Questo approfondimento sulla ricerca dei semi del cubo tramite l’utilizzo dei cubi primi è stato ideato e realizzato da Roberto Croce, studente della VE 23/24, dopo l'esame di Maturità.
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PRIM3S, ricerca dei cubi primi (a cura di Roberto Croce)
PRIM3S, ricerca dei cubi primi (a cura di Roberto Croce)
Sin dal suo principio l'essere umano ha tentato per propria ed innata natura di disassemblare in particelle irriducibili, spesso dette atomi o semi, idee ed altri fenomeni complessi per tentarne vanamente, dato che da essa si dispiegano inevitabilmente altri e numerosi enigmi, la comprensione. Un'ottima attestazione di questo modus operandi del pensiero può esser rinvenuta negli scritti del romano epicureo Lucrezio, il quale nella prima diade del De Rerum Natura, dedicata alla dissertazione della fisica epicurea, si fa aedo di un'intera corrente atomistica, la quale, particolarmente in Lucrezio, emerge anche linguisticamente in una cospicua ripetizione di interi sintagmi nei quali anche la lingua stessa diviene composta da piccoli semini, le lettere, i quali nelle molteplici e varie configurazioni giungono all'ideificazione concettuale di esperienze immerse nelle profondità della porosa membrana del sensibile.
"[...] Sappi poi che de' corpi altri son primi,
Altri si fan per l'union di essi [...]"
In questo breve estratto, il nostro, dunque afferma l'esistenza di certi semi che risultano esser in grado di comporre ogni costituente della realtà alludendo ad un modello standard ante litteram al quale fa sempre riferimento nella prima diade. Da questa affermazione è possibile giungere ad una simmetria concettuale anche in ambito prettamente matematico ponendo in relazione l'esistenza dei numeri primi con l'esistenza di un pensiero ed una realtà atomica; una conferma di questa atomicità della matematica è rinvenibile anche nella recente geometrizzazione di essa, la quale si avvale di assiomi, talvolta incompleti, per tener ferma e distinta la propria imponenza. Partendo da questi presupposti sopra compendiati si è tentato di definire matematicamente dei semi ossia delle forme prime, in questo caso cubi primi, in grado di generare, tramite proprie combinazioni, qualsiasi altra forma.
Definizione in-formale: Il cubo primo rappresenta una delle unità costituenti di un cubo, esso è l'oggetto tramite il quale è possibile generare, per mera sovrapposizione, qualsiasi altro cubo aperto e incompleto.
L'identificazione di tali oggetti in Incomplete Open Cube Reloaded ed in Incomplete Open Cubes di Sol LeWitt si è sviluppata in due fasi principali: la modellizzazione del problema e l'identificazione algoritmica tramite l'utilizzo di appositi tools creati ad hoc.
+modellizzazione del problema+
+modellizzazione del problema+
VETTORI
VETTORI
MATRICI DI ROTAZIONE
MATRICI DI ROTAZIONE
ALGEBRA BOOLEANA
ALGEBRA BOOLEANA
Gli strumenti dei quali si avvale il modello provengono dall'algebra lineare e booleana, ad ogni asta del cubo completo è stata associata una dimensione di un vettore dodecadimensionale: se l'asta risulta occupata la componente del vettore relativa all'asta assume il valore vero, ossia 1, mentre se l'asta risulta vuota la componente relativa assume il valore falso, ossia 0. Dunque ad ogni cubo risulta associato uno ed un solo vettore identificativo come nelle tabelle sottostanti.
Poiché risulta arduo ruotare tramite applicazioni lineari un oggetto tridimensionale suddiviso in dodici componenti, è stato necessario associare un'unica coppia di vettori dello spazio vettoriale ℝ³ ad ogni asta facendo puntare ad essi i propri estremi. In questo modo è stato possibile applicare delle matrici di rotazione ad ogni coppia di vettori associata al singolo cubo per ottenerne tutte le possibili rotazioni di 90º nelle varie direzioni.
Per far dunque interagire tra loro gli elementi dell'insieme formatosi dai cubi primi, comprese le loro rotazioni, è stato necessario utilizzare le operazioni OR definite dal matematico e logico George Boole.
(i) 1+1=1
(ii) 1+0=1
(iii) 0+1=1
(iiii) 0+0=0
Associando l'operazione di somma sopra definita all'insieme formato da tutti i cubi generati dalle combinazioni lineari dei cubi primi e le loro rotazioni si ottiene dunque un monoide.
+individuazione dei cubi primi+
+individuazione dei cubi primi+
CRIVELLO DI ERATOSTENE
CRIVELLO DI ERATOSTENE
ALGORITMO
ALGORITMO
Per individuare i cubi primi è stato utilizzato un particolare algoritmo ispirato al famoso crivello di Eratostene per i numeri primi. L'algoritmo consiste nell'inserire nel codice una tabella di cubi primi, una base, considerando per definizione il primo cubo 3/1 come primo, e verificare scorrendo la tabella identificativa dei cubi quali di essi risultano composti dai cubi primi inseriti nella base; se essi non risultano essere combinazioni lineari dei vettori della base inserita nel codice, allora sono primi e vanno dunque inseriti anch'essi nella base precedente.
Iterando il processo è stato possibile individuare tre cubi primi per Incomplete Open Cube Reloaded ed otto cubi primi per Incomplete Open Cubes se si considerano anche i cubi nulli, ossia quelli identificati dal vettore dodecadimensionale banale.
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