В основном, учебники и задачники представлены в форматах .pdf (Portable Document Format) и .djvu (от фр. deja vu - "уже виденное"). При просмотре документа на экране компьютера или ноутбука в большинстве случаев (если только текст не очень мелкий) удобен просмотр "в режиме книги".
Файлы типа .pdf можно просматривать с помощью браузера или Adobe Acrobat Reader (ссылка на официальный источник; перед загрузкой нужно снять галочки на установку дополнительного ПО).
Настройка: поскольку программа чаще всего используется для просмотра файлов, имеет смысл закрыть панели инструментов, после чего в меню "Редактирование" выбирать раздел "Установки" и в открывшемся окне:
на вкладке "Вид страницы" выбрать настройки "Макет" -> "Двойником" и "Масштаб" -> "Автоматически";
на вкладке "Документы" выбрать настройки "Восстанавливать при открытии документов прежние параметры просмотра" и "Запомнить текущее состояние панели инструментов".
Что касается формата .djvu - здесь можно скачать один из лучших просмотрщиков для файлов этого типа. Программа портативна (не требует установки) и имеет русскую локализацию (View -> Language -> Русский).
Настройка: на панели инструментов выбираем режим "Разворот", масштаб "По ширине".
Ниже приводится литература по различным разделам математики, к каждому из которых даны комментарии. Общее правило таково: разные авторы могут излагать один и тот же вопрос по-разному, так что в случае, если объяснение в одном источнике вас не удовлетворило, имеет смысл заглянуть в другой. Вот еще одна причина иметь несколько источников: если знать, в какой книге искать, поиск информации по какому-то вопросу в интернете становится по сложности не меньше, чем в книге, но поиск по книгам намного более плодотворный.
Один из величайших математиков всей истории, Карл Фридрих Гаусс, говорил: "Если вы построили чудесное здание, строительных лесов на нем уже не должно быть видно". Это так, если ваша цель - очаровать зрителя. Но если вам нужно подготовить строителей, все обстоит ровно наоборот: нужно показать им леса и подробно познакомить с их устройством.
На занятиях (в школах, ВУЗах или в других местах) значительная часть времени отводится "строительным лесам", что диктуется необходимостью (это не критика, просто факт). К сожалению, остается очень мало времени на то, чтобы показать "красоту зданий". Один из лучших (и самых простых) способов сделать это - познакомить человека с теми выдающимися задачами, которые возникали перед человечеством, и тем, как некоторые из них были решены.
Что такое математика? Каково положение дел в предметной области в наши дни? Какие вопросы волновали математиков вчера? Какие вопросы были решены и как, а какие бросают нам вызов и сегодня? Большая часть ответов на эти вопросы - захватывающие истории; для математического образования (а также для образования вообще) было бы большой потерей не познакомиться с ними.
Приводимые ниже книги "общего характера" преследуют три цели. Во-первых, они призваны восполнить указанный выше пробел. Во-вторых, они помогут читателю сориентироваться в положении дел сегодняшнего дня; в частности, лучше уяснить мотивировки тех предметов, которые они изучают, а также историю и пути развития той или иной дисциплины. Наконец, в-третьих, это истории по-настоящему захватывающие: так, из рассказа про построение правильного 17-угольника сразу становится ясна роль простых чисел в математике, а задача о муравье, живущем на окружности, наглядно показывает причины интереса к алгебраическим структурам.
Хотя эта статья несколько эмоциональна, я считаю, что с ней следует знакомиться как можно раньше. Учащимся следует понимать, что сделать математику только "царством красивых идей" нельзя (рождение этих идей и способность к их оценке немыслимы без напряженной "некрасивой" технической работы), но к этому, по возможности, следует стремиться.
