Вступительное занятие посвящено обсуждению ряда технических моментов - от особенностей записи математический утверждений до простых (но важных!) методов и соотношений; вот материалы занятия.
На дом:
Где можно дополнительно посмотреть информацию:
[Ефимов]: с. 9, п. 2 - краткое изложение материала про множества и действия над ними;
[Ефимов]: с. 15, п. 4 - краткое изложение материала, касающегося логической символики и ее применения (пример 5 на с. 16 показывает один из возможных вариантов записи метода математической индукции на языке кванторов).
Упражнения:
выучить вывод основных неравенств, связанных с абсолютными величинами;
выучить вывод основных тригонометрических соотношений;
[Ефимов]: 5.28 - 5.34, 5.83 - 5.93;
[Демидович]: 1 - 10.1, 21.
Знать к занятию:
понятие границы множества (верхней и нижней) и точной границы множества (верхней и нижней) [11] (рекомендуется предварительно познакомиться с [6] и [10]);
понятие последовательности [22];
понятие функции [43 - 51];
понятие монотонности (формулировка для функции и для последовательности).
* * *
Примечание - Как следует из определения функции, последовательность является частным ее случаем (об этом упоминается в [45]). С принципиальной точки зрения порядок изучения (начинать ли с частного случая последовательности или сразу с общего случая функции) не имеет значения, однако с методической точки зрения на примере последовательностей проще освоить основные идеи, связанные с пределами.
На дом:
Где можно дополнительно посмотреть информацию:
[Ефимов]: с. 17, п. 1.
Упражнения:
построить (например, в desmos) и выучить графики элементарных функций (см. [48] или [Ефимов], с. 22);
выучить определение последовательности ([22] или [Ефимов], с. 25, п. 1 - для практической стороны дела сведения [22] важнее формального определения, данного в задачнике [Ефимов]!);
[Ефимов]: 5.95 - 5.97, 5.99, 5.103, 5.116, 5.117, 5.131, 5.133, 5.140, 5.147, 5.150, 5.213 - 5.228;
Целью занятия является освоение простейших приемов вычисления пределов переменной, зависящей от натурального аргумента. Эти приемы можно условно поделить на две группы: "теоретические" и "алгоритмические". Они отличаются тем, что в первую группу попадают приемы, которые по большей части основаны на применении различных теорем о пределах, в то время как ко второй группе относятся приемы, напоминающие "готовые рецепты" (речь идет, прежде всего, о методах раскрытия неопределенностей).
Для освоения этих приемов необходимо
Знать к занятию:
понятие предела последовательности, бесконечно малой величины и связь между ними [23 - 24];
простейшие теоремы о переменной, имеющей предел [26];
понятие бесконечно большой величины и ее связь с бесконечно малой [27];
теоремы, облегчающие нахождение пределов в простейших случаях [28 - 30];
понятие неопределенности [31] (в этом номере указаны 4 из 7 типов неопределенностей);
теорему Штольца [33] (она дает эффективный способ вычисления пределов последовательностей, вот дополнительные комментарии);
теорему о пределе монотонной переменной [34].
* * *
Доказательство единственности предела [26, 5°] иллюстрирует одну важную идею, связанную с номерами - ее следует взять на вооружение, поскольку она часто находит применение.
При вычислении пределов следует пользоваться наиболее удобным приемом, если в задании не указано иное.
На дом:
Где можно дополнительно посмотреть примеры вычисления пределов последовательностей:
[23 - 35] - здесь последовательно излагается теория пределов последовательностей и после каждого раздела приводятся примеры;
[Крючкович]: 587 - 591.
Упражнения:
[Кузнецов] (часть I): задачи 1 - 4 (по 3 любых примера) и задача 5 (все примеры);
[Крючкович]: 592 - 611;
[Ефимов]: 5.230 - 5.250;
[Демидович]: 42 - 66, 89, 91;
Целью занятия является освоение более сложного случая - вычисления пределов функции вещественного аргумента. Начиная с этого момента, мы уже не делаем разницы между функциями и последовательностями, поскольку вторые есть попросту частный случай первых.
