La scultura è quella che si fa per forza di levare. 

Michelangelo

And or not propone di individuare un repertorio tassonomico di forme tridimensionali rigorosamente desunto dall’interazione di due semicubi.

Un semicubo si ottiene sezionando un cubo con un piano che lo divide in due solidi di pari volume. Condizione necessaria e sufficiente è che il piano passi per il baricentro del cubo.

La verifica empirica di tale assunto è sperimentabile posizionando una pallina su un bastoncino di lunghezza pari alla metà del lato di un cubo trasparente, bastoncino disposto perpendicolarmente ad una delle facce e collocato sull'intersezione delle diagonali della stessa faccia in modo che la pallina si trovi nell'esatta posizione del baricentro del cubo. Quest'ultimo viene poi riempito d'acqua colorata per metà del suo volume. Muovendo il cubo in diverse posizioni la superficie dell'acqua definisce tutte le possibili sezioni del cubo che lo dividono in due solidi di pari volume. Sarà facile verificare che la pallina si troverà sempre sulla superficie dell'acqua evidenziando che il baricentro appartiene sempre ai piani di sezione. 

Come si evince dalla tabella le sezioni dei semicubi possono avere forma di quadrato, rettangolo, esagono, rombo, parallelogramma e mai di triangolo, trapezio o pentagono. 

La prima struttura consente di immergere lentamente il cubo all'interno di un contenitore trasparente che contiene acqua colorata; la superficie dell'acqua definisce tutte le sezioni del cubo secondo un fascio improprio di piani. 

La seconda fa ruotare il cubo su un asse disposto sul pelo dell'acqua evidenziando così le sezioni del cubo secondo un fascio proprio di piani. 

Degli infiniti piani che sezionano un cubo in due solidi di pari volume si è scelto di considerare solo quelli passanti per i vertici e/o i punti medi degli spigoli stessi.

Sono state così determinate 4 tipologie di sezioni:

 4M: piano passante per quattro punti medi

4V: piano passante per quattro vertici

6M: piano passante per 6 punti medi

2M2V: piano passante per 2 punti medi e due vertici

È possibile visualizzare i 4 casi facendo ruotare di 90° un piano passante per il baricentro e due punti medi opposti (4M 0°, 2M2V 45°, 6M 63°, 4V 90°).

Quattro cubi trasparenti sono stati riempiti di sale per la metà del volume. Sono stati realizzati con una stampante 3d 4 supporti conformati per posizionare i cubi nelle posizioni desiderate, cioè quelle che, per gravità, fanno disporre la superficie di sale secondo le sezioni 4M, 4V, 6M, 2M2V. Così è possibile visualizzare un quadrato, un rettangolo, un esagono regolare e un rombo. Le sezioni possono essere evidenziate anche usando un elastico.   

La prima applicazione consente di individuare piani che passano per il baricentro del cubo e lo sezionano modificando due parametri. La seconda le sezioni ottenibili facendo ruotare il piano intorno all'asse di simmetria passante per due punti medi di due spigoli opposti, ottenendo anche i 4 casi in esame. 

Clicca sull'immagine per accedere all'applicazione.

È possibile a questo punto definire diverse operazioni facendo riferimento ai diagrammi di Venn e agli operatori booleani (così come interpretati nei programmi di grafica vettoriale).

L'algebra booleana, detta anche algebra di Boole, è un ramo della matematica che si occupa dello studio di sistemi logici con due soli valori di verità: Vero (1) e Falso (0). In questo sistema, le variabili possono assumere solo uno di questi due valori e le operazioni logiche tra di esse sono definite in modo rigoroso. Le operazioni fondamentali dell'algebra booleana sono:

AND (congiunzione): il risultato è Vero solo se entrambi gli operandi sono Veri, 

OR (disgiunzione): il risultato è Vero se almeno uno degli operandi è Vero.

NOT (negazione): inverte il valore dell'operando.

L'algebra booleana può essere utilizzata per definire operazioni tra insiemi, come intersezione (AND), l’unione (OR) e il complemento (NOT). In particolare 

L'AND  corrisponde all'intersezione. In altre parole, il risultato di un'operazione AND è Vero solo se entrambi gli operandi sono Veri. Questo è simile all'intersezione di due insiemi, che è composta solo dagli elementi che appartengono ad entrambi gli insiemi.

L'OR, invece, corrisponde all'unione in teoria degli insiemi. Il risultato di un'operazione OR è Vero se almeno uno degli operandi è Vero. Questo è simile all'unione di due insiemi, che è composta da tutti gli elementi che appartengono ad almeno uno dei due insiemi.

Il NOT corrisponde al complementare di un insieme, rispetto ad un insieme Universo.

L'algebra booleana e le operazioni insiemistiche sugli insiemi possono essere messe in relazione con i semicubi che si vengono a creare intersecando piani con un cubo. infatti:

•Un cubo rappresenta l'universo di riferimento, contenente tutti gli elementi possibili.

•Un piano divide un cubo in due sottoinsiemi dell’insieme universo (semicubi). I due semicubi rappresentano una partizione del cubo poichè la loro unione forma l’insieme universo.

•Sui semicubi che si vengono a creare dall’intersezione di un piano con un cubo è possibile definire delle operazioni di intersezione (rappresentata dal semicubo con elementi comune ad entrambi), di unione (rappresentata dal semicubo con elementi che appartengono ad entrambi i semicubi), di differenza (rappresentata dal semicubo con elementi che appartengono ad un semicubo ma non all’altro) e di complemento (rappresentata da elementi che appartengono all’universo ma non al semicubo).

Le possibili operazioni di unione o di intersezione tra due semicubi all’interno di un cubo sono definite da una tabella formata da 50 righe e 50 colonne (50x50= 2500 soluzioni).

Si inseriscono a questo punto tre regole che escludono alcuni casi:

1. R1 quelli che prevedono la sovrapposizione dello stesso semicubo (B=C)

2. R2 quelli che richiudono il cubo di partenza (BuC= A)

3. R3 quelli ottenibili da un caso già individuato attraverso una o più rotazioni.

È stata definita una tabella costituita da una colonna con i 4 semicubi base (4M, 2M2V, 6M, 4V) e una riga con i 50 semicubi determinati dalle  25 sezioni. Si generano così 200 casi. Si è ipotizzato che gli altri 2300 siano ottenibili attraverso una o più rotazioni di quelli individuati nella tabella.

Vengono quindi esclusi i casi che non rispettano le prime due regole (4+4 = 8) e quelli che duplicano accoppiamenti già considerati nella tabella (50 casi che per completezza di trattazione sono stati poi comunque riportati).

Sono stati rappresentati i 142 casi rimanenti. Nella catalogazione le soluzioni sono state messe a confronto tra loro per verificare se ogni nuovo caso possa ottenersi attraverso una o più rotazioni di un caso già considerato e numerato. È stato così possibile eliminare altri 84 casi.

OR

Il risultato finale è costituito da 58 casi validi su 2500 casi complessivi.

AND

I risultati delle 58 intersezioni costituiscono il repertorio tassonomico di forme plastiche che si voleva ottenere ed esplicitano il concetto platonico dell'idea già racchiusa nel blocco di partenza, il cubo, che va liberata dal "soverchio" per forza di levare, in questo caso non secondo le intenzioni dell'artista, ma applicando un processo. 

NOT

Il soverchio, interpretato come volume scatolare sezionato, si presta a definire un'ulteriore tassonomia di oggetti plastici. 

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