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Neste livro são apresentados novos pontos de vista para o assunto de limites e derivadas. Junto com o assunto foram incluídas duas tecnologias recentes e surpreendentes, a realidade aumentada e a realidade virtual, que serão explicadas a seguir. Neste livro foi inserido quase todo o  conhecimento adquirido ao longo de vários anos de ensino das disciplinas de Matemática e Cálculo lecionadas nas universidades e nas faculdades de tecnologias (FATECs).

Geralmente, os bons livros de Cálculo apresentam muitos exercícios propostos e poucos exercícios resolvidos e, por isto, procurou-se rechear este livro com muitos exercícios resolvidos e, praticamente, com a mesma quantidade de exercícios propostos. Foram colocados muitos exercícios variados, mas que apresentam muita semelhança com os exercícios resolvidos. Desse modo, o aluno pode comparar exercícios que ele esteja resolvendo com exercícios semelhantes nos resolvidos. Essa é uma das formas de aprendizagem: observação e comparação com similares. 

Basicamente, o livro é constituído por três grandes capítulos principais: funções, limites e derivadas. O primeiro, sobre funções, constitui uma base inicial para o entendimento dos assuntos que virão a seguir: limites e derivadas. Muitos alunos trazem uma bagagem insuficiente de conhecimentos adquiridos durante o ensino médio e fundamental e, geralmente, para que eles não sintam muitas dificuldades nos novos assuntos que terão que enfrentar na faculdade, torna-se praticamente necessário fazer uma revisão matemática antes dos limites e das derivadas. Desse modo, o primeiro capítulo apresenta as características principais das funções básicas da matemática: polinomiais, exponenciais, logarítmicas e as trigonométricas principais.

Porém, como a intenção inicial era escrever apenas sobre limites e derivadas, o primeiro volume abrange todo o assunto de limites. Os outros assuntos foram deixados para os próximos volumes. Este primeiro volume começa com um breve histórico e introdução ao conceito de limite. Em seguida, vem os principais métodos de cálculo de limites, os limites laterais, uma definição de função contínua e descontinuidade, os limites infinitos e no infinito. Depois, são apresentadas as indeterminações que surgem no cálculo de limites, os limites fundamentais, a definição formal de limites e várias aplicações.

O terceiro e último grande capítulo é o de derivadas e suas regras, que se encontra em fase de conclusão e que estará disponível no próximo volume. O volume 2 - derivadas - começa com as definições de taxa de variação e da derivada de uma função. Em seguida, são apresentadas as demonstrações das derivadas das funções elementares usando o conceito de limite. Depois, são apresentadas as regras do produto, do quociente, da cadeia para as funções compostas e as derivadas de funções inversas e de funções implícitas. Por fim, as derivadas são utilizadas em diversas aplicações: taxas relacionadas, máximos e mínimos de funções, gráficos de funções, problemas diversos e de otimização.

As ideias da Realidade Virtual, como conhecemos hoje, começaram a surgir há muito tempo, em torno das décadas de 50 e 60 do século passado, onde a força aérea americana cria os primeiros simuladores de vôo para testes. Mas, o princípio básico para a criação da Realidade Virtual é mais antigo ainda. Em 1838, o britânico Charles Wheatstone criou os óculos estereoscópicos que usavam espelhos na frente dos olhos com uma pequena angulação na lente. O efeito criado é que duas imagens lado a lado, sejam desenhos ou fotos, ficavam sobrepostas, criando a ilusão de volume e imersão. Essas ideias também vieram da época da invenção da fotografia, através da técnica da estereoscopia fotográfica desenvolvida pelo escocês David Brewster (1781-1868), a qual consistia de pares de fotografia de uma mesma cena, que vistas simultaneamente em um visor binocular apropriado, produziam a ilusão de tridimensionalidade.

Um dos primeiros inventos de realidade virtual foi o “sensorama”, de Morton Heilig, nos anos 60. Era uma máquina que parecia um fliperama, com cadeira que se movia, óculos, alto falantes e até odores para simular a experiência. Depois disso, outras invenções foram criadas, mas não tiveram muito sucesso, ficaram muito restritas. Até hoje, a realidade virtual ainda é pouco acessível e está em fase de desenvolvimento. Foi somente nesta última década que começaram a surgir os óculos de realidade virtual para uso com aparelhos celulares, que tiveram sucesso e que foram produzidos por várias empresas. Uma destas empresas tentou mudar esse panorama e lançou um óculos de papelão de baixo custo, o google cardboard, tornando a realidade virtual acessível a todos. Há já uma nova versão deste óculos, mais elaborada e mais compatível com vários dispositivos.

