Grupos de Lie e Dinâmica dos Fluidos

Aulas

Terças 10:00-11:30 e Quintas 8:30-10:00 na sala 252 do bloco A do IME.

Aula sobre a KdV e o Grupo de Virasoro: O vídeo está disponível aqui.

Ementa

Parte 1 - Grupos de Lie e Álgebras de Lie

Grupos de Lie e exemplos, álgebras de Lie e exemplos, representações adjunta e coadjunta, extensões de álgebras de Lie, cohomologia de Chevalley-Eilenberg e extensões, extensões abelianas e centrais. Classificação das extensões centrais da álgebra de Lie de loops.

Parte 2 - Geometria de Poisson

Estruturas de Poisson, exemplos principais: variedades simpléticas e o dual de uma álgebra de Lie, estrutura simplética das órbitas coadjuntas. Equações de Hamilton no dual de uma álgebra de Lie, Teorema de Arnold para grupos de Lie com métrica invariante, abordagem Riemanniana da Equação de Euler. O corpo rígido.

Parte 3 - Grupos de difeomorfismos

Difeomorfismos que preservam volume, álgebra de Lie de campos com divergente zero, órbitas coadjuntas do grupo de difeomorfismos que preservam volume. Equação de Euler de um fluido ideal incompressível, estrutura Hamiltoniana da equação de Euler. Produtos semi-diretos e magnetohidrodinâmica.

Parte 4 - Grupo de Virasoro-Bott

Difeomorfismos do círculo, o grupo de Virasoro-Bott, órbitas coadjuntas, extensões centrais, a equação de Kortewev-de Vries (KdV). Descrição bi-Hamiltoniana da KdV.

Parte 5 - Hidrodinâmica Simplética

O grupo de difeomorfismos simpléticos, meetricas invariantes à direita, invariante de Calabi, o grupo de difeomorfismos Hamiltonianos.

Avaliação

Cada estudante deve desenvolver um projeto de fim de curso (veja sugestões de tema abaixo). O projeto deve ser apresentado em uma palestra de 50 minutos, a qual será parte de um workshop organizado pelos próprios estudantes. A organização do workshop também faz parte da avaliação e inclui: organização da programação, página web do evento, etc. O workshop acontecerá nas últimas duas semanas do semestre.

Listas

Lista 1

Sugestões de Projetos

1. Extensões centrais do grupo de gauge

2. Estrutura simplética no espaço de nós e a equação de Landau-Lifschitz (Khesin-Wendt)

3. Grupos de difeomorfismos como espaços métricos (Khesin-Wendt)

4. O grupo de símbolos pseudo-diferenciais, extensões centrais (Khesin-Wendt)

5. Álgebra de Lie de símbolos pseudo-diferenciais e triplas de Manin (Khesin-Wendt)

6. Grupos de Lie-Poisson e símbolos pseudo-diferenciais (Khesin-Wendt)

7. Extensões centrais do grupo de loops duplos e órbitas coadjuntas (Khesin-Wendt)

8. Sistemas de Calogero-Moser (Khesin-Wendt)

9. Grupos de loops holomorfos e monodromia (Khesin-Wendt)

10. Moduli de conexões planas em superfícies de Riemann (Khesin-Wendt)

11. Estabilidade de pontos estacionários em álgebras de Lie (Arnold-Khesin)

12. Soluções errantes da equação de Euler (Arnold-Khesin)

13. Problema de minimização de Sakharov-Zeldovich (Arnold-Khesin)

14. Dinâmica de gases e fluidos compressíveis (Arnold-Khesin)

15. Geometria Riemanniana do grupo de difeomorfismos (Arnold-Khesin)

16. Equações de dínamos: dínamos não-