Автор в доступной форме рассказывает чем и как занимаются математики, какие задачи перед ними стоят и какие из них по праву становятся известными. Я в особенности рекомендую тем, кто интересуется математикой, эту книгу в связи с простой изложения. Мне лично очень нравятся главы "Территория простых чисел. Проблема Гольдбаха" (здесь показана роль простых чисел в математике), "Тайна числа пи. Квадратура круга" (история о построении правильного 17-угольника и ее связь с простыми числами) и "Какой формы сфера? Гипотеза Пуанкаре" (задача о муравье на окружности). Если по ходу чтения что-то оказалось непонятным - ничего страшного, эти места можно пропустить: таких мест вряд ли будет много и, кроме того, здесь меньше важны технические детали.
Конечно, не все сразу может быть понятно; если так - такие места следует просто пропускать.
Эти книги рассказывают о математике через призму описания жизни математиков и их исследований - здесь, как и в предыдущей книге, также можно найти много содержательных историй. (Из первой меня в свое время более всего впечатлила модулярная арифметика в руках Гаусса.)
Написанная простым и понятным неподготовленному читателю языком, книга служит увлекательным введением в одну из самых важных проблем в математике на сегодняшний день.
В разработке
В разработке
В разработке
Литература по математическому анализу приведена на соответствующей странице.
В самых общих чертах, высшая математика отличается от элементарной в первую очередь тем, что расширяет круг рассматриваемых вопросов в двух направлениях: добавляется предельный переход и повышается размерность. Первый из них представляет сердцевину математического анализа; что же касается второй, то она составляет предмет исследований высшей алгебры.
Роль третьей такой дисциплины сегодня принадлежит теории множеств. Главная причина интереса - она предоставляет различным предметным областям удобный универсальный язык, на котором формулируются их положения. (Впрочем, это далеко не единственная причина - один из самых серьезных кризисов в математике случился именно тогда, когда пристальное внимание обратили именно на множества!)
Фундаментальные дисциплины сильно переплетены друг с другом - одна пользуется результатами, полученными в другой. Вот литература по второй из них:
Д.В. Беклемишев: Курс аналитической геометрии и линейной алгебры и Дополнительные главы линейной алгебры
В отношении высшей алгебры первая из этих книг занимает такое же место, как "Курс..." в отношении анализа: строго и вместе с тем настолько же просто дается систематическое изложение основ предмета. Студенту она может понадобиться как для изучения соответствующего предмета, так и для справочных целей (в частности, здесь можно найти материал по всем вопросам вузовского курса).
"Линейная алгебра..." больше ориентирована на прикладную сторону дисциплины: здесь меньше теоретических выкладок, зато намного больше "технических" деталей. Она принесет большую пользу, если знакомиться с некоторыми ее разделами по мере их изучения в рамках основной программы курса.
В конец списка помещена дисциплина, которую, по справедливости, уже нельзя отнести к основам - формирование положений теории вероятностей немыслимо без участия уже развитых теории множеств, комбинаторики, математического анализа и линейной алгебры, функционального анализа, теории меры (и некоторых других).
Тем не менее, роль теории вероятностей огромна; многие другие дисциплины пользуются полученными здесь результатами, так что включение теории вероятностей в число основных в полной мере оправдано.
Литература по теории вероятностей приведена на соответствующей странице.
В настоящем разделе приводится литература по прикладным дисциплинам, т. е. таким, которые рассматривают решение практических задач на основе результатов, полученных в фундаментальных ("теоретических") областях.
Литература по численным методам и вычислительной математике приведена на соответствующей странице.
В разработке
В разработке
В разработке
Здесь приведена литература по тем разделам математики, которые или встречаются на пути рассмотрения вопросов из математического анализа, или изучаются студентами на других курсах (по возможности, я старался отобрать хорошие источники), или представляют интерес - как самостоятельный, так и в дальнейшем.
Начнем с источника, который затруднительно отнести к каким-либо отделам, но который все же заслуживает того, чтобы быть упомянутыми.