A realidade virtual (RV) é uma tecnologia muito útil nas ciências e se expandiu para várias áreas comerciais no século atual como: jogos e entretenimento, comunicação à distância com aplicações na educação, simulação e treinos de pilotos de aeronaves, teleconferências, arquitetura e urbanismo (interação e imersão em espaços arquitetônicos), engenharias (concepção de projetos em diversas áreas), segurança pública (treinamento de militares) e na psicologia (tratamento de transtornos do pânico e de várias fobias).

Atualmente, observamos várias incorporações imobiliárias e construtoras aqui no Brasil utilizando a realidade virtual para mostrar imóveis decorados de empreendimentos recém-construídos, sem a necessidade de levar o comprador do imóvel ao local da obra. Usando os óculos de RV, o comprador pode observar todo o interior do imóvel decorado, inclusive o teto, pisos e paredes, em todos os ângulos, como se ele estivesse realmente lá. Para isso, é necessário que todo o imóvel tenha sido filmado com uma câmera 360 graus e que o aparelho celular inserido no óculos tenha sensores de movimento como giroscópio ou acelerômetro.

A realidade aumentada (RA), embora pertença ao mesmo ramo da tecnologia virtual, é diferente da realidade virtual; é um termo que surgiu inicialmente na década de 90 conceituado por Kirner T. G. (2008): “Realidade aumentada é a inserção de objetos virtuais no ambiente físico, mostrados ao usuário em tempo real com apoio de algum dispositivo tecnológico, usando a interface do ambiente real, adaptada para visualizar e manipular os objetos reais e virtuais”. Na mesma década, Thomas Caudell, o primeiro pesquisador a utilizar o termo realidade aumentada, criou um sistema baseado nesta tecnologia para auxiliar mecânicos da empresa Boeing.

Mais tarde, a realidade aumentada se popularizou na área do entretenimento através dos filtros para fotos em aplicativos móveis de redes sociais e em games como o Pokémon Go, que virou febre alguns anos atrás. Atualmente a realidade aumentada pode ser utilizada de muitas formas em diversos ramos.

Basicamente, um usuário da RA precisa de uma câmera acoplada a um dispositivo móvel com um aplicativo de RA, e através desta, poderá ver o ambiente real visto pela câmera, bem como imagens geradas por computador projetadas neste ambiente. As imagens geradas no ambiente são produzidas pelo software de realidade aumentada conectado ao aplicativo. O ambiente computacional tridimensional onde a imagem é produzida é projetado no ambiente real da cãmera. Para ver a imagem (ou arquivo produzido pelo software), a câmera do dispositivo celular precisa focalizar e fazer um rastreamento de uma outra imagem fixa no ambiente real (uma imagem-alvo ou um código QR, por exemplo), que serve como ponto ou posição de referência e que está associada a imagem (ou arquivo) produzida pelo software.

Neste livro, esta imagem que a câmera deverá focalizar contém uma caixinha azul escrita limites e derivadas e um título com o nome RA, acrescentado de uma numeração e do conteúdo a ser mostrado. Quando o título se inicia por RAV, o usuário poderá ver o conteúdo em realidade aumentada e também em realidade virtual, com os óculos. Para ver o arquivo em RV, o usuário deverá acessar os arquivos na internet (no you tube).

O aplicativo desenvolvido pelo autor (LimiAR) foi criado numa das mais conhecidas plataformas de desenvolvimento de games, a Unity, que conta com um ambiente virtual tridimensional necessário para criações 3D, e que permite a instalação de pacotes para desenvolvimento de RA, como o Vuforia.  Neste ambiente virtual 3D, após as configurações adequadas, o usuário só precisa acrescentar os arquivos (chamados de “assets”) que ele quer mostrar, incluindo as imagens de rastreamento. Esses arquivos (“assets”) podem ser dos seguintes tipos: um audio (mp3 ou wav), um vídeo (mp4 ou avi), uma imagem (png, jpg ou jpeg), um modelo tridimensional (3D tipo fbx, dae ou obj) entre outros. A licença para utilização do pacote de RA do Vuforia pode ser obtida diretamente no site da empresa. O aplicativo LimiAR para observar as RAs é gratuito e pode ser baixado no(a) google play (ainda não está disponível na apple store).

A imagem de rastreamento é também chamada de imagem-alvo ou “target image” e deve ser estabelecida inicialmente no ambiente 3D do software; é esta imagem que a câmera do dispositivo móvel deve focalizar. Todos os “assets” devem ser carregados na plataforma. O arquivo (“asset”) a ser associado à imagem-alvo é colocado em seguida, em alguma posição do ambiente 3D em relação à imagem-alvo. Pode-se adicionar outros materiais e “scripts” (roteiros), criados via editor na linguagem C#, para dar movimento ou tornar o arquivo interativo.