Знать к занятию:
определение предела функции: на "языке окрестностей" [52] (как говорят, "определение по Коши") и на "языке последовательностей" [53] ("определение по Гейне"), а также доказательство их равносильности [53];
понятие одностороннего предела [52];
первый [54, 7)] и второй [54, 8)] замечательные пределы (эти два результата - фундаментальной важности!);
примеры вычисления пределов функций [54, 1) - 6)];
пример несуществования предела функции [54, 9)]: здесь иллюстрируется важный прием (извлечение двух подпоследовательностей и применение теоремы о единственности предела), который часто оказывается приложим на практике;
заключительный пример номера [54, 10)] и "Замечание" к нему (с. 127);
распространение теории пределов [55]: наиболее важный результат состоит в том, что заново доказывать теоремы, которые были доказаны для последовательностей, применительно к функциям не нужно - достаточно лишь встать на "точку зрения последовательностей".
* * *
Равносильность определений предела позволяет при теоретических исследованиях пользоваться тем из них, которое (в данном конкретном случае) более удобно. В качестве примера можно указать на доказательство общего случая для второго замечательного предела [54, 8)].
На дом:
Где можно дополнительно посмотреть примеры вычисления пределов (здесь и далее мы уже не делаем разницы между функциями и последовательностями, поскольку вторые есть попросту частный случай первых):
[56];
[Крючкович]: 612, 613, 618, 619, 646 - 651;
[Ефимов]: примеры 1 и 2 (после 5.287).
Упражнения:
[Кузнецов] (часть I): задачи 7, 9 и 10 (по 3 любых примера);
[Ефимов]: 5.261 - 5.302;
[Демидович]: 402 - 407, 411 - 428, 435 - 467.
Замечательными пределами называют два результата теории пределов, из которых получаются далеко идущие следствия.
Знать к занятию:
подробности доказательства второго замечательного предела;
Рекомендуется такой порядок: сначала рассмотреть более простой случай последовательности [36] (это одно из возможных определений числа e; здесь необходимо еще раз обратить внимание на важность теоремы о пределе монотонной переменной [34]), а затем изучить доказательство общего результата [54, 8)], где успех дела обеспечивается грамотным применением определения предела функции "на языке последовательностей". Различные формы этого результата даны в лице формул (11), (11а) и (13) того же номера - именно они и находят применение в практике разыскания пределов.
подробности доказательства первого замечательного предела [54, 7)];
Что важно в этом доказательстве? Во-первых, следует обратить внимание на формулу (9) - она оказывается полезной и для других целей. Во-вторых, вместо использования теоремы о сжатой переменной (как это сделано, например, на Википедии) разность
1 — cos(x)
подвергается оценке. Это - пример безупречности в рассуждениях: из того, что cos(0) = 1 еще не следует, что при стремлении x к нулю cos(x) будет стремиться к 1. Для использования теоремы о сжатой переменной этот факт пришлось бы обосновывать отдельно!
понятие о сравнении бесконечно малых величин [60] и о порядке малости (одной величины относительно другой);
понятие о шкале бесконечно малых [61];
понятие об эквивалентных бесконечно малых [62] (два определения и их равносильность);
Эквивалентные бесконечно малые функции - важнейшее орудие во всем дальнейшем анализе. С их помощью облегчается разыскание большого количества различных пределов; они принимают участие в раскрытии большинства неопределенностей, делают простыми исследования в области теории рядов, служат источником приближенных формул, являются отправной точкой (или промежуточным шагом) при построении алгоритмов в численных методах и вычислительной математике и многое другое. Аппаратом эквивалентных функций необходимо овладеть в совершенстве, поскольку в различных формах они будут встречаться на протяжении всего дальнейшего курса.
понятие о классификации бесконечно больших величин [65].
* * *
В целях расширения кругозора мы обратим внимание учащегося на ряд следующих обстоятельств.
