I capitoli fanno riferimento ai libri di testo consigliati: Bramanti-Pagani-Salsa, Analisi matematica 1 e 2
Volume 1, Capitolo 5: Definizione di serie. La serie geometrica e la serie armonica. Una condizione necessaria affinché una serie converga (Teorema 5.1). Criteri di convergenza delle serie a termini non negativi: confronto, confronto asintotico, criterio della radice, criterio del rapporto. Condizione di convergenza per la serie armonica generalizzata (tra gli esempi 1.6 e 1.7). Serie a segno variabile: definizione di convergenza assoluta, se una serie converge assolutamente allora converge (Teorema 5.3). Il criterio di convergenza di Leibniz per le serie a segni alterni.
Volume 2, Capitolo 7: Definizione di serie di potenze e raggio di convergenza. Enunciato del criterio del rapporto e del criterio della radice per determinare il raggio di convergenza di una serie di potenze. Enunciato del teorema sulle proprietà della serie di potenze. Definizione di serie di Taylor di una funzione. Esempio di una funzione di classe C infinito in cui la serie di Taylor centrata in 0 non converge alla funzione.
Volume 2, Capitolo 1: Definizione ed esempi di equazioni differenziali a variabili separabili. Risoluzione delle equazioni differenziali a variabili separabili. Definizione ed esempi di equazioni differenziali lineari (di qualsiasi ordine). Formula della soluzione del problema di Cauchy per equazioni lineari del prim'ordine (con dimostrazione). Enunciato dei primi due punti del teorema di struttura dell'integrale generale per equazioni lineari (complementi, sezione 4.2). Spazio delle soluzioni di un'equazione differenziale lineare omogenea a coefficienti costanti. Soluzioni di alcune equazioni differenziali lineari non omogenee a coefficienti costanti (si veda anche la tabella degli integrali particolari delle equazioni lineari).
Volume 2, Capitolo 3: Definizioni di limite di una successione a valori in R^k, definizione di limite e continuità di una funzione f: R^k -> R^m (si veda anche il Capitolo 2). Definizione di derivate direzionali, derivate parziali e gradiente. Definizione di funzione differenziabile. Condizione sufficiente di differenziabilità. Formula del gradiente per le funzioni differenziabili (Proposizione 3.2 e Teorema 3.9). Esempio di una funzione non differenziabile nell'origine ma in cui esiste il gradiente nell'origine, esempio di funzione non differenziabile nell'origine in cui vale la formula del gradiente nell'origine. Formule di calcolo delle derivate di funzioni a valori in R^k (Teorema 3.11 e Teorema 3.12). Derivate di ordine superiore: definizione, teorema di Schwarz (Teorema 3.14) e definizione di matrice Hessiana. Teorema di Weierstrass sull'esistenza di massimi e minimi assoluti per funzioni continue definite su un insieme chiuso e limitato (Teorema 3.6), teorema di Fermat (Teorema 3.17). Classificazione dei punti critici mediante lo studio della matrice Hessiana (Proposizione 3.3, si vedano anche le note della professoressa Mazzucchi). Studio dei punti di estremo relativo su insiemi aperti e dei punti di estremo assoluto su insiemi chiusi.
Volume 2, Capitolo 2: Definizione di curva in R^k e di parametrizzazione di una curva in R^k. Esempi di curve in R^2 e in R^3. Definizione di curve chiuse, semplici, regolari, regolari a tratti. Il versore tangente. Il versore tangente in t_0 è la direzione della retta tangente alla curva nel punto f(t_0) (con dimostrazione, le note sono disponibili qui). Definizione di curva rettificabile, teorema per il calcolo della lunghezza di una curva regolare (Teorema 2.4 e Proposizione 2.3). Dimostrazione della prima parte del teorema: ogni curva regolare è rettificabile. Calcolo del parametro d'arco di una curva (Paragrafo 4.3), parametrizzazione del grafico del coseno iperbolico con il parametro d'arco (con il procedimento per ricavarlo, le note sono disponibili qui). Definizione di integrale di una funzione su una curva (integrale di linea di prima specie).
Volume 2, Capitolo 4: Definizione di matrice Jacobiana. Definizione ed esempi di superfici. Parametrizzazioni regolari di superfici, formula per determinare il piano tangente a una superficie (utilizzando il vettore normale). Piano tangente a una superficie.
Volume 2, Capitolo 6: Definizione di area di una superficie, definizione di integrale di superficie. Definizione di campo vettoriale, definizione degli operatori gradiente, rotore, divergenza, laplaciano. Identità differenziali (Proposizione 6.1). Lavoro di un campo lungo una curva e sue proprietà: il lavoro dipende dalla curva e dalla sua orientazione. Definizione di campi conservativi, il lavoro dei campi conservativi lungo una curva dipende solo dagli estremi della curva (Lemma 6.1), condizioni equivalenti affinchè un campo sia conservativo (Teorema 6.2). Il teorema di Gauss-Green nel piano (Teorema 6.7), il calcolo delle aree mediante integrali curvilinei. Il teorema della divergenza in dimensione 2 (si vedano le note del professor Veneroni). Definizione di superficie orientabile. Il flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie orientabile: definizione ed esempi. Il teorema della divergenza in dimensione 3 (teorema 6.8). Definizione di bordo di una superficie orientabile. Il teorema del rotore in dimensione 3.