Neste livro, para visualização da realidade aumentada, o usuário deve apenas abrir o aplicativo LimiAR, que vai ligar a câmera de imediato, e focalizar diretamente na imagem-alvo (que, geralmente, neste livro é uma caixinha azul semiaberta com um título começando com RA ou RAV seguido por uma numeração e do conteúdo). Ao focalizar a imagem-alvo, aproximando-se dela e reconhecendo-a, logo em seguida o arquivo (imagem, vídeo ou modelo 3D) aparecerá (“em alguma posição entre a imagem-alvo e o smartphone”). Quando houver vídeos, o usuário deve usar os botões “virtuais” que aparecem na imagem real. Para ligar o vídeo aperte o botão play ( ►) na imagem real, ou seja, cubra a área do botão com o dedo ou com alguma outra coisa, que a câmera irá detectar e ligar o vídeo. Para pausar o vídeo, faça o mesmo no botão pause ( II ).

Para ver o arquivo em realidade virtual não há necessidade do aplicativo. O usuário deve procurar o arquivo com o título RAV, seguido da numeração e conteúdo, no canal do autor no you tube. Se o vídeo estiver com a imagem duplicada ou side by side, ligar e, rapidamente, colocar o smartphone no óculos (google cardboard ou algum outro óculos) de realidade virtual e assistir o vídeo. Se o vídeo não estiver com a imagem duplicada, ir para configurações → configurações avançadas, selecionar “assistir em RV”, centralizar a imagem na posição adequada, colocar o smartphone no óculos de RV e assistir o vídeo.

RAVCapa – Imagem da capa (M3MA)                                                                                                                     

1.         RAV201 - História do Cálculo (VAVZIN1:55)                                                                                                      

2.         RAV202 – O Círculo-Limite (VASOIN1:17)                                                                        

3.         RAV203 – Limites, Fractais e Caos (VASOIN2:46)                           

4.         RAV204 – Noção de Limite (VAVZIN1:29)                      

5.         RA205 – Solução do Exerc. 17 (IM)                                     

6.         RA206 – Solução do Exerc. 20 (IM)                                

7.      RAV207 – Exemplos de Funções Contínuas (VASOIN0:48)

8.      RA208 – Solução do Exerc. 19 (IM)       

9.         RA209 – Solução do Exerc. 36 (IM)                                             

10.      RA210 – Solução do Exerc. 06 (VAIM1:03)        

11.    RAV211 – Solução do Exerc. 13 (VASOIN1:40)     

12.    RAV212 – Limites Laterais (VAVZIN2:07) 

13.    RA213 – Solução do Exerc. 15 (VAIM0:34)    

14.    RAV214 – Solução do Exerc. 20 (VASOIN0:31)  

15.    RA215 – Gráficos dos Exerc. Propostos (IM)

16.    RAV216 – Limites Infinitos (VAVZIN2:56)

17.    RA217 – Solução do Exerc. 8 (IM)

18.    RA218 – Solução do Exerc. 17 (IM)

19.    RA219 – Gráficos dos Exercícios (IM) 

20.    RAV220 – Limite Trigonométrico Fundamental (VASOGAIN1:00)

21.    RA221 – Solução do Exerc. 13 (IM)

22.    RA222 – Solução do Exerc. 30 (IM)

23.    RA223 – Solução do Exerc. 14 (IM)

24.    RAV224 – Solução do Exerc. 20 (VASOIN0:39) 

25.    RAV225 – Definição Formal de Limite (VAGAIN0:38)

26.    RA226 – Solução do Exerc. 7 (IM)

27.    RA227 – Solução do Exerc. 17 (IM)

28.    RAV228 – Animação Gráfica de f(x) (VASOGAIN0:30)

29.    RA229 – Solução do Exerc. 10 (IM)

30.    RA230 – Solução do Exerc. 20 (IM)

31.    RA231 – Gráficos dos Exerc. Propostos (IM)

32.    RA232 – Solução do Exerc. 16 (IM)

33.    RA233 – Solução do Exerc. 21 (IM)  

34.    RA234 – Gráficos dos Exerc. Propostos (IM)  

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Abrev.: VA = Vídeo-Aula no formato MP4;  IM = Imagem no formato JPEG ou PNG;  GA = Gráfico animado;  VZ = Voz;  SO = Som, música;  M3 = Modelo tridimensional;  IN = Interativo; MA = Modelo 3D animado.