При доказательстве первого замечательного предела [54, 7)] (с. 122) внизу страницы помещена сноска такого содержания: "При этом мы пользуемся теми сведениями о площадях элементарных фигур, которые излагаются в школьном курсе."; она неявно подразумевает, что в отношении "площадей элементарных фигур" имеются еще какие-то сведения. Это действительно так: в качестве введения читатель приглашается к вопросу о том, почему площадь прямоугольника вычисляется как произведение длин его сторон. Вот начало ответа на него: площадь квадрата со стороной 1 мы принимаем равной единице по определению.
(Отклоняясь от основной линии, заметим, что ни предшествующая целесообразность, ни нужды школьного курса не требуют рассматривать вопрос на таком уровне абстракции - обстоятельства меняются в рамках именно высшей математики. Наиболее это заметно при изучении теории вероятности, построение которой оказывается немыслимым без теории множеств: здесь особенно сильно проявляется концепция постановки в соответствие некоторому множеству какого-то числа по заданным правилам. Тем не менее, теория вероятностей вовсе не одинока в этом отношении, что приводит математиков к необходимости рассмотреть саму процедуру "функция(множество) = число" безотносительно какого-либо частного вопроса. Так появляется теория меры: длины, площади, объемы - лишь частные примеры случаев, о которых идет речь.)
Кроме того, обращает на себя внимание тот факт, что первый замечательный предел - единственный пример во всем "Курсе...", когда отправной точкой для вывода результата послужила геометрия (для сравнения, второй замечательный предел получен аналитически, т. е. с использованием исключительно языка чисел). Во всех других случаях геометрические построения либо служат иллюстрацией к уже проведенным рассуждениям (будь то вычисление объема треугольной пирамиды [32, 3)] или разыскание площади под параболой [32, 4)]), либо являются только лишь источником наводящих соображений, после которых следуют строгие математические формулировки, не прибегающие к помощи геометрических образов (как это будет иметь место, например, с задачами о вычислении мгновенной скорости [90] или проведении касательной [91], которые приводят к понятию производной: определение ему дается языке пределов).
Таким образом, читатель видит, что в практике высшей математики при построении строгой теории наблюдается отказ от использования геометрических построений в качестве опоры (хотя интуиция владеет вполне законным правом их использовать). Следует иметь ввиду, что это не каприз, но вынужденная необходимость: в геометрии легко найти случай, когда "очевидное" оказывается ошибочным. В связи с этим, мы вправе поставить отнюдь не праздный вопрос: корректны ли наши выкладки при доказательстве одного из важнейших соотношений?
Путь к утвердительному (хотя и впечатляюще длинному) ответу на него открывает аппарат бесконечных рядов: любознательных читателей мы отсылаем к знакомству с содержанием номера [443] (т. 2). Другими словами, здесь использование геометрии есть уклонение от строгости лишь в целях методологической пользы - мы вправе считать результат справедливым в полной мере.
На дом:
Где можно дополнительно посмотреть примеры вычисления пределов с использованием эквивалентных:
[Крючкович]: 685, 686, 709 - 714, 727 -736, 739, 740 (с точки зрения приложений бесконечно малых к вычислению пределов примеры 727 - 736, 739 и 740 представляют наибольший интерес).
На с. 172 в §6 приведены основные сведения о бесконечно малых и эквивалентных бесконечно малых, и имеются примеры доказательств ряда соотношений. Эти доказательства нельзя назвать в полной мере строгими, потому что они используют еще не обоснованное (и даже явно не названное) свойство непрерывности. Чтобы эти доказательства имели полную силу, нужно либо ввести понятие непрерывности и обосновать его наличие для используемых функций, либо (что, в целом, то же самое) отдельно обосновывать каждый переход в рассуждениях.
Где можно дополнительно посмотреть примеры вычисления пределов с использованием второго замечательного предела:
[Крючкович]: 700 - 702, 737, 738;
[Ефимов]: пример 3, с. 32.
