La geometria delle forme è musica solidificata. 

Pitagora

Sol LeWitt realizza nel 1974 Incomplete open cubes, un'opera minimal-concettuale costituita da 122 cubi aperti incompleti. 

Un cubo aperto è formato da un telaio definito dai suoi spigoli; il cubo è incompleto se al telaio mancano una o più parti.

Per individuare tutti i possibili casi di cubo aperto incompleto occorre avvalersi del calcolo combinatorio. 

La combinatoria è un ramo della matematica sviluppata in forma pienamente strutturata a partire dalla seconda metà del Novecento grazie ai contributi di Gian-Carlo Rota, Marcel Paul Schützenberger e Paul Erdős. Tornando indietro nel tempo numerosi sono gli studi affrontati in tale ambito dai matematici. Già Archimede indagò il calcolo combinatorio inventando lo Stomachion, un interessante puzzle geometrico che prevede molteplici soluzioni.

Nel caso in esame si tratta di combinazioni semplici (senza ripetizioni) con n elementi presi k alla volta. 

Applicando la formula si ottiene: 

1 spigolo 12 combinazioni 

2 spigoli 66 combinazioni

3 spigoli 220 combinazioni

4 spigoli 495 combinazioni

5 spigoli 792 combinazioni

6 spigoli 924 combinazioni

7 spigoli 792 combinazioni

8 spigoli 495 combinazioni

9 spigoli 220 combinazioni

10 spigoli 66 combinazioni

11 spigoli 12 combinazioni

totale 4094 combinazioni

Sol LeWitt riduce i casi possibili a 122 inserendo tre limitazioni:

1. elimina le soluzioni che non ricostituiscano il volume (cioè che appartengano a una sola faccia);

2. esclude quelle che presentino discontinuità (elementi staccati);

3. rimuove quelle ottenibili da una soluzione esistente attraverso una o più rotazioni. 

Definisce così lo schema dei 122 cubi aperti incompleti.

incomplete open cube reloaded

L'ipotesi progettuale parte dal proposito di realizzare una nuova serie di cubi aperti incompleti imponendo le stesse limitazioni presenti nell'opera di Sol LeWitt, ma utilizzando un telaio di partenza differente. Il campo d'indagine è stato ristretto ipotizzando di utilizzare come nodi, in aggiunta o in sostituzione ai vertici, anche i punti medi delle aste.  Sono stati così individuati 4 nuovi cubi aperti definiti da altrettanti telai (4M, 4V, 6M, 2M2V).

4M [12 aste; 12 nodi (2)]

Il telaio è costituito dalle mediane dei 6 quadrati, quindi da 12 aste uguali; 12 nodi connettono 2 aste alla volta. Sulle facce del cubo i 6 baricentri connettono 2 aste alla volta. Anche qui la somma delle combinazioni possibili sono le stesse del caso di Sol LeWitt (4094). Da una prima valutazione il numero dei casi compatibili con le limitazioni imposte dovrebbe essere dello stesso ordine di grandezza. 

4V [12 aste; 8 nodi (3)]

Il telaio è costituito dalle diagonali dei 6 quadrati, quindi da 12 aste uguali; 8 nodi connettono 3 aste alla volta. La somma delle combinazioni possibili sono le stesse del caso di Sol LeWitt (4094). Il numero di casi compatibili con le limitazioni imposte dovrebbe essere lo stesso. 

6M [24 aste; 12 nodi (4)]

Il telaio è costituito dalle aste che congiungono i punti medi adiacenti, quindi da 24 aste uguali; 12 nodi connettono 4 aste alla volta. La somma delle combinazioni possibili è molto più alta rispetto al caso di Sol LeWitt così come il numero dei casi compatibili con le limitazioni imposte. 

2M2V [48 aste; 8 nodi (6) + 12 nodi (4)]

Il telaio è costituito dalle aste che congiungono vertici e punti medi contrapposti, quindi da 48 aste uguali; 8 nodi connettono 6 aste alla volta e 12 nodi connettono 4 aste alla volta. Su ogni faccia del cubo si vengono ad individuare 16 nodi che connettono 2 aste alla volta. La somma delle combinazioni possibili è di gran lunga più alta rispetto al caso di Sol LeWitt così come il numero dei casi compatibili con le limitazioni imposte. 

Si è scelto di approfondire il 4M, che implica una difficoltà equivalente al problema affrontato dall'artista americano, ma anche sufficienti variazioni sul tema. Il problema è stato affrontato con un metodo simile a quello adottato da Sol LeWitt (per quanto desumibile dai suoi schizzi), cioè con una procedura logico grafica.

