В квадратных скобках указаны сокращения, которые ниже используются для краткого указания на соответствующие источники.
Раздел "Дополнительно" включен потому, что современное изложение анализа строится на понятии множества и расстояния между его элементами.
Из всех имеющихся материалов по математическому анализу для изучения дисциплины можно рекомендовать следующие:
Учебники:
На первое место среди учебников мы поставим
[Курс]: Курс дифференциального и интегрального исчисления (в 3-х томах) (Г.М. Фихтенгольц);
[Основы]: Основы математического анализа (в 2-х томах) (Г.М. Фихтенгольц)
- эти книги в основном будут использоваться для теоретического сопровождения курса;
[Смирнов]: Курс высшей математики (Смирнов В.И.);
Задачники:
[Демидович]: Сборник задач и упражнений по математическому анализу (Демидович Б.П.);
[Ефимов]: Сборник задач по математике для ВТУЗов, ч. 2 (Ефимов А.В., Поспелов А.С.);
[Крючкович]: Сборник задач по высшей математике (Крючкович Г.И.) ("Глава IV. Введение в анализ" и далее);
[Кузнецов]: Сборник заданий по высшей математике (типовые расчёты, 1983) (Кузнецов Л.А.).
Методические указания и материалы:
[]:
[]:;
[]:;
[]:.
Дополнительно:
Краткий курс теории функции вещественной переменной (Вулих Б.З.);
Лекции по дополнительным главам математического анализа (Соболев В.И.);
* * *
[Курс] является одним из лучших учебников по математическому анализу; со всей определенностью можно сказать, что [Курс] - настольная книга студентов высших учебных заведений, где математика преподается на серьезном уровне, таких, как математические факультеты СПбГУ, МГУ, ВШЭ, МГТУ им. Н. Э. Баумана, МФТИ и других.
Хотя для теоретического сопровождения дисциплины использован трехтомник (в нем приведено большое количество наглядных, содержательных примеров), он все же очень объемный; обучение по нему должным образом требует большого количества часов в учебной программе. Для случая более сжатого изложения автором (на базе [Курса]) написаны [Основы] (в файлах есть система закладок, облегчающих навигацию) - они будут удобны для подготовки к экзаменам. Со своей стороны настоятельно рекомендую изучать предмет именно по этим книгам - их отличает превосходное сочетание красивого академического языка с фундаментальной строгостью изложения.
В [Курсе] имеется нумерация не только глав и параграфов, но и так называемых номеров (тех отдельно взятых тем и вопросов, которые подлежат обсуждению); так же, как главы и параграфы, номера - сквозные по всем трем томам. Этот подход крайне удобен: при упоминании какого-либо факта всегда можно сослаться на то место, где ему дано обоснование (именно так в [Курсе] эти ссылки и используются).
Аналогично учебнику, на сайте (в том числе в материалах сайта) принята такая же система ссылок: например, указатель вида [33] отсылает к номеру 33 [Курса] (теорема Штольца). При необходимости сослаться на другой источник ссылка имеет вид [Основы, с. 33]. (Поскольку [Курс] более полный, содержание разделов с одним и тем же номером различается).
Эта книга подытоживает мой многолетний опыт преподавания математического анализа в Ленинградском университете.
Да будет она полезна советской молодежи!
Г. М. Фихтенгольц
Учебник [Смирнова] отличается иной, по сравнению с предыдущим источником, компоновкой материала: строгое изложение каждого вопроса помещено в конце соответствующей главы. Кроме того, здесь дано больше примеров как из самого анализа, так и из геометрии, физики и техники.
Что касается [Рудина], то нужно отметить, что современное изложение анализа построено на понятии множества. Общая канва предмета такова: сначала вводится понятие множества, затем вводится понятие расстояния между элементами множества (метрика), после чего только начинается изложение собственно анализа. В учебнике [Рудина] принят именно этот подход.
Для изучения предмета по [Курсу] или [Основам] серьезного знакомства с теорией множеств не требуется, что удачно отличает эти учебники от всех остальных - построение теории, основанное на множествах, имеет свои преимущества, но для начинающих представляется сложным ввиду большей абстрактности.
В части задачников нужно сказать, что [Демидович] - Классический задачник по математическому анализу. Сборники [Ефимова] и [Крючковича] содержат большое количество примеров и тщательно разобранных задач с подробными комментариями. Сборник [Кузнецова] содержит типовые вопросы и задачи анализа, с которыми (по завершении соответствующего промежутка обучения) должен справляться любой студент. (К сожалению, найти сборник [Крючковичка] в лучшем качестве не удалось.)
Дополнительно к этому, задачи берутся из демонстрационных вариантов вступительных испытаний в престижные учебные заведения или на престижные вакансии, в которых требуется хороший уровень математики (например, РЭШ или Академия больших данных MADE).
Последние три источника приводятся в качестве дополнения. В первых двух первая глава посвящена тем вопросам теории множеств, которые непосредственно касаются анализа; знакомство с этими главами рекомендуется уже при изучении основ. Вторые главы в обоих изданиях отведены понятию расстояния и способам его задания; при изучении этого материала уже могут потребоваться некоторые сведения из анализа (например, принцип сходимости), но существенных трудностей это не доставляет. Книга [Хенла] вовсе посвящена вопросам теории множеств.