Observe, na animação abaixo, duas pilhas com o mesmo número de placas, apenas arrumadas de formas diferentes. Use o controle deslizante "move the stack of slabs" para mover as placas. Você notará que:
qualquer plano horizontal que seccione (intercepte) as duas pilhas terá intersecções de mesma área (uma placa);
as duas pilhas têm volumes iguais (só mudam as formas).
Agora, habilite a opção "solids" na animação acima. As pilhas se transformarão em dois sólidos geométricos e aparecerá um plano paralelo à base que os sustenta. Lembre-se que, pela nossa construção, as duas pilhas (e os sólidos) têm a mesma altura.
Ao manipular o controle deslizante vertical do lado esquerdo, você observará que, ao seccionar o primeiro sólido, o plano também secciona o segundo, determinando duas regiões planas.
Nessas condições, se para todo plano tivermos seções de mesma área, então poderemos afirmar que os dois sólidos terão o mesmo volume.
Isso que acabamos de apresentar de maneira intuitiva é o que chamamos princípio de Cavalieri. Veja, agora, a definição formal abaixo:
Princípio de Cavalieri: dois sólidos, nos quais todo plano secante, paralelo a um dado plano, determina superfícies de áreas iguais (superfícies equivalentes), são sólidos de volumes iguais (sólidos equivalentes).
É possível demonstrar o princípio de Cavalieri, mas aqui vamos considerá-lo verdadeiro sem fazer sua demonstração. Veremos que esse princípio simplifica muito o cálculo de volumes. Apenas para ilustrar, veja uma de suas aplicações, no cálculo do volume de corpos redondos - conteúdo que estudaremos mais a diante.
Bonaventura Francesco Cavalieri nasceu em Milão, na Itália, no ano de 1598. Aos 18 anos, se mudou para o mosteiro da ordem Jesuati, onde conheceu os trabalhos de Euclides e foi discípulo de Galileo. Em 1621, ordenou-se diácono e assistente do cardeal Frederico Borromeo no mosteiro em Milão. Começou a ensinar Teologia e, depois de oito anos, foi apontado para a cadeira de Matemática em Bolonha. Cavalieri publicou diversos livros, entre os quais podemos destacar:
Directorium Universale Uranometricum (1632): divulga tabelas de senos, tangentes, secantes, cossenos e logaritmos. Esse trabalho foi um dos que viabilizou a introdução dos logaritmos como uma ferramenta computacional na Itália;
Geometria indivisibilibus continuorum nova (1635): desenvolve a idéia de Kepler sobre quantidades infinitamente pequenas. Seu método sobre os indivisíveis foi muito criticado na época, pois não apresentava o rigor matemático desejado;
Exercitationes geometricae sex (1647, livro ao lado): apresenta de maneira mais clara sua teoria. Tal livro transformou-se em fonte importante para os matemáticos do século XVII.
Cavalieri também escreveu sobre Astronomia e Óptica e manteve correspondência com muitos matemáticos da época, entre eles Galileo, Torricelli e Viviani. Permaneceu em Bolonha, Itália até sua morte no dia 30 de novembro de 1647.