Знакомство с этой книгой и изучение ее однозначно необходимы любому, кто занимается задачами, возникающими на стыке математики и программирования. Книга представляет и самостоятельный интерес; ее главное достоинство в том, что здесь рассматриваются многочисленные приемы разыскания различных сумм в замкнутом виде (например, отдельная глава посвящена суммам, связанным с биномиальными коэффициентами, так часто встречающимися в практических задачах). Как утверждают авторы, "Вы овладеете алгебраической техникой в такой степени, что зачастую вам будет проще получить точные результаты, нежели удовлетвориться приближенными ответами, которые справедливы лишь в пределе". Это крайне важно в приложениях.
Два учебных пособия, в которых просто и вместе с тем в полной мере строго излагаются основы комплексных чисел; приводится большое количество примеров. Оба пособия содержат материал, охватывающий больший диапазон тем, чем непосредственно основы - при первом знакомстве его можно опускать.
После привычки к правилу знаков, согласно которому "любой знак в квадрате будет +", утверждение будто "i в квадрате = -1" кажется контринтуитивным. Как пишет Иен Стюарт:
Примерно в середине XIX в. некоторые логически мыслящие математики вдруг поняли, что, хотя все на свете не одну тысячу лет с удовольствием пользуются числами, никто не знает, что это на самом деле такое. И они вслух задали вопрос, который задавать, по всей видимости, не следовало: что такое число?
В связи с этим сделаем два примечания.
Первое: часто кажется, что число вида "5 + 3i" в некотором смысле "менее понятно", чем число 5 (или 3). Учащемуся стоит остановиться на этом моменте и спросить себя, действительно ли он понимает, что такое число 5 (или 3). Не "5 точек" или "3 окружности", а именно сами эти числа? (В конце 19 - начале 20 века этим вопросом заинтересовался математик Фреге, и его ответ нельзя назвать очевидным. Кроме того, он содержал потенциальную ловушку, которую нашел другой математик - Бертран Рассел. Хотя Фреге не дал полностью корректного ответа, он сделал первый шаг в этом направлении.)
Чтобы помочь интуиции справиться с затруднением, укажем, что на деле мы регулярно выполняем нечто подобное вводу символа i. Наиболее "привычными" для человека являются натуральные числа ("числа счета", т. е. числа вида 1, 2, 3, ..., n, ...), поскольку с их помощью выполняются простейшие расчеты. Затем оказывается, что, хотя нельзя "отсчитать" -1, нас это не смущает - мы задаемся вопросом "Ну и что?" и, если так можно выразиться, "немного берем взаймы у неизвестности": вводим в рассмотрение новый тип числа. Немного практики - и новые числа столь же привычны, как раньше были привычны натуральные, но расчеты стали удобнее. Сегодня мы точно знаем, что такое комплексное число - это просто упорядоченная пара действительных чисел; в частности, i = (0, 1).
Второе: после определения комплексного числа как упорядоченной пары (a, b) вещественных чисел мы определяем правила действий над ними. Оказывается, что в некоторых случаях оперировать этими правилами намного удобнее (а главное - намного плодотворнее!), если записывать число (a, b) в виде a + bi. Таким образом, на деле роль символа i - показывать, на каком месте в паре стоит число b: мы бы не смогли никого обмануть, если бы вместо a + bi написали бы bi + a. Лишь по следствию из тех правил, которые мы определили для комплексных чисел, получается знаменитое "i в квадрате = -1", которое в новых обозначениях точно было бы записано как "i в квадрате = (-1, 0)".
Кванторами называются условные символы, с помощью которых можно сокращать запись математических утверждений. Они нашли признание в математической среде по двум причинам: их использование удобно (хотя и необязательно) и, что важнее, позволяет строить отрицания к заданным утверждениям, следуя формальным правилам (что необходимо, например, в теории предикатов).
Дополнительно краткую справку можно найти в сборнике задач Ефимова (часть 2) на с. 15, п. 4 "Логическая символика". Оба указанных источника носят именно справочный характер (тема небольшая), поэтому рекомендуется познакомиться, выполнить предлагаемые упражнения и приступить к изучению других разделов.
