Учимся у Комбинаторика

Марафон по математике. Задачи 3 этапа для 7-8 классов.

Побывав в гостях у Комбинаторика, Смекалка, Клякса, Ластик и Робоклякс научились хорошо решать комбинаторные задачи. А получится ли у вас? Предлагаем и вам поучиться, решив следующие задачи:

Задача 1:

Смекалка, собираясь в гости к Комбинаторику, никак не могла решить, что ей надеть. Пока она собиралась, мы придумали комбинаторную задачу.

«У Смекалки есть любимый костюм, в котором она ходит на совет марафона. К нему она одевает белую, сиреневую, розовую или красную блузку, а в качестве «сменки» берет туфли или балетки. Кроме того, Клякса подарила ей три разных бантика, подходящих ко всем блузкам. Подсчитайте, сколькими возможными вариантами может одеться Смекалка?

Задача 2:

В магазине «Электротехника» есть 5 разных батареек и 3 разных фонарика. Сколькими способами можно купить батарейку с фонариком?

Задача 3:

В магазине «Электротехника» есть еще 6 разных лампочек к фонарикам. Сколькими способами можно купить комплект из батарейки, фонарика и лампочки?

Задача 4:

В магазине «Электротехника» по-прежнему продается 5 батареек, 3 фонарика и 6 лампочек. Сколькими способами можно купить два предмета с разными названиями?

Задача 5:

В Стране Чудес есть три города: А, Б и В. Из города А в город Б ведет 5 дорог, а из города Б в город В – 12 дорог. Сколькими способами можно проехать от А до В?

Задача 6:

Робоклякс, после встречи с Комбинаториком, некоторые натуральные числа стал называть «очаровательными», если в их записи встречаются только нечетные цифры. Сколько существует 4-значных «очаровательных» чисел?

Задача 7:

Монету бросают трижды. Сколько разных последовательностей орлов и решек можно при этом получить?

Задача 8:

Каждую клетку квадратной таблицы 2 × 2 можно покрасить в черный или белый цвет. Сколько существует различных раскрасок этой таблицы?

Задача 9:

В нашей команде четверо: Смекалка, Клякса, Ластик и Робоклякс. Мы решили выбрать командира и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?

Задача 10:

Сколькими способами можно раскрасить Ластика как трехцветный флаг с горизонтальными полосами одинаковой ширины, если имеются краски шести различных цветов?

Задача 11:

Ластик случайно стёр в своей записной книжке телефонный номер Кляксы. А позвонить надо срочно. Сколько раз может ошибиться Ластик, если телефонный номер Кляксы - это трехзначное число, в записи которого цифры 1, 2, 3 встречаются ровно по одному разу?

Задача 12:

Объем памяти Робоклякса более 100 Мегабайт и записывается трехзначным числом, в записи которого цифры 0,6,9 могут повторяться. Сколько существует различных вариантов записи объема памяти Робоклякса?

Задача 13:

Сколько существует трехзначных чисел, кратных пяти, в записи которых все цифры различны?

Задача 14:

Сколькими способами можно выложить в ряд красный, голубой, белый, синий и зеленый шарики?

Задача 15: Слово – любая конечная последовательность букв русского алфавита. Выясните, сколько различных слов можно составить из слова:

«МАТЕМАТИКА»

Задача 16:

В стране 20 городов, каждые два из которых соединены авиалинией. Сколько авиалиний в этой стране?

Задача 17:

Сколько существует 6-значных чисел, в записи которых есть хотя бы одна четная цифра?

Задача 18:

В киоске «Союзпечать» продаются 5 видов конвертов и 4 вида марок. Сколькими способами можно купить конверт с маркой?

Задача 19:

На доске написаны 7 существительных, 5 глаголов и 2 прилагательных. Для предложения нужно выбрать по одному слову каждой из этих частей речи. Сколькими способами это можно сделать?

Задача 20:

На полке стоят 5 книг. Сколькими способами можно выложить в стопку несколько из них (стопка может состоять и из одной книги)?

Ссылку на интеллект-карту оставить в таблице 7 класс и таблице 8 класс.

Критерии оценки:

соответствие материала теме;

соблюдение иерархии мыслей;

использование кодирования информации;

целесообразность включения графических образов;

оптимальность размещения элементов, грамотность.

По каждому пункту критериев выставляются баллы от 0 до 2:

0 – материалы абсолютно не отвечают критерию;

1 – материалы отвечают критерию не в полной мере;

2 – материалы полностью отвечают критерию.

Командам необходимо будет ознакомиться с работами других команд, оценить их и оставить свое мнение об интеллект-картах в комментариях к странице «В гостях у Комбинаторика».

