức Perron

Bài 1.3: Biến đổi Fourier-Plancherel trong không gian L^2

Bài 1.4: Biến đổi Fourier-Plancherel trong không gian L^p

Chương 2: Một số biến đổi tích phân khác

Bài 2.1: Phép biến đổi Laplace, Mellin, Hilbert

Bài 2.2: Phép biến đổi tổng quát, Định lý Hankel và các hệ quả

Chương 3: Đại cương về phép biến đổi Radon

Chương 1: Bài toán không chỉnh

Bài 1.1: Bài toán chỉnh, không chỉnh theo nghĩa Hadamard

Bài 1.2: Thành lập một số bài toán không chỉnh quy và phương trình tích phân loại I

Bài 1.3: Khảo sát tính không hcinr tổng quát của toán tử tích phân loại I

Bài 1.4: Nghiệm chỉnh hóa

Chương 2: Phương hóa chỉnh hóa Tikhonov

Bài 2.1: Định lý tồn tại nghiệm của phương tình chỉnh hóa. Sự phụ thuộc liên tục của nghiệm chỉnh hóa

Bài 2.2: Cấp sai số giữa nghiệm chỉnh hóa và nghiệm chính xác

Bài 2.3: Phép xấp xĩ hữu hạn chiều

Chương 3: Phương pháp bài toán Moment

Bài 3.1: Thành lập một số bài toán moment tương đương với các phương tình tích phân loại I

Bài 3.2: Sự hội tụ của nghiệm chỉnh hóa hữu hạn chiều trong hai trường hợp:

- Nghiệm chính xác là duy nhất

- Nghiệm chính xác không duy nhất.

Chương 1: Lý thuyết nửa nhóm trong phương trình

Chương 2: Phương trình đạo hàm riêng và ứng dụng

Chương 3: Phương pháp biến phân trong phương trình phi tuyến.

Chương 1: Đường cong

Bài 1.1: Độ cong của đường cong

Bài 1.2: Định lý Serret - Frenet

Chương 2: Mặt

Bài 2.1: Mặt, trình bày như đa tạp 2 chiều

Bài 2.2: Mặt chính qui và các kết quả liên quan

Bài 2.3: Tập mức ứng với giá trị chính qui

Chương 3: Độ cong của mặt

Bài 3.1: Ánh xạ Gauss

Bài 3.2: Các dạng cơ bản trên mặt

Bài 3.3: Độ cong Gauss, Độ cong trung bình

Bài 3.4: Độ cong chính, Độ cong pháp tuyến

Bài 3.5: Độ cong Gauss trong hệ tọa độ địa phương

Bài 3.6: Đẳng cấu hình học

Bài 3.7: Tính bất biến hình học (tính nội tại) của đường cong Gauss

Bài 3.8: Mặt với độ cong hằng, Mặt cực tiểu, Phương pháp biến phân

Chương 4: Đường trắc địa

Bài 4.1: Đường trắc địa, phương trình địa phương

Bài 4.2: Ánh xạ mũ, sự tồn tại của đường trắc địa

Bài 4.3: Định lý Gauss - Bonnet

Chương 5: Các đề tài tự chọn

- Metric Riemann trên đa tạp nhiều chiều, thể tích, chiều dài đường đi, khoảng cách

- Hình học Hyperbolic 2 và 3 chiều. Mô hình đĩa và mô hình nửa không gian trên.

Chapter 1: Inverse mathematical physics problems

1.1 Boundary value problems.

1.2 Well-posed problems for partial differential equations.

1.3 Ill-posed problems.

1.4 Classification of inverse mathematical physics problems.

Chapter 2: Solution methods for ill-posed problems

2.1 Tikhonov regularization method..

2.2 The rate of convergence in the regularization method.

2.3 Choice of regularization parameter.

2.4 Iterative solution methods for ill-posed problems.

2.5 Program implementation and computational experiments.

Chapter 3: Evolutionary inverse problems

3.1 Non-local perturbation of initial conditions.

3.2 Regularized difference schemes.

3.3 Iterative solution of retrospective problems.

3.4 Second-order evolution equation.

3.5 Computational experiments for some methods.

Chương 1: Phức đơn hình và phức ô

Bài 1.1: Phức đơn hình. Đa diện. Phân chia tam giác. Cắt và dán. Các ví dụ quan trọng.

Bài 1.2: Phân loại mặt hai chiều

Bài 1.3: Đặc trưng Euler

Bài 1.4: Phức ô. Các ví dụ quan trọng: Lens spaces, không gian xạ ảnh, Seifert, Poincare dodecahedron spaces…

Chương 2: Đồng luân

Bài 2.1: Nhóm cơ bản

Bài 2.2: Nhóm cơ bản của đường tròn

Bài 2.3: Định lý Seifert-Van Kampen

Bài 2.4: Nhóm cơ bản của phức ô. Ví dụ

Chương 3: Đồng điều

Bài 3.1: Đồng điều đơn hình

Bài 3.2: Đồng điều kì dị

Bài 3.3: Định lý Mayer - Vietoris. Nhóm đồng điều của mặt cầu

Bài 3.4: Đồng điều ô. Cách tính. Ví dụ

Bài 3.5: Mối quan hệ giữa Nhóm cơ bản và nhóm đồng điều. Số Betti, đặt trưng Euler

Chương 4: Ứng dụng (đọc thêm)

- Định lý Jordan, Định lý Bất biến miền, Định lý điểm bất động Brouwer, Định lý Borsuk-Ulam. Ứng dụng vào Tôpô Tính toán…

Chương 1: Các bài toán Ổn định cổ điển

Bài 1.1: Các bài toán ổn định

Bài 1.2: Các tiêu chuẩn ổn định

Bài 1.3: Về tiêu chuẩn thứ hai Lyapunov

Bài 1.4: Vấn đề tồn tại hàm Lyapunov

Chương 2: Mở rộng bài toán ổn định

Bài 2.1: Tiêu hao và ổn định theo nghĩa lớn

Bài 2.2: Ổn định toàn cục và hội tụ

Bài 2.3: Ổn định riêng

Bài 2.4: Ổn định bộ phận

Bài 2.5: Ổn định tuyệt đối

Bài 2.6: Ổn định hóa tối ưu

Bài 2.7: Ổn định cấu trúc

Chương 3: Một số ứng dụng

Bài 3.1: Ứng dụng của Ổn định cổ điển

Bài 3.2: Ứng dụng của Ổn định mở rộng.

Chương 1: Một số khái niệm về tập lồi

Bài 1.1: Tập Affine.

Bài 1.2: Tập lồi

Bài 1.3: Đại số các tập lồi

Bài 1.4: Các hàm số lồi

Bài 1.5: Giới hạn của dãy các tập hợp

Chương 2: Một số khái niệm về Đa trị

Bài 2.1: Các khái niệm cơ bản về Đa trị

Bài 2.2: Nửa liên tục trên

Bài 2.3: Nửa liên tục

Bài 2.4: Đa trị liên tục

Bài 2.5: Tính đo được của Đa trị

Bài 2.6: Tiếp xúc và đạo hàm của Đa trị

Bài 2.7: Tích phân Bochner của Đa trị

Bài 2.8: Tính đơn điệu của Đa trị

Chương 3: Tập nghiệm của Phương tình Đa trị

Bài 3.1: Phương trình vi phân Đa trị

Bài 3.2: Tồn tại và duy nhất tập nghiệm

Bài 3.3: Nghiêm tối tiểu và nghiệm tối đại

Bài 3.4: Tính bất biến của tập nghiệm

Bài 3.5: Tính liên thông của tập nghiệm

Chương 4: Lý thuyết định tính

Bài 4.1: Điểm bất động và nghiệm dừng

Bài 4.2: Bài toán biên Đa trị

Bài 4.3: Phương trình vi phân Đa trị có nhiễu

Bài 4.4: Sự ổn định và tiệm cận.

Chương 1: Lý thuyết xác suất cơ bản

Bài 1.1: Biến ngẫu nhiên, hàm phân phối, mật độ

Bài 1.2: Tính độc lập của các biến ngẫu nhiên

Bài 1.3: Kỳ vọng có điều kiện E(X|Y)

Chương 2: Quá trình ngẫu nhiên

Bài 2.1: Quá trình ngẫu nhiên

Bài 2.2: Quá trình Wiener (chuyển động Brownian)