С одной стороны, необходимо уметь "читать" математический текст, поскольку математики часто сокращают что-нибудь длинное вроде "отличные от нуля числа a и b одного знака" до "ab > 0" (нужно немного навыка, но он быстро приходит). С другой стороны, следует признать, что имеется немало случаев, когда нагромождению символов следовало бы предпочесть короткий и точный текст. (Классический пример - Википедия.)
Первая книга заманчива небольшим объемом; "материал рассчитан на достаточно быстрое ознакомление неподготовленного читателя с методами и основными понятиями теории множеств". В разделе "Немного истории" (с. 6) читатель найдет детали той ловушки (парадокс Рассела), о которой была речь выше.
В отличие от "Введения...", "Начала..." более подробны; они вполне подойдут как для первого знакомства, так и для более детального изучения темы.
Очень большое количество теорем (в анализе и не только) доказывается с помощью метода математической индукции, поэтому его необходимо иметь в своем арсенале. Его объяснения могут быть различными как по объему, так и по содержанию.
В "Математической индукции" имеется полное и подробное описание метода: оно начинается примеров, а затем формулируется в общем виде. Хотя второй источник представляет собой учебник по анализу, на с. 48 читатель найдет разделы 6.2 "Принцип наименьшего целого числа" и 6.3 "Математическая индукция", которые представляют собой одно из наиболее коротких и простых объяснений метода в его изложении применительно к нуждам курса (в "Математической индукции" все то же самое описано более подробно).
Формула, которая вынесена в заголовок, принадлежит Никлаусу Вирту, лауреату премии Тьюринга (в компьютерных науках сопоставимая с Нобелевской премией, она вручается раз в жизни). Любой, кто хочет стать программистом, должен знать, что это уравнение не потеряло своей актуальности и сегодня.
Алгоритмы: построение и анализ (Т. Кормен, Ч. Лейзерсон, Р. Ривест, К. Штайн) (дополнительно: первое издание и .djvu-вариант)
Огромный по объему и охвату материал книги делает ее незаменимой при изучении и разработке собственных алгоритмов. Читатель найдет здесь справку по необходимым разделам математики, а также подробные описания популярных (в учебном и прикладном отношении) алгоритмов; узнает, почему алгоритмы вызывают такой интерес и почему к ним приковано столь пристальное внимание, научится самостоятельно их изучать. Книга может использоваться и как настольный справочник.
Первое издание приводится по причине переработки материала (часть глав была опущена). К сожалению, найти его в лучшем качестве не удалось.
Как и предыдущий источник, книга содержит хорошие подробные объяснения к ряду алгоритмов и структур данных, а также методам их использования.
Замечено, что в книге есть неточности (вероятно, вызванные некорректным переводом): так, на с. 142 бинарное дерево определено как дерево, в котором каждая вершина соединена с хотя бы двумя дочерними записями.
Превосходный источник для сопровождения или самостоятельного изучения курса по сложности алгоритмов. Книга сосредоточена именно на теоретической стороне оценки алгоритмов, но содержит большое количество примеров. Подробно обсуждаются сложности популярных алгоритмов.
Безусловно, чтение книг "Как написать бестселлер" (даже если они очень хорошие) не сделает вас знаменитым драматургом, но, вполне вероятно, позволит избежать каких-нибудь кричаще очевидных ошибок. С этой целью мы завершаем раздел о программировании источником, который посвящен предмету, претендующему на третье слагаемое в знаменитой формуле - "чистому коду". Да, чистота кода - это очень важно. Книга посвящена объектно-ориентированному программированию, но будет полезна любому программисту.
Как читать книгу? В профессиональной среде она очень известна, так что весьма вероятно, что подготовленный читатель уже с ней знаком - ему она может служить настольным пособием. Если читатель не является таковым (например, использует процедурный стиль программирования или находится в начале профессионального пути), то ему стоит прочитать предисловие и введение, а также сделать краткий конспект основных тезисов из глав 1-5.
На сайте представлено большое количество алгоритмов - к каждому даны пояснения, доказательства, подробное описание и код на языке С++.