При рассмотрении иллюстрационных примеров (во всех указанных источниках) мы могли бы сделать аналогичные замечания по отношению к строгости одного из переходов: она нарушается всякий раз, когда предельный переход совершается только в какой-либо одной части всего выражения, находящегося под знаком предела. В рассмотренных примерах это имело место тогда, когда утверждалось, что основание стремится к e (что само по себе верно), но показатель степени рассматривался отдельно (предельный переход при этом переходил в степень выражения).
Это (строго говоря неверное) преобразование мы будем называть "техническим приемом"; практику его применения оправдывает то, что он всегда дает правильный результат. Для доказательства имеются два пути: первый состоит в том, чтобы сначала доказать непрерывность показательной и логарифмической функции, а также их композиции (тогда "технический прием" сводится просто к применению непрерывности). Второй: провести серию аккуратных выкладок, рассмотрев все возможные случаи.
Упражнения:
[Кузнецов] (часть I): задача 6 (3 любых примера), задачи 11 - 13 (полностью), задача 14 (3 любых примера), задача 15 (полностью), задачи 16, 18 и 19 (по 3 любых примера);
[Крючкович]: 687 - 699, 704 - 708, 715 - 717, 723, 724, 741 - 777;
[Ефимов]: 5.303 - 5.316, 5.366 - 5.371;
[Демидович]: 69, 75, 469 - 481.
Знать к занятию:
(в разработке)
На дом:
Где можно дополнительно посмотреть примеры исследования функции на непрерывность:
[Крючкович]: 778 - 782.
Упражнения:
[Ефимов]: 5.384 - 5.390, 5.399 - 5.402;
[Демидович]: 620 (б), 621 - 625, 701, 720 - 723, 729 - 730, 731 (а, б), 751.
Задача - познакомиться с удобным механизмом описания взаимного поведения функций при рассмотрении их вблизи некоторой точки (которая сама может быть конечной или нет). Математики Пауль Бахман (работа от 1894 года) и Эдмунд Ландау (работы 1909 года) для целей этого описания изначально использовали только символы о(х) (введен Ландау) и О(х) (введен Бахманом), однако удобство новой символики и практичность идеи в целом привели к расширению списка новых обозначений.
Символы o и O читаются, соответственно, как "о-малое" и "О-большое": они происходят от немецкого "ordnung" (порядок), поскольку применяются, прежде всего, именно для обозначения порядка роста (одной функции относительно другой). О-символика повсеместно используется при рассмотрении и описании алгоритмов.
Знать к занятию:
простейшее введение к предмету разговора;
Алгоритмы. Построение и анализ (изд. 3) (Т. Кормен, Ч. Лейзерсон, Р. Ривест, К. Штайн) - в главе 3 (раздел 3.1) приводится наглядное и подробное описание всех случаев О-символики.
На дом:
Д: 650 (а, б, г, е, ж), 651, 652.
Обращаем внимание читателя на то, что производная есть предел (в некотором смысле, специального вида). Таким образом, на этот новый объект распространяются все выводы, которые были получены по отношению к пределам вообще.
Слово "differentia" от латинского означает "разность"; оно употребляется в том же смысле, в котором используется англ. "difference" - "разница", "наличие различий". Термин "продифференцировать функцию", вообще говоря, означает "найти дифференциал функции"; в русском языке, в отличие от большинства других, нет отдельного термина для операции "разыскания производной". Это обстоятельство следует иметь ввиду, и термин "дифференцировать" трактовать, смотря по контексту.
Знать к занятию:
постановку задач о вычислении мгновенной скорости [90] и проведении касательной и [91] и их решение;
определение производной, ее геометрический и механический смыслы [92];
примеры вычисления производных [93] (частные и общие случаи);
теорему о производной обратной функции [94], ее геометрический смысл и примеры вычисления производных обратных функций;
сводку формул для производных [95];
формулу для приращения функции [96] (описывающую полное приращение через производную);
основные (простейшие) правила вычисления производных [97] (вынесение постоянного множителя и производные суммы, разности, произведения и частного);
правило разыскания производной от сложной функции [98];
правило вычисления производной от степенно-показательного выражения [99, 23)] (в учебнике допущена опечатка: требуется, чтобы положительной была функция u(x), поскольку именно она оказывается под знаком логарифма);
ряд особых случаев, которые могут иметь место в отношении производной: понятие односторонней производной и угловой точки графика [100]; понятие бесконечной производной [101] и пример несуществования производной [102].
