Visualizando el movimiento y su derivada
Esta simulación muestra cómo varía la posición de un automóvil a lo largo del tiempo y permite explorar visualmente la derivada como razón de cambio instantáneo.
A partir de la trayectoria del auto, es posible observar cómo su posición cambia en el tiempo.
El valor de la derivada en cada instante se representa mediante la pendiente de la recta tangente a la gráfica de posición.
Desde un enfoque físico, este valor corresponde a la velocidad instantánea: cuánto cambia la posición en un instante dado.
Desde un enfoque geométrico, se interpreta como la inclinación de la curva en cada punto.
La simulación busca apoyar la comprensión de la derivada como herramienta para medir el cambio y describir fenómenos dinámicos
Explorando la dirección de mayor crecimiento
Esta simulación permite visualizar cómo varía una función de dos variables en su dominio y cómo se relaciona ese comportamiento con el gradiente.
Se muestra la gráfica tridimensional de la función junto con un degradado de color en el dominio (debe activarse con el botón correspondiente), que indica las zonas de mayor y menor valor.
Es posible activar el vector gradiente normalizado, que apunta en la dirección de mayor crecimiento de la función en un punto dado.
Al mover el punto de análisis, se observa cómo cambia la orientación del gradiente, lo que permite comprenderlo como medida de variación puntual.
También se pueden activar las curvas de nivel, que ayudan a interpretar geométricamente el gradiente como un vector ortogonal a ellas.
El gradiente puede entenderse como una generalización del concepto de derivada para funciones de varias variables: no solo indica cuánto cambia la función, sino también en qué dirección lo hace más rápidamente.
Esta herramienta busca reforzar la comprensión del gradiente como una herramienta geométrica, numérica y física para describir cómo cambia una función en varias variables.
Plano tangente a una superficie
Esta simulación permite explorar cómo el plano tangente ofrece la mejor aproximación lineal a la gráfica de una función z=f(x,y) en un punto.
La función está restringida a un dominio circular (puedes modificar su centro y radio). Con los controles deslizantes puedes:
Ajustar el tamaño de la porción de plano que se muestra.
Cambiar el radio del círculo que define el dominio de f(x,y).
Ajustar el plano para que toque a la superficie en el punto elegido (tangencia).
Al interactuar con los parámetros, se observa que el plano toca la superficie en el punto de tangencia y la aproxima cada vez mejor en una vecindad de ese punto.
Esta herramienta refuerza la comprensión geométrica de la diferenciabilidad, mostrando cómo el plano tangente modela localmente el comportamiento de f(x,y).