Rettangoli isoperimetrici

Due rettangoli sono isoperimetrici se il loro perimetro è uguale. Una semplice modellizzazione matematica mostra che, se il perimetro p resta costante e le dimensioni del rettangolo variano, l'area del rettangolo varia non linearmente in funzione di uno dei due lati. Infatti, dette a e b le dimensioni del rettangolo, si ha:

Area = ab = a(p − a) = −a² + pa.

Questa equazione, riscritta come y = −x² + px, descrive una parabola con concavità verso il basso. Nell'animazione sotto riportata, p = 10, il segmento AC è la nostra a e il segmento BC = AD la nostra b. Il punto K, sull'asse delle ordinate, corrisponde all'area del rettangolo per particolari lunghezze di AC.


La costruzione è visibile anche a questo link.

Obiettivi e traguardi

SCUOLA PRIMARIA

Traguardi

  • Riconoscere e rappresentare forme del piano che si trovano in natura o create dall’uomo.

  • Descrivere, denominare e classificare figure in base a caratteristiche geometriche, determinarne misure, progettare e costruire modelli concreti di vario tipo.

Obiettivi

  • Determinare il perimetro di una figura utilizzando le più comuni formule o altri procedimenti.


SCUOLA SECONDARIA DI PRIMO GRADO

Traguardi

  • Riconoscere e denominare le forme del piano, le loro rappresentazioni e coglierne le relazioni tra gli elementi.

Obiettivi

  • Riprodurre una figura in base a una descrizione, utilizzando gli strumenti opportuni (carta a quadretti, riga e compasso, squadre, software di geometria).

  • Rappresentare punti, segmenti e figure sul piano cartesiano.

  • Conoscere definizioni e proprietà delle principali figure piane (triangoli, quadrilateri, poligoni regolari, cerchio).

  • Descrivere figure complesse e costruzioni geometriche al fine di comunicarle ad altri.


SCUOLA SECONDARIA DI SECONDO GRADO

Obiettivi

  • Riconoscere ed eventualmente quantificare le grandezze in gioco in una costruzione geometrica piana complessa.

  • Conoscere le principali relazioni fra le grandezze.

  • Comprendere e saper utilizzare gli strumenti necessari alla elaborazione di un semplice modello matematico.

  • Conoscere le principali proprietà delle funzioni polinomiali e delle sezioni coniche.


Quesiti INVALSI

1. (grado 13, 2009 - risposta A)

Misconcetto: L’alunno/a potrebbe essere tratto/a in errore dal fatto che i perimetri dei due poligoni sono diversi visto che le aree sono diverse tra loro.


2. (grado 05, 2012 - risposta B)

Misconcetto: L’alunno/a potrebbe sbagliare confondendo perimetro e area e concludendo erroneamente che ad area maggiore corrisponde necessariamente perimetro maggiore.


3. (grado 06, 2012 - risposta C)

Misconcetto: L’alunno/a potrebbe essere tratto/a in inganno dal fatto che il numero dei lati di un triangolo (3) è minore di quello di un quadrato (4).