Еще раз повторяем: при изучении всех указанных вопросов следует помнить, что их внутренняя структура основана на "предельной" природе вновь введенного понятия! Кроме того, с методической точки зрения память о том, что речь идет о пределе, не только облегчает освоение перечисленного материала, но и способствует формированию цельности восприятия. Все сформулированные выше правила не стоят в отдельности друг от друга, но имеют своим основанием один и тот же источник.
Таблицу производных (см. [95]) необходимо выучить наизусть.
Что касается функций, заданных неявно - подробное изложение этого понятия дано в [205], - то существует две техники разыскания производной (по x). Пока что нам доступна только одна из них: рассматривать функцию f(x,y) = 0 как сложную (где y = y(x)) и, после применения правила дифференцирования сложной функции, выражать производную y' алгебраически.
(Важно, что не всякое выражение f(x,y) = 0 определяет y как функцию от x. Условия, при которых это имеет место, даны в [206], а вторая техника разыскания производной изложена в [207]. Поскольку доказательства требуют более широкого понятийного аппарата, мы откладываем этот разговор до знакомства с функциями нескольких переменных.)
На дом:
Где можно дополнительно посмотреть примеры вычисления производных:
большое количество различных примеров читатель найдет в [99];
[Крючкович]: 791 - 795 (основы);
[Крючкович]: 812 - 818, 852 - 858 (разыскание производной сложной функции);
[Крючкович]: 880 - 884 (логарифмическое дифференцирование);
[Крючкович]: 910, 911 (геометрический смысл производной);
[Крючкович]: 920, 921 (механический смысл производной);
[Крючкович]: 971 - 973 (производная неявно заданной функции; во вступлении к §6 даны хорошие комментарии).
В ряду примеров читатель встретит прием введения промежуточной функции, как это сделано, например, в [99, 6)]. По этому поводу уместно повторить замечания, сделанные в "Курсе...": при разыскании ее производной не только нет надобности выписывать отдельные составляющие сложной функции, но "путем упражнения необходимо добиться того, чтобы вообще писать производные сразу".
Упражнения:
[Кузнецов] (часть II): задача 1 (3 любых примера);
[Крючкович]: 912 - 919, 922, 974 - 976;
[Ефимов]: 6.21 - 6.76, 6.86, 6.88, 6.89, 6.146 - 6.157;
[Демидович]: 833, 845 - 971, 977, 984, 986, 1023, 1028 - 1030;
Знать к занятию:
постановку вопроса и определение дифференциала (а также дифференцируемой функции) [103];
связь между дифференцируемостью и существованием производной (еще раз подчеркиваем, что в русском языке это, вообще говоря, два разных понятия!), геометрический смысл дифференциала [104];
основные формулы и правила дифференцирования (в смысле разыскания дифференциалов) [105];
сущность инвариантности формы (первого) дифференциала и вытекающий из нее метод разыскания производной от функции, заданной параметрически [106];
принцип применения дифференциалов для вывода приближенных формул [107].
Формула (5) номера [104], устанавливающая связь между дифференциалом функции и ее производной (в указанной точке), является особенно важной; она найдет широкое приложение в интегральном исчислении.
Забегая вперед, укажем, что дифференциалы высших порядков свойством инвариантности уже не обладают.
На дом:
Где можно посмотреть технику решения задач:
несколько примеров на нахождение дифференциалов функций даны непосредственно в [103];
[Крючкович]: 925, 926 (вычисление дифференциалов функций);
[Крючкович]: 939 - 941 (вывод приближенных формул);
[Крючкович]: 981, 982 (производная функции, заданной параметрически);
[Ефимов]: пример 1 (с. 72), пример 2 (с. 74).
Упражнения:
[Крючкович]: 927 - 938, 942 - 948;
[Ефимов]: 6.168 - 6.172, 6.274, 6.285 - 6.289, 6.290 - 6.300;
[Демидович]: 1039 - 1046, 1048 - 1053, 1085 - 1090, 1099 - 1103.
Перед переходом к основным в дифференциальном исчислении теоремам мы остановимся на расширении арсенала понятий и сопровождающих их технических приемов.
Знать к занятию:
определение производных высших порядков [115];
общие формулы для производных любого порядка [116];
формулу Лейбница [117];
Настоятельно рекомендуем читателю в целях тренировки самостоятельно воспроизвести результаты номера [116]: ценные сами по себе, они служат основой для дальнейших выводов. Обращаем внимание на пример 7), в котором "более искусственный" прием демонстрирует общую идею упрощения выражения перед разысканием производной - содержание маневров такого типа не ограничивается лишь предварительными преобразованиями алгебраического толка, но и предполагает использование функциональных свойств. Частный пример функционального преобразования (в виде логарифмирования) уже встречался ранее при разыскании производной степенно-показательного выражения.
Формула Лейбница "часто бывает полезна при выводе общих выражений для n-й производной". Ее практическое приложение обычно имеет следующий характер: сначала находятся общие производные от функций u(x) и v(x) в отдельности, после чего результаты попросту подставляются в формулу.
понятие дифференциалов высших порядков [119];
нарушение инвариантности формы для дифференциалов высших порядков [120];
параметрическое дифференцирование [121].
Из формул для дифференциалов высших порядков удобно выводятся формулы для высших производных по параметру (делением на dt). Для того, чтобы соотношения между дифференциалами не представляли трудностей, следует помнить, что при независимой переменной x дифференциал dx есть произвольное постоянное число, а при новой переменной t (в случае x = x(t)) дифференциал dx является функцией (от независимого переменного t). Правила дифференцирования (здесь - именно в смысле разыскания дифференциалов!) применяются с учетом указанных обстоятельств.
В качестве упражнения рекомендуется детально разобраться с примером, рассмотренным в [120], а также самостоятельно вывести формулы (5) и (6) (см. [121]) и вытекающие из них правила разыскания второй и третьей производной (по x) в случае параметрического задания функции.
* * *
Следует иметь ввиду, что - при разыскании производных высших порядков - предполагаемое общее правило всякий раз должно быть обосновано! В этом свете поучительно еще раз напомнить о приложении метода математической индукции; примеры читатель найдет в [116, 9)] и [117] (обоснование правила Лейбница).
На дом:
Где посмотреть примеры:
непосредственно в [116] и [118] даны примеры вывода общих правил для производной n-го порядка;
[Крючкович]: 949 - 953 (примеры на производные высших порядков);
[Ефимов]: пример 8 (с. 64), 6.205 (прием с упрощением выражения перед разысканием общего правила для производной), 6.215 (пример на правило Лейбница), 6.229 (пример на параметрическое дифференцирование).
Упражнения:
[Кузнецов] (часть II): задача 17 (3 любых примера);
[Крючкович]: 954 - 956, 964 - 966, 986 - 988;
[Ефимов]: 6.199 - 6.204, 6.206 - 6.211, 6.231 - 6.233, 6.303 - 6.310;
[Демидович]: 1121 - 1128, 1130 - 1136, 1140 - 1142, 1156, 1157, 1159, 1163, 1171 - 1173, 1176, 1186, 1187.
В теоремах настоящего раздела речь будет идти о некотором числе c, которое находится внутри рассматриваемого промежутка [a, b]:
a < c < b
- именно за это они и получили название теорем о средних значениях. Вслед за учебником нелишне будет повторить: тот факт, что речь идет о внутренней точке промежутка, является ключевым. Он играет одну из главных ролей в доказательстве теоремы Ферма, на которую опираются все остальные теоремы.
Основными в дифференциальном исчислении эти теоремы названы потому, что они прокладывают путь от математического аппарата анализа к его первым существенным результатам. Общий метод раскрытия неопределенностей (известный как правило Лопиталя и его приложения), техника исследования функций на наибольшие или наименьшие значения (экстремумы), обоснование неравенств, исследование свойств функций - таковы наиболее известные примеры. Основными в дифференциальном исчислении теоремы названы за то, что в основе всех указанных приложений (а также в формулировках всех теорем) лежит понятие производной.
