Rettangoli isoperimetrici

Due rettangoli sono isoperimetrici se il loro perimetro è uguale. Una semplice modellizzazione matematica mostra che, se il perimetro p resta costante e le dimensioni del rettangolo variano, l'area del rettangolo varia non linearmente in funzione di uno dei due lati. Infatti, dette a e b le dimensioni del rettangolo, si ha:

Area = ab = a(p − a) = −a² + pa.

Questa equazione, riscritta come y = −x² + px, descrive una parabola con concavità verso il basso. Nell'animazione sotto riportata, p = 10, il segmento AC è la nostra a e il segmento BC = AD la nostra b. Il punto K, sull'asse delle ordinate, corrisponde all'area del rettangolo per particolari lunghezze di AC.

La costruzione è visibile anche a questo link.

Obiettivi e traguardi

SCUOLA PRIMARIA

Traguardi

Riconoscere e rappresentare forme del piano che si trovano in natura o create dall’uomo.
Descrivere, denominare e classificare figure in base a caratteristiche geometriche, determinarne misure, progettare e costruire modelli concreti di vario tipo.

Obiettivi

Determinare il perimetro di una figura utilizzando le più comuni formule o altri procedimenti.

SCUOLA SECONDARIA DI PRIMO GRADO

Traguardi

Riconoscere e denominare le forme del piano, le loro rappresentazioni e coglierne le relazioni tra gli elementi.

Obiettivi

Riprodurre una figura in base a una descrizione, utilizzando gli strumenti opportuni (carta a quadretti, riga e compasso, squadre, software di geometria).
Rappresentare punti, segmenti e figure sul piano cartesiano.
Conoscere definizioni e proprietà delle principali figure piane (triangoli, quadrilateri, poligoni regolari, cerchio).
Descrivere figure complesse e costruzioni geometriche al fine di comunicarle ad altri.

SCUOLA SECONDARIA DI SECONDO GRADO

Obiettivi

Riconoscere ed eventualmente quantificare le grandezze in gioco in una costruzione geometrica piana complessa.
Conoscere le principali relazioni fra le grandezze.
Comprendere e saper utilizzare gli strumenti necessari alla elaborazione di un semplice modello matematico.
Conoscere le principali proprietà delle funzioni polinomiali e delle sezioni coniche.

Quesiti INVALSI

1. (grado 13, 2009 - risposta A)

Misconcetto: L’alunno/a potrebbe essere tratto/a in errore dal fatto che i perimetri dei due poligoni sono diversi visto che le aree sono diverse tra loro.

2. (grado 05, 2012 - risposta B)

Misconcetto: L’alunno/a potrebbe sbagliare confondendo perimetro e area e concludendo erroneamente che ad area maggiore corrisponde necessariamente perimetro maggiore.

3. (grado 06, 2012 - risposta C)

Misconcetto: L’alunno/a potrebbe essere tratto/a in inganno dal fatto che il numero dei lati di un triangolo (3) è minore di quello di un quadrato (4).

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