Um dos limites fundamentais que aparecem em vários problemas do Cálculo é o limite trigonométrico da função seno de x por x, quando x tende a zero.

É um limite que cai na indeterminação 0/0. Vamos resolver essa indeterminação usando aproximações. A tabela 2.3 a seguir mostra os valores do seno quando x tende a zero e da razão (sen x)/x.

Observe que a medida que x se aproxima de zero, o valor do sen x se aproxima do próprio valor de x, ou seja, para valores pequenos de x o seno é praticamente igual a x (sen x ≈ x) e a razão (sen x)/x se aproxima de 1, esse é o limite. Observe também esse limite no gráfico da função senx/x. Na realidade, essa função não é definida em x = 0, há uma divisão por zero e seu gráfico tem um furo no ponto zero.         

Um outro limite fundamental que aparece em vários problemas é o limite exponencial, que é o limite da função (1+1/x)^x quando x tende a mais ou menos infinito. Como pode ser observado, é um limite que cai na indeterminação 1∞. Assim como feito para o limite trigonométrico do seno, o limite exponencial pode ser obtido usando aproximações. 

A medida que x vai crescendo, o limite exponencial se aproxima de um valor fixo, que é justamente o valor do número de Euler: e = 2,718281828... Faça também o cálculo para x → 0 (com valores pequenos, próximos de zero) e verifique que o limite da mesma função é igual a 1: