Notas sobre Cálculo en varias variables

Apunte interactivo de Cálculo en Varias Variables, orientado a cursos iniciales de ingeniería, que desarrolla de manera rigurosa y progresiva los conceptos fundamentales del espacio euclidiano, funciones de varias variables, límites y continuidad.

El material se apoya sistemáticamente en GeoGebra como herramienta de exploración y visualización, integrando actividades interactivas que permiten manipular gráficamente funciones, superficies y conjuntos en el espacio euclidiano, favoreciendo la comprensión conceptual de ideas que suelen resultar abstractas.

El apunte está diseñado para dialogar directamente con el trabajo en aula, promoviendo la experimentación, la conjetura y el análisis matemático, y no solo la aplicación mecánica de procedimientos.

Tabla de contenidos

• Topología

  • Cercanía y distancia en el espacio euclidiano

  • Conjuntos abiertos en el espacio euclidiano

  • Otros conceptos topológicos en el espacio euclidiano

• Funciones escalares

  • Funciones o campos escalares

  • Dominio como región del plano

  • Curvas y superficies de nivel

• Límite y continuidad

  • Idea intuitiva de límite

  • Métodos para analizar límites

  • Método de trayectorias

  • Límites iterados

  • Coordenadas polares

  • Métodos algebraicos

  • Continuidad

• Funciones vectoriales

  • Funciones vectoriales

Las unidades que siguen todavía no incluyen preguntas ni retroalimentación, puesto que actualmente se encuentran en proceso de desarrollo. 

• Diferenciabilidad para campos escalares

  • Cambio local y direcciones

  • Derivada direccional

  • Derivadas parciales

  • La estructura de la derivada direccional

  • El gradiente y la dirección de máximo crecimiento

  • El gradiente como organizador geométrico

Apuntes de cátedra

• Diferenciabilidad y la matriz Jacobiana

• La regla de la cadena

• Máximos y mínimos

• Multiplicadores de Lagrange

Integración

• Introducción a integral doble.

• Teorema de Fubini.

• Cambio de variable para integrales dobles.

• Introducción a integral triple.

• Cambio de variable para integrales triples.

Cálculo vectorial

• Resumen general de lo que abarca la unidad

• Introducción a integral de línea sobre curvas para campos escalares.

• Introducción a integral de línea sobre curvas para campos vectoriales.

• Campo conservativo y función potencial.

• Teorema de Green.

• Superficies e integral de superficie para campos escalares.

• Integral de superficie para campos vectoriales (flujo).

• Teorema de Stokes y teorema de Gauß.

Simulación para interpretación del flujo neto y la divergencia.

• Si entran más partículas de las que salen (flujo neto positivo en la visualización = sale - entra negativo en términos físicos), significa que el campo vectorial converge hacia el interior de la caja. En ese caso, la divergencia en el punto central de la caja es negativa (sumidero).

• Si salen más de las que entran (flujo neto positivo en nuestros números), el campo diverge desde el interior y la divergencia es positiva (fuente).

• Puedes comprobarlo algebraicamente: calcula la divergencia analítica ∂P/∂x + ∂Q/∂y del campo que hayas definido y evalúala en el centro de la caja (coordenadas (cx, cy)). Verás que el signo coincide con el del flujo neto observado.

• Para una mayor precisión en la estimación del flujo neto (y por tanto de la divergencia), se recomienda usar una caja pequeña (para que el campo sea aproximadamente constante en su interior) y un número elevado de partículas n×n (hasta 20×20) para muestrear bien los cruces por las fronteras.