Introdução e objetivos da aula: a aula anterior falou sobre proposições e variáveis proposicionais. O objetivo desta aula é mostrar como podemos realizar operações lógicas com proposições através de funções de verdade. As funções de verdade (também chamadas de conetivos ou operadores lógicos) abordadas nesta aula são: conjunção, disjunção inclusiva, implicação, bi-implicação e negação. O conteúdo está contemplado na forma de vídeo e textual, e há exercícios ao final.

A função f(x), como vemos acima, toma um número qualquer (x) como entrada e retorna, como saída, este número multiplicado por 2. Assim, quando o valor da entrada é 1, a saída é 2; quando a entrada é 2, a saída é 4; e assim por diante. A função g(x, y), na segunda tabela, é um pouco mais sofisticada: ela tem duas entradas (x e y) e retorna como saída a soma das duas entradas.

A lição até agora pode ser resumida assim: uma função toma um ou mais valores como entrada, realiza uma operação com esses valores, e produz um resultado único como saída. Este mesmo resumo se aplicará às funções utilizadas na lógica proposicional, mas com uma diferença importante: na lógica proposicional os valores de entrada e saída das funções não serão mais números, mas valores de verdade. Desse modo, uma função de verdade é uma função que toma valores de verdade como entrada, realiza uma operação sobre esses valores, e retorna um único valor de verdade como saída.

Conjunção (E):

A conjunção é a operação lógica que aparece, em destaque, na seguinte proposição:

• A garrafa contém água e a mesa é de madeira

A proposição acima é composta de duas proposições mais simples: "A garrafa contém água" e "A mesa é de madeira". Se substituímos estas duas proposições por variáveis, podemos reescrever a proposição acima da seguinte maneira:

• A e B

A conjunção (representada pela expressão "e") conecta as duas proposições e realiza uma operação com elas. O símbolo que utilizamos para registrar a operação lógica de conjunção é o seguinte: ^ . Assim, podemos reescrever a proposição acima mais uma vez:

• A ^ B

A conjunção é uma função de verdade, que afirma, basicamente, que as duas proposições que ela conecta são verdadeiras. Seu funcionamento pode ser representado através da seguinte tabela:

Com base na tabela acima, podemos entender a conjunção como uma função que toma dois valores de verdade como entrada e retorna um valor de verdade como saída. Quando os dois valores de entrada são o verdadeiro (primeira linha da tabela nas colunas A e B), a conjunção de A e B tem o verdadeiro como saída (terceira coluna). Em todas as outras linhas---ou seja, quando pelo menos uma das entradas é falsa---a conjunção tem o falso como saída.

Disjunção Inclusiva (OU):

A disjunção inclusiva aparece destacada na seguinte proposição em linguagem natural:

• A garrafa contém água ou a mesa é de madeira.

Substituindo as proposições por variáveis e a disjunção pelo seu símbolo (v), podemos reescrever a proposição acima da seguinte maneira:

• A v B

A disjunção inclusiva afirma que pelo menos uma das proposições que lhe compõem (neste caso, A e B) é verdadeira. Seu funcionamento é dado pela seguinte tabela:

Resumidamente, a disjunção inclusiva só retornará o valor falso quando suas duas entradas forem também o falso. Em todas as outras circunstâncias, a disjunção inclusiva retornará o verdadeiro.

Implicação material (se-então)

A implicação material aproxima-se (vagamente), do funcionamento das expressões destacadas na seguinte proposição:

• Se o quadro estiver preenchido, então apagarei o quadro.

Substituindo as duas proposições separadas pelo "então" por variáveis e substituindo a implicação material por seu símbolo (→), podemos reescrever a proposição acima da seguinte maneira:

• A → B

Na implicação material, a proposição que fica antes do sinal → é chamada de antecedente e a proposição que vem depois do sinal → é chamada de consequente. O funcionamento da implicação material pode ser resumido da seguinte maneira: a implicação material só é falsa quando o antecedente é verdadeiro e o consequente é falso. Em todas as demais circunstâncias, a implicação material é verdadeira. Vejamos a tabela:

Como podemos ver, a saída da função A → B só é o falso quando o antecedente (A) é verdadeiro e o consequente (B) é falso---algo que ocorre na segunda linha da tabela acima. Se o antecedente é falso (linhas 3 e 4) ou se o consequente é verdadeiro (linhas 1 e 3), a implicação material retorna o verdadeiro.

Bi-implicação (se e somente se)

A bi-implicação é a operação lógica que aparece destacada na seguinte proposição:

• A luz será ligada se, e somente se, a luminosidade da sala for baixa.

Substituindo as proposições por variáveis e substituindo a bi-implicação por seu símbolo (↔), podemos reescrever a proposição acima da seguinte maneira:

• A ↔ B

O funcionamento da bi-implicação pode ser resumido da seguinte maneira: a bi-implicação é verdadeira quando as duas proposições que conecta têm o mesmo valor de verdade, e falsa quando os valores de verdade dessas proposições são diferentes. A tabela abaixo resume este funcionamento:

Com base na tabela, podemos dizer que a saída da função de bi-implicação é o verdadeiro quando suas duas entradas têm valores de verdade iguais (o que acontece nas linhas 1 e 4) e o falso quando as entradas têm valores de verdade diferentes (linhas 2 e 3).

Negação

A negação é a operação lógica que aparece na seguinte proposição:

• É falso que um triângulo tem quatro lados.

Substituindo a expressão destacada pelo símbolo da negação (~) e o restante do conteúdo por uma variável proposicional, podemos reescrever a proposição da seguinte forma:

• ~ A

A tabela abaixo resume o funcionamento da negação:

A negação tem um funcionamento mais simples do que as demais funções de verdade que vimos até aqui: a negação aplica-se a uma única proposição e ela inverte o valor de verdade da proposição negada. Quando a proposição de entrada é verdadeira, a negação dessa proposição retorna o falso; quando a proposição original é falsa, a sua negação retorna o verdadeiro.