Bài 2.3: Tích phân Ito, công thức Ito

Chương 3: Phương trình vi phân ngẫu nhiên

Bài 3.1: Các phương pháp giải

Bài 3.2: Đặc tính của các phương pháp giải

Bài 3.3: Mô hình hóa phương trình vi phân ngẫu nhiên

• Tích phân Poisson

• Hàm cực đại Hardy-Littlewood

• Sự hội tụ không tiếp xúc của các hàm điều hòa

• Các hàm dưới điều hòa

• Không gian Hardy

• Định lý nội suy Riesz

• Lý thuyết Littlewood-Paley

• Giao động trung bình bị chặn

• Ứng dụng vào các bài toán hình học

Chương 1: Đa tạp trong R^n

Bài 1.1: Đa tạp

Bài 1.2: Không gian tiếp xúc

Bài 1.3: Ánh xạ khả vi và đạo hàm của ánh xạ

Chương 2: Giá trị chính qui

Bài 2.1: Định lí về tập mức ứng với giá trị chính qui

Bài 2.2: Đa tạp có biên

Chương 3: Bổ đề Morse

Bài 3.1: Hessian và Bổ đề Morse

Bài 3.2: Dòng

Bài 3.3: Topo của tập mức

Chương 4: Bậc của ánh xạ

Bài 4.1: Định hướng trên đa tạp

Bài 4.2: Bậc Brouwer của ánh xạ. Định lí điểm bất động Brouwer

Bài 4.3: Chỉ số của trường vector

Chương 5: Tích phân

Bài 5.1: Phân hoạch đơn vị

Bài 5.2: Tích phân của một hàm thực trên đa tạp

Bài 5.3: Các đề tài khác.

Chương 1: Phép tính vi tích phân

- Phép tính vi tích phân của một hàm số thực trên một không gian Banach. Điểm tới hạn của bài toán ứng dụng

Chương 2: Nửa liên tục dưới

- Nửa liên tục dưới. Cực tiểu của hàm nửa liên tục dưới. Nguyên lý biến phân của Ekeland

Chương 3: Các phương pháp minimax

- Trường hợp hữu hạn chiều. Điều kiện Palais-Smale. Bổ đề đèo (mountain-pass)

Chương 4: Ứng dụng vào phương trình đạo hàm riêng

- Điểm tới hạn và nghiệm suy rộng. Các bài toán coercive. Các bài toán khoảng coercive.

Chương 1: Nhắc lại lý thuyết hàm giải tích một biến trong mặt phẳng phức.

-Công thức tích phân Cauchy. Định lý xấp xỉ Runge. Định lý Mittag-Leffler. Định lý Weierstrass. Hàm nửa điều hòa dưới.

Chương 2: Lý thuyết hàm phức nhiều biến trên miền trong Cⁿ.

- Công thức tích phân Cauchy nhiều biến trong đa đĩa trong Cⁿ. Phương trình Cauchy- Riemann trong đa đĩa trong Cⁿ. Miền Reinhardt. Miền chỉnh hình. Miền giả lồi và hàm đa nửa điều hòa dưới. Miền Runge.

Chương 3: Ước lượng L² và sự tồn tại nghiệm cho phương trình Cauchy-Riemann trên miền trong Cⁿ.

- Định lý tồn tại nghiệm trên miền giả lồi. Định lý xấp xỉ. Định lý tồn tại nghiệm trong không gian L².

Chương 4: Biểu diễn tích phân cho toán tử Cauchy-Riemann trong Cⁿ.

- Công thức Bochner – Martinelli cho hàm và dạng vi phân phức trong Cⁿ. Vài nhân tích phân trong giải tích phức nhiều biến. Công thức nghiệm cho phương trình Cauchy-Riemann trên miền lồi.

Chương 1: Phương pháp chính tắc trong bài toán cục bộ

Bài 1.1: Nghiệm tầm thường

Bài 1.2: Bổ đề bổ trợ

Bài 1.3: Dạng chính tắc NF

Bài 1.4: Dạng chính tắc trên mặt bất biến NFIS

Bài 1.5: Phương trình rẽ nhánh

Chương 2: Rẽ nhánh nghiệm tuần hoàn

Bài 2.1: Rẽ nhánh nghiệm tuần hoàn trên mặt phẳng

Bài 2.2: Rẽ nhánh nghiệm tuần hoàn trong không gian

Bài 2.3: Dạng Á chính tắc

Bài 2.4: Rẽ nhánh trong tọa độ cực

Bài 2.5: Rẽ nhánh khi một giá trị riêng bằng zero

Bài 2.6: Rẽ nhánh khi nhiều giá trị riêng bằng zero

Chương 3: Rẽ nhánh điểm cân bằng

Bài 3.1:Bài toán Hilbert-Arnold

Bài 3.2: Phân loại điểm kỳ dị

Bài 3.3: Rẽ nhánh trên Đa tạp.

Chương 1: Định lý ánh xạ co

Bài 1.1: Định lý ánh xạ co

Bài 1.2: Sự tồn tại và xấp xỉ nghiệm của các phương trình Fredhom và Voterra

Chương 2: Phương pháp Compact

Bài 2.1: Bậc topo cho trường vector compact

Bài 2.2: Định lý điểm bất động Leray-chauder và các ứng dụng vào các phương trình tích phân

Chương 3: Tính vi phân trong không gian định chuẩn

Bài 3.1: Sự khả vi

Bài 3.2: Định lý ánh ngược và các ứng dụng