Задачі на подільність чисел
Понятие делимости
Понятие делимости – это одно из основных понятий арифметики и теории чисел. Мы будем говорить о делимости целых чисел и в частных случаях - о делимости натуральных чисел. Итак, дадим представление о делимости на множестве целых чисел.
Целое число a делится на целое число b, которое отлично от нуля, если существует такое целое число (обозначим его q), что справедливо равенство a=b·q. В этом случае также говорят, что b делит a. При этом целое число b называется делителем числа a, целое число a называется кратным числа b, а целое число q называют частным. Если целое число a делится на целое число b в указанном выше смысле, то можно сказать, что a делится на b нацело или без остатка. Этот факт записывают с помощью символа, представляющего собой три расположенные по вертикали точки.
Разберемся с понятием делимости на примерах. Целое число 81 делится на целое число 27, так как 81=27·3. Здесь же можно сказать, что число 27 делит 81. В этом примере целое число 81 – это кратное числа 27, а число 27 – делитель числа 81. А вот целое число 16 не делится на целое число 5, так как не существует такого целого числа q, при котором верно равенство 16=5·q. Таким образом, число 16 не является кратным числа 5, а число 5 не является делителем числа 16.
Основные свойства делимости
1. Делимость произведения. Если одно из двух целых чисел делится на некоторое целое число, то и их произведение делится на это число.
2. Делимость суммы и разности. Если два целых числа делятся на некоторое целое число, то их сумма и разность делится на это число.
3. Если целое число a делится на некоторое целое число m, а число m в свою очередь делится на некоторое целое число b, то a делится на b.
4. Разница между двумя соседними целыми числами, делящимися на некоторое целое число, равна этому числу.
5. Среди m подряд идущих целых чисел ровно одно число делится на m.
Задачі з розв'язанням
1. Було вято 10 аркушів паперу. Деякі аркуші розрізали на 10 частин, потім деякі кусочки, які отримали, знову розрізали на 10 частин і т.д. На якомусь етапі підрахували загальну кількість аркушів паперу, виявилося, що їх усього 1386. Чи правильно підрахували кількість аркушів?
ВІДПОВІДЬ. В результаті розрізання одного аркуша загальна кількість аркушів збільшується на 9. Тому кінцеве число аркушів, за винятком 10-ти початкових, має бути кратним 9, отже, підраахунок невірний.
2. Яку цифру потрібно приписати до числа 97 праворуч і ліворуч, щоб отримане число ділилося на 27?
ВІДПОВІДЬ. Подвоєна невідома цифра доповнює суму відомих цифр числа до величини, що кратна 9. Сума відомих цифр парна (16), подвоєна невідома цифра, нехай х, - також парна. Отже, сума цифр шуканого числа парна й дорівнює 18, значить х = 1, а шукане число - 1971.
3. Номер автобусного билета – шестизначное число. Билет называется счастливым, если сумма трёх первых цифр номера равна сумме последних трёх цифр. Докажите, что сумма всех номеров счастливых билетов делится на 13.
РЕШЕНИЕ. Если счастливый билет имеет номер А, то билет с номером В=999999–А также счастливый, при этом А и В различны. Поскольку А+В=999999=1001·999=13·77·99 делится на 13, то и сумма номеров всех счастливых билетов делится на 13.
Мало задач?
1. Ваня задумал простое трёхзначное число, все цифры которого различны. На какую цифру оно может оканчиваться, если его последняя цифра равна сумме первых двух?
2. Может ли число, составленное только из троек, делиться на число, составленное только из четвёрок?
3. Знайдіть останню цифру числа 97531*, якщо відомо, що воно ділиться на 6, але не ділиться на 9.
4. Шестизначное натуральное число делится на 90 и записывается только цифрами 0 и 3.
a) Приведите пример такого числа.
b) Найдите все такие числа и докажите, что других нет.
5. Дома у Олега есть сейф, но кода он не знает. Бабушка рассказала Олегу, что код состоит из 7 цифр — двоек и троек, причем двоек больше, чем троек. А дедушка — что код делится и на 3, и на 4. Сможет ли Олег с первой попытки открыть сейф?
6. Вася написал на доске пример на умножение двух двузначных чисел, а затем заменил в нем все цифры на буквы, причём одинаковые цифры — на одинаковые буквы, а разные — на разные. В итоге у него получилось: AB×CD=EEFF и AB×CD=EFFE. Докажите, что он где-то ошибся.