Критерии оценки:

0 – оценок и комментариев нет;

1 – оценки есть, но не прокомментированы;

2 – есть прокомментированные оценки.

КОМБИНАТОРИКА

Термин «комбинаторика» происходит от латинского слова «combina», что в переводе на русский означает – «сочетать», «соединять».

Комбинаторика - раздел математики, посвящённый решению задач выбора и расположения элементов в соответствии с данными условиями.

Комбинаторика - математический раздел, изучающий вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.

Комбинаторика - раздел математики, который изучает множества (перестановки, размещения, сочетания и перечисление элементов) и отношения на них.

Комбинаторика - занимается различного рода соединениями, которые можно образовать из элементов некоторого конечного множества.

Комбинаторика - важный раздел математики, знание которого необходимо представителям самых разных специальностей. С комбинаторными задачами приходится иметь дело физикам, химикам, биологам, лингвистам, криптографам и другим специалистам.

Комбинаторные методы лежат в основе решения многих задач теории вероятностей и ее приложений.

Комбинаторные задачи бывают самых разных видов. Однако, большинство задач решается с помощью двух основных правил — правила суммы и правила произведения.

ПРАВИЛО СУММЫ

Если некоторый объект A можно выбрать m способами, а другой объект В можно выбрать n способами, то выбор «либо А, либо В» можно осуществить (m+n) способами.

При использовании правила суммы надо следить, чтобы ни один из способов выбора объекта А не совпадал с каким-либо способом выбора объекта В.

Если такие совпадения есть, правило суммы утрачивает силу, и мы получаем лишь (m + n - k) способов выбора, где k—число совпадений.

ПРАВИЛО ПРОИЗВЕДЕНИЯ

Если объект А можно выбрать m способами и если после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то выбор пары (А,В) в указанном порядке можно осуществить m•n способами.

При этом число способов выбора второго элемента не зависит от того, как именно выбран первый элемент.

Комбинаторные соединения — это такие комбинации из каких-либо элементов.

Типы соединений:

Перестановки

Размещения

Сочетания

Существуют две схемы выбора элементов:

Без повторений

С повторениями

В комбинаторных соединениях может играть существенную роль или порядок элементов или их состав, или и порядок и состав.

В зависимости от этого комбинаторные соединения имеют определённое название.

Примеры комбинаторных соединений:

· Пятизначные числа, составленные из цифр 1, 2, 3, 4, 5 так, чтобы цифры в числе не повторялись (например 23451; 34521; 12543)

· Расстановка 3-ёх книг на полке (например 1-ая; 2-ая; 3-я или 2-ая; 1-ая; 3-я )

· Отрезки, соединяющие точки A, B, C, D (например AB; AC; AD )

· Векторы с началом или концом в точках A, B, C, D (например AB; BA; AD; DA )

· Букеты, составленные из 3-ёх цветов, выбираемых из 5-ти роз и 2-х гвоздик (например роза, роза, гвоздика или гвоздика, гвоздика, роза)

· Обед, состоящий из 3-ёх блюд, выбираемых из возможных 2-х супов, 4-х видов каши, 5-ти десертов (например 1-ый суп, 2-ая каша, 5-ый десерт)

· Выбор из команды 10-ти человек капитана и его помощника (например 1-ый капитан; 7-ой помощник или 3-ий капитан, 1-ый помощник или 7-ой капитан; 1-ый помощник)

· Способы рассадить 8 гостей за столом (например 12345678; 17354628; 21748536)

ФАКТОРИАЛ ЧИСЛА

Факториал числа — это произведение всех натуральных чисел до этого числа включительно.

Обозначается с восклицательным знаком в конце.

n! = 1 · 2 · 3 · 4 · … · (n-2) · (n-1) · n

Случай 0! определен и имеет значение 0!=1, соответствующее комбинаторной интерпретации комбинации нуля объектов, другими словами, есть единственная комбинация нуля элементов, а именно: пустое множество.

Ниже приведены значения факториалов от 0 до 10.

0! = 1

1! = 1

2! = 1 · 2 = 2

3! = 1 · 2 · 3 = 6

4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24

5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120

6! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 = 720

7! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 = 5040

8! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 = 40320

9! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 = 362880

10! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 · 10 = 3628800

Свойство факториала:

(n + 1)! = (n + 1) · n!

Например:

(5 + 1)! = (5 + 1) · 5!

Действительно

6! = (1 · 2 · 3 · 4 · 5) · 6 = 720

А значение (1 · 2 · 3 · 4 · 5) = 5! = 120