Caso particular:
o paralelepípedo

O paralelepípedo é um tipo de pavimentação antigo, que ainda pode ser encontrado ainda em algumas cidades pelo interior do Brasil, principalmente nas ruas de cidades históricas, zonas periféricas, pátios industriais e loteamentos, por exemplo.

Em Matemática, o paralelepípedo tem o mesmo formato que a imagem ao lado, mas seu conceito de está associado ao polígono que compõe a base do prisma:

Paralelepípedo é todo prisma cujas bases são paralelogramos.

Como decorrência dessa definição, paralelepípedos são casos especiais de prismas, cuja particularidade é que qualquer de suas faces pode ser tomada como base, pois duas faces opostas quaisquer estão situadas em planos paralelos e são ligadas por arestas paralelas entre si. Além disso, sua superfície total é a reunião de seis paralelogramos.

Na animação abaixo, manipule os três pontos vermelhos para observar diferentes formatos de paralelepípedo.

Veja três casos importantes de paralelepípedos:

Paralelepípedo reto

É um paralelepípedo cuja superfície total é a reunião de quatro retângulos (faces laterais) com dois paralelogramos (bases).

Paralelepípedo retângulo ou retorretângulo

É um paralelepípedo cuja superfície total é a reunião de seis retângulos.

Cubo

É um paralelepípedo cuja superfície total é a reunião de seis quadrados. Note que o cubo é um paralelepípedo retângulo em que todas as arestas são congruentes.

Cálculo da diagonal de um paralelepípedo retângulo

A diagonal do paralelepípedo é o segmento que liga dois vértices em faces opostas. Para calcular a diagonal do paralelepípedo de dimensões a, b e c vamos utilizar dois triângulos retângulos, sendo o primeiro no plano da base. Na animação abaixo, use o controle deslizante "slide me" para compreender melhor essa estratégia . Em seguida, assista ao vídeo para ver a dedução da fórmula.

Tarefa

(Tarefa 1) Uma indústria precisa fabricar 10 000 caixas de sabão com as medidas da figura abaixo. Desprezando as abas, calcule, aproximadamente, quantos metros quadrados de papelão serão necessários.

Resolução: A caixa tem a forma de um paralelepípedo retângulo formado por 6 faces com as seguintes características:

- dois retângulos de medidas 14cm e 20cm

- dois retângulos de medidas 20cm e 40cm

- dois retângulos de medidas 14cm e 40cm

Daí, a área total (AT) será calculada da seguinte forma:

AT = 2·(14·20) + 2·(20·40) + 2·(14·40)
AT = 560 + 1600 + 1120
AT = 3280 cm²

Como são 10.000 caixas, temos:

A = 3.280 · 10.000 = 32.800.000 cm² = 3.280 m²

Portanto, serão necessários pelo menos 3.280 m² de papelão.

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