Introdução

Na aula 5 estudamos algumas características lógicas de proposições individuais: estudamos casos em que uma proposição é logicamente verdadeira (tautologia) ou logicamente falsa (contradição). Nesta aula estudaremos dois tipos de de relações lógicas entre duas ou mais proposições. Estudaremos casos em que uma proposição é consequência tautológica de outra(s) e em que uma proposição é tautologicamente equivalente a outra(s).

Este vídeo contempla os mesmos conteúdos das aulas 5 e 6:

Implicação tautológica

Consideremos duas variáveis proposicionais, A e B. Dizemos que A implica tautologicamente B (ou que B é consequência tautológica de A) se em todas as situações em que A é verdadeira, B também é verdadeira. Em tabelas de verdade, identificaremos uma proposição A implica tautologicamente B quando em todas as linhas em que A for verdadeira, B for também verdadeira. A implicação tautológica não acontece se houver pelo menos uma linha em que A é verdadeira e B é falsa. (Note, também, que se A não for verdadeira em nenhuma linha, então também nunca haverá uma linha em que A é verdadeira e outra proposição qualquer é falsa. Em outras palavras, se A é uma contradição, qualquer proposição é consequência tautológica de A).

Para avaliar se A ^ B implica tautologicamente A, iniciamos identificando as linhas da tabela em que A ^ B é verdadeira (linha 1). Depois, analisamos se A é falsa em alguma dessas linhas (ou seja, na linha 1). Como A é verdadeira em todas as linhas em que A ^ B é verdadeira, concluímos que A ^ B implica tautologicamente A.

Implicação tautológica em conjuntos de proposições:

Podemos ter casos em que um conjunto de proposições (e não uma única proposição) implica tautologicamente uma outra proposição. Consideremos, então, um conjunto de variáveis proposições A1, A2, ..., An e uma variável proposicional B. Dizemos que A1, A2, ..., An implica tautologicamente B se, sempre que A1, A2, ... e An são todas verdadeiras, B também é verdadeira.

Exemplo: O conjunto de proposições A, B implica tautologicamente a proposição A v B.

Para avaliar se o conjunto formado pelas proposições A e B implica tautologicamente A v B iniciamos identificando as linhas em que A e B são ambas verdadeiras (linha 1). Como A v B é também verdadeira nesta linha (ou seja, como não há nenhuma linha em que A e B são ambas verdadeiras e A v B seja falsa), concluímos que A e B implicam, tautologicamente, A v B.

Equivalência tautológica

Uma segunda relação entre proposições que pode ser identificada na lógica proposicional é a relação de equivalência tautológica. Consideremos, novamente, duas variáveis proposicionais, A e B. Dizemos que A é tautologicamente equivalente a B se A e B têm o mesmo valor de verdade em todas as situações. Em tabelas de verdade, uma equivalência tautológica será identificada quando duas proposições (ou variáveis proposicionais) tiverem um valor de verdade idêntico em cada linha da tabela.

Para avaliar se a proposição ~(A ^~B) é tautologicamente equivalente a (A → B) olhamos para as colunas que representam cada uma dessas proposições. Como em cada linha da tabela essas duas proposições têm o mesmo valor de verdade, concluímos que há uma equivalência tautológica entre elas.