Processo

Il processo è partito dall'unico caso costituito da 3 aste. Poi sono stati desunti i casi costituiti da 4 aste aggiungendo ogni volta una quarta asta ai nodi liberi di quello a tre aste. Successivamente sono stati eliminati i casi che ripetono una soluzione compatibile (ottenibili attraverso nessuna, una o più rotazioni di un caso già individuato). Si è proceduto allo stesso modo fino al caso che contiene 11 aste.

Ogni passaggio è stato effettuato da tre persone diverse e poi confrontato per evitare eventuali errori. Controllare i numerosi casi generati (379) e selezionare quelli coerenti è stata un'esperienza utilissima per accrescere la capacità di visualizzazione spaziale. Per rendere il controllo più agevole è stata costruita una sorta di lavagna tridimensionale realizzata con una piccola scatola cubica trasparente sulla quale disegnare le aste con un pennarello per lavagna bianca. 

Il metodo ha consentito di individuare gli 88 casi compatibili, ma anche una struttura molto complessa che mostra come ogni caso con n aste possa essere generato da uno o più casi con n -1 aste.  

Ogni partecipante al progetto ha realizzato un modello digitale di uno o due casi, per produrre poi delle immagini scegliendo autonomamente il tipo di rappresentazione (assonometria o prospettiva), inquadratura e colori. Il risultato complessivo è una caleidoscopica successione d'immagini correlate dalla logica processuale, ma arricchita dalle differenti interpretazioni personali.   

Modello

Il risultato definitivo è stato esplicitato da un unico modello degli 88 casi poi inserito nello spazio espositivo virtuale (artsteps).

Una sfida è stata lanciata al dipartimento di Matematica: risolvere il problema attraverso un algoritmo, un applicazione dei grafi o un processo squisitamente matematico, verificando così se i risultati raggiunti sono corretti. La sida è stata accettata dal prof. Nicola Cassetta che ha effettuato la verifica avvalendosi del software Python. Le sue conclusioni confermano l'esattezza del procedimento portato avanti dal gruppo di lavoro.  In un incontro al quale hanno partecipato le tre classi coinvolte, ii docente di matematica ha illustrato il suo lavoro.   

LA RAPPRESENTAZIONE DEI DATI

Nella costruzione del cubo avremo bisogno, per ogni asta, di due informazioni:

quali nodi congiunge;

quali sono le sue tre aste adiacenti;

Le informazioni su un'asta sono quindi memorizzate in un dizionario di Python, con due chiavi alfabetiche “vertex” e “connect” cui corrispondono una dupla con i due vertici congiunti dal lato ed una tripla con i tre lati adiacenti. L'intera struttura del cubo è quindi memorizzata nella tuple EDGES con i dodici lati (più il primo, fittizio, che serve ad evitare l'indice 0) (Tab. 1).

ROTAZIONI

Le rotazioni delle figure geometriche (piane e solide) sono largamente studiate in matematica, in quanto esse formano delle particolari strutture algebriche dette gruppi. Un cubo può subire tre tipi di rotazione:

Attorno ad un asse che congiunge i centri di due facce opposte (Fig. 4a)

Attorno ad un asse che congiunge i punti medi di lati opposti su facce opposte (Fig. 4b)

Attorno ad una diagonale (Fig. 4c)

Inoltre le rotazioni si possono comporre, cioè si può eseguire una rotazione dopo un'altra: si ottengono così 24 rotazioni possibili (compresa l'identità, cioè la rotazione nulla).

Dal punto di vista matematico una rotazione è una trasformazione geometrica, cioè una funzione bijettiva sull'insieme dei vertici del cubo (ogni vertice andrà a combaciare con un altro vertice), quindi sarà determinata dall'immagine dei 12 vertici: in Python basta utilizzare una tuple di 13 numeri (anche qui il primo è fittizio e serve solo ad evitare l'indice 0).

Calcolare a mano tutte le possibili rotazioni è un problema abbastanza complesso, con una notevole probabilità di commettere errori, e quindi è l'algoritmo stesso a farlo: partendo da tre sole rotazioni (le rotazioni di 90° sui tre assi x, y, z) esso prova a comporle in tutti i modi possibili fino a generare tutte le 23 rotazioni dell'insieme (esclusa l'identità) (Tab. 2).

VARIABILI GLOBALI

La principale variabile globale è la lista cubes, che dovrà immagazzinare tutti i cubi incompleti trovati dal programma. Essa è in realtà un array di sottoliste, con indice da 0 a 12, ognuna delle quali conterrà i cubi con un dato numero di aste.

Le sottoliste 0, 1, 2 sono vuote e lo rimarranno (perché come abbiamo detto non esistono cubi incompleti con 0, 1, 2 aste) la sottolista 3 contiene il cubo iniziale (l'unico con 3 aste), mentre le sottoliste successive, inizialmente vuote, saranno riempite dall'algoritmo con i cubi trovati costituiti da 4, 5, 6 … aste (Tab. 3).