С практическим применением понятия непрерывности читатель уже знаком - например, из номера [77], где при вычислении пределов именно ввиду непрерывности открывалась возможность внести предельный переход в аргумент функции. Содержание настоящего раздела (в особенности теоремы Ферма и Ролля) дает примеры теоретической силы непрерывности и ее свойств: без тонких фактов, установленных теоремами Вейерштрасса, доказательства теорем о средних были бы невозможны.
Знать к занятию:
теорему Ферма [109];
теорему Ролля [111];
теорему Лагранжа [112] (называемую еще теоремой о конечных приращениях);
теорему Коши [114].
Дополнительно можно познакомиться с теоремой Дарбу [110], в говорится о среднем значении для производной, а также с приложением теоремы Лагранжа [113].
Теоремы даны в том порядке, в котором изучение каждой следующей непосредственно опирается на предыдущую. В частности, теорема Лагранжа обобщает теорему Ролля, а теорема Коши служит обобщением теоремы Лагранжа.
* * *
На что (помимо тонкостей, которые были указаны в "Курсе...") следует обратить внимание при изучении этих теорем?
Прежде всего, аккуратность формулировок: во всех теоремах требуется существование конечной производной вместо дифференцируемости, как это встречается в большом количестве источников. Конечно, в такой "редакции" под дифференцируемостью понимается наличие производной, но это все же математический жаргон, для начинающих лишний. Если вспомнить точный смысл, вкладываемый в определение дифференциала (см. [103], формула (1) там же), а затем утверждать именно наличие дифференцируемости в любой из теорем, то получится следующая цепочка. Сначала (в условиях теоремы) будет сказано, что функция дифференцируема в каждой точке промежутка [a, b], так что
dy = A Δx при A ≠ 0.
Отсюда будет следовать [104], что в каждой точке промежутка A совпадает с производной в этой точке: A = y'(x), которая отлична от нуля. Мы приходим к нелепости: из (понимаемых буквально) условий теоремы (дифференцируемости) следует, что производная не обращается в нуль внутри промежутка [a, b], - и теорема тут же утверждает обратное!
С доказательством теоремы Ферма рекомендуется также познакомиться по "Основам..." [О: 100]: по существу такое же, оно демонстрирует важность свойства предельного перехода в неравенстве. Как и в случае первой теоремы Больцано-Коши [80] (теоремы об обращении в нуль), доказательство теоремы Ферма (при наличии у функции строгого локального максимума или минимума, как на рис. 48, с. 224) перестало бы быть верным, если бы знак неравенства при предельном переходе не менялся бы на нестрогий!
Что касается теоремы Лагранжа, то в [104] (с. 227, рис. 51) дана геометрическая интерпретация теоремы (на кривой y = f(x) найдется хотя бы одна точка, в которой касательная параллельная хорде). Полезно дать и механическую трактовку: при соблюдении условий теоремы мгновенная скорость изменения функции хотя бы раз совпадет со своим средним значением.
...
В заключение отметим методологическую схожесть в доказательствах теоремы Дарбу [110] и второй теоремы Больцано-Коши [82] (теоремы о промежуточном значении), а также теорем Лагранжа [112] и Коши [114].
На дом:
Где посмотреть примеры на применение теорем:
[Крючкович]: 991 - 993.
Упражнения:
[Крючкович]: 994 - 997;
[Ефимов]: 6.316 - 6.325;
[Демидович]: 1235 - 1237, 1244, 1252.
В разработке
Мы начнем изучение приложений понятия производной в порядке, отличном от принятого в "Курсе...". На первое место будут поставлены общие принципы раскрытия неопределенностей различных типов: важные и интересные сами по себе, они все же относятся к техническим приемам, играющим в дальнейшем вспомогательную роль.
В разработке
В разработке
В разработке