Lezione 1: Introduzione al corso, definizione e primi esempi di serie. La serie armonica, la serie geometrica. Il criterio del confronto e il criterio del confronto asintotico per serie a termini non negativi. La serie di Mengoli, la serie armonica generalizzata. Il criterio del rapporto e il criterio della radice per serie a termini non negativi. Applicazioni dei criteri di convergenza. La convergenza assoluta per successioni a termini di segno qualsiasi (con dimostrazione). Criterio di Leibniz per la convergenza delle serie a segni alterni.
Lezione 2: Serie di potenze: definizione, esempi, raggio di convergenza, criteri per determinare il raggio di convergenza. Serie di Taylor: definizione ed esempi. Serie di Taylor di alcune funzioni elementari. Una funzione di classe C^∞ che non è uguale alla sua serie di potenze centrata nell'origine.
Lezione 3: Introduzione alle equazioni differenziali. Equazioni differenziali a variabili separabili: esempi, tecniche risolutive, teorema di esistenza e unicità delle soluzioni dei problemi di Cauchy. Equazioni differenziali lineari: definizione e proprietà fondamentali (dimensione dello spazio delle soluzioni di un'equazione omogenea, teorema di struttura per le equazioni complete, esistenza e unicità delle soluzioni dei problemi di Cauchy).
Lezione 4: Equazioni differenziali lineari del prim'ordine: tecniche risolutive, caratterizzazione delle soluzioni dei problemi di Cauchy. Equazioni differenziali lineari del second'ordine a coefficienti costanti: primi esempi. Caratterizzazione delle soluzioni delle equazioni omogenee.
Lezione 5: Equazioni differenziali lineari del second'ordine a coefficienti costanti: soluzioni di alcune equazioni complete con il metodo di somiglianza e con il metodo di variazione delle costanti.
Lezione 6: Esempio di risoluzione di un'equazione completa con il metodo di variazione delle costanti. Esercizi su problemi di Cauchy per le equazioni differenziali lineari del second'ordine. Problemi ai limiti: definizioni ed esempi. Equazioni differenziali lineari di ordine n a coefficienti costanti: primi esempi, caratterizzazione delle soluzioni delle equazioni omogenee e di alcune equazioni complete.
Lezione 7: Funzioni reali di più variabili reali: rappresentazione grafica; limiti e continuità.
Lezione 8: Esercizi su limiti e continuità delle funzioni reali di più variabili reali. Derivate parziali, gradienti e derivate direzionali. Piano tangnte e differenziabilità.