Objetivos da aula: esta aula trata da diferença entre proposições simples (ou atômicas) e proposições complexas (ou moleculares) no interior da lógica proposicional e explica como essa distinção ajuda a atribuição de valores de verdade a proposições e na construção de tabelas de verdade. Esta aula também ajuda a revisar os principais conteúdos estudados nas aulas anteriores.

Introdução

Na Aula 2, falamos sobre o que são proposições, um dos elementos centrais trabalhados na lógica proposicional. Com base nos operadores lógicos que vimos na Aula 3, podemos agora entender a distinção entre dois tipos de proposições que aparecem no interior da lógica proposicional: as proposições simples e as proposições complexas.

Proposições simples

Comecemos com alguns exemplos de proposições simples:

1. Porto Alegre é a capital do Rio Grande do Sul.

2. 2+2=4

3. Há vida em outros planetas.

4. Aristóteles inventou a lógica.

As proposições 1-4 são simples. Na lógica proposicional, uma proposição é simples se, e somente se, é uma proposição onde não ocorre nenhum operador lógico (como a conjunção, negação, implicação material, negação etc.). Quando substituímos proposições por variáveis proposicionais (ou seja, quando formalizamos proposições), as proposições simples são sempre substituídas por uma letra para proposições (como A, B, C, P, Q ou R, etc.).

Proposições complexas

Comecemos, novamente, com exemplos:

5. É falso que há vida em outros plantas.
6. 2+2=4 e 5+5=10
7. É falso que 2+2=4 e 5+5=10.

As proposições 5-7 são complexas. Isso acontece porque, nessas proposições, ocorre um operador lógico. Quando temos uma proposição complexa na lógica proposicional, é possível decompor essa proposição em uma ou mais proposições e um ou mais operadores lógicos. Assim, a proposição 5 pode ser decomposta em um operador lógico de negação ("É falso que...") e uma proposição simples ("Há vida em outros planetas"). A proposição 6, por sua vez, pode ser decomposta em duas proposições ("2+2=4"; "5+5=10") e o operador lógico de conjunção ("e").

Finalmente, a proposição 7 envolve ainda mais complexidade: ela é composta por duas proposições simples e dois operadores lógicos. Esta proposição merece atenção extra, pois há duas interpretações possíveis para seu conteúdo, dependendo do escopo que atribuímos ao operador de negação. A proposição 7 é passível de duas formalizações diferentes, nas quais utilizaremos parênteses para sanar a ambiguidade:

7*. ~(A ^ B)
7**. ~(A) ^ B

A diferença entre 7* e 7** é que em 7* o operador de negação (~) se aplica à toda a conjunção de A e B (A ^ B), enquanto que em 7** o operador de negação se aplica apenas à proposição simples A.

Em síntese, podemos dizer que a formalização de proposições complexas envolve o uso de uma ou mais variáveis proposicionais (A, B, C, ..., P, Q, R, ...) e um ou mais símbolos para operadores lógicos (^, v, →, ↔, ~).

Os valores de verdade de proposições simples e complexas

A diferença entre proposições simples e complexas é importante na lógica proposicional porque os valores de verdade são atribuídos de maneiras diferentes a proposições simples e a proposições complexas. Em uma proposição complexa, o valor de verdade é calculado a partir do valor de verdade das proposições simples e do funcionamento dos operadores lógicos envolvidos.

Por exemplo, considere a seguinte proposição complexa:

8. É falso que 2+2=5.

"É falso que" expressa o operador lógico de negação (ver a Aula 3). Por isso, 8 é uma proposição complexa. O valor de verdade de 8 é determinado pelo valor de verdade da proposição simples "2+2=5" e pelo funcionamento do operador de negação "É falso que". Como vimos, a negação inverte o valor de verdade da proposição negada. Por essa razão, e porque a proposição simples "2+2=5" é falsa, a proposição 8 é verdadeira.

Se os valores de verdade de proposições complexas são calculados, de onde saem os valores de verdade das proposições simples? Esses valores são fixados pela realidade; são dados por fatos não-lógicos, sobre como as coisas são. Mas nem sempre saberemos qual é o valor de verdade de uma proposição simples (como 3, por exemplo). A boa notícia é que a lógica pode seguir adiante independentemente disso e o funcionamento das tabelas de verdade ajudam a entender por quê.

Tabelas de verdade

Na Aula 3, vimos o funcionamento dos operadores lógicos. Seu funcionamento foi descrito através de tabelas. Essas tabelas são conhecidas como tabelas de verdade. Vejamos, novamente, a tabela de verdade do operador de negação:

Em uma tabela de verdade, as proposições simples são colocadas nas colunas à esquerda e as proposições complexas são colocadas à direita. Como vimos antes, os valores de verdade de proposições complexas são calculados. Como atribuímos, então, os valores de verdade das proposições simples?

Como vemos na tabela, não definimos um valor de verdade específico para uma proposição simples, mas listamos todos os valores de verdade possíveis, cada um em uma linha da tabela. No caso da negação, a proposição A pode ou ser verdadeira ou ser falsa. Se ela for verdadeira, então o valor de verdade de ~A será o falso (linha 1); se ela for falsa, então o valor de verdade de ~A será o verdadeiro (linha 2).

Algo similar, mas mais elaborado, acontece com os operadores que envolvem duas proposições simples:

Na tabela de verdade da conjunção, temos duas variáveis para proposições simples, que aparecem em duas colunas à esquerda da tabela (A, B). A conjunção de A e B (A ^ B) é uma proposição complexa e, por isso, tem seu valor calculado a partir dos valores de verdade de A e B, e do funcionamento da conjunção.

Novamente, não diremos se as proposições simples são verdadeiras ou falsas, mas listaremos as possibilidades. E como neste caso temos duas proposições simples, as possibilidades são mais numerosas. Se A e B forem ambas verdadeiras, a conjunção de A e B também será verdadeira (linha 1); se A for verdadeira e B for falsa, a conjunção de A e B será falsa (linha 2); se A for falsa e B for verdadeira (linha 3), a conjunção de A e B será falsa; se A e B forem ambas falsas, a conjunção de A e B será falsa (linha 4).

O número de linhas em uma tabela de verdade

Como podemos ver, a tabela de verdade tem duas linhas quando a proposição complexa contém uma única proposição simples, e quatro linhas quando a proposição complexa contém duas proposições simples. O que aconteceria se a proposição complexa contivesse três ou mais proposições simples? O número de combinações possíveis de valores de verdade das proposições seria maior e, consequentemente, a tabela de verdade teria que ter mais linhas. A seguinte fórmula permite calcular o número de linhas em uma tabela dependendo do número de proposições simples envolvidas (n = número de variáveis simples):

número de linhas = 2ⁿ