L'ALGORITMO

L'algoritmo partirà quindi dall'unico cubo con 3 aste, provando ad aggiungere ad esso tutte le aste connesse, scartando i cubi che sono uno rotazione dell'altro, ed ottenendo quindi la sottolista di tutti i cubi con quattro aste. A questo punto ripeterà il procedimento su di essi per ottenere i cubi con 5 aste, e così via fino all'unico cubo incompleto con 11 aste.

Nella rappresentazione in pseudocodice della prima parte che trova tutti i cubi (Tab. 4) la riga 1 definisce il ciclo principale dell'algoritmo, che è formato da 8 passi num con num da 3 a 10: esso prende tutti i cubi con num aste in cubes[num] (2), e prova ad aggiungere ad esso tutte le aste connesse alle sue aste (3 e 4). Aggiungendo un'asta si forma un nuovo cubo tempcube (5 – 7); l'algoritmo controlla se tempcube non è già stato trovato (8) ed in caso negativo lo aggiunge tra i cubi con numero di lati num + 1 in cubes[num + 1] (9).

Finito il ciclo che comincia nella riga 2 abbiamo in cubes[num + 1] tutti i cubi con num + 1 lati trovati. La seconda parte dell'algoritmo deve applicare ad ognuno di essi tutte le rotazioni trovate e verificare se qualcuna di esse lo trasforma in qualcun altro. (Tab. 4).

L'algoritmo inizia facendo una copia cubescopy della sottolista cubes[num + 1](10); per ogni cubo cube in essa (11), se cube non è già stato cancellato (12) forma la lista rotcubes di tutte le sue rotazioni (13), poi verifica che ogni cubo rimasto in cubes[num + 1] non appartenga a rotcubes ed eventualmente lo cancella (14 – 16). La variabile ausiliaria cubescopy serve ad evitare di modificare cubes[num + 1] mentre si sta iterando su di essa (Tab. 5).

RISULTATI

Nel codice sono presenti numerose variabili a scopi statistici, inoltre si è usata la popolare libreria Matplotlib per visualizzare graficamente i cubi incompleti trovati. 

Sono stati trovati 88 cubi distinti. Nell'output finale del programma in una tabella sono elencatiti per ogni passo (da 3 a 11 aste) i cubi trovati prima delle rotazioni, quelli rimossi perché ottenibili come rotazione e quelli effettivamente rimasti. (Tab. 6).

I valori coincidono con quelli individuati dal gruppo di lavoro utilizzando la procedura logico grafica.

La casuale corrispondenza tra il numero dei casi della serie dei telai formati dagli spigoli con il numero dei tasti di un organo a due manuali (122) e tra il numero dei casi della serie dei telai formati dalle mediane con il numero dei tasti di un pianoforte (88) ha suggerito di individuare una possibile relazione tra la successione dei cubi aperti incompleti e una composizione musicale: una partitura per flauti e cubi aperti incompleti basata sul Canone e Giga in Re maggiore per tre violini e basso continuo di Johann Pachelbel (1653-1706). 

Partendo dall’ipotesi che è possibile che ci sia geometria in alcuni brani musicali e studiare musica parlando di trasformazioni geometriche, si è sviluppata una ricerca sulla triangolazione interdisciplinare tra matematica, musica e arte, nella quale quest’ultima fa da trait d’union tra il carattere intuitivo e il rigore scientifico della prima e la creatività e le regole della seconda. Partendo da questo presupposto è stata riscontrata una convergenza stupefacente tra la composizione di Pachelbel e la successione degli 88 casi di Incomplete open cube reloaded, con la conseguente realizzazione della partitura di suoni e forme nella quale le due componenti sembrano sinesteticamente corrispondersi raggiungendo un equilibrio “cosmico” di rara bellezza. Nella performance alcune misurate variazioni sul tema consentono di allineare ritmicamente il procedere della musica con l’evolvere delle mutazioni morfologiche dei telai.  

Diretti dal prof. Alessandro Fratta hanno eseguito la performance il 13 marzo 2024, in occasione dell'inaugurazione della mostra, gli alunni del Liceo Musicale Ester Carboni e Jacopo Ferrentino (1Z), Julio Fuentes (2Z), Elizabete Plince e Eleonora Ugolini (3Z), Germaine Diedhiou e Sara Cojocarescu (4Z) e i flautisti Giustina Marta, Francesca Timperi, Federica Valentini, Annalisa Mariani, Chiara Cataldi, Daniele Zaccari, Franco Margiotti, Giuseppe Cuoco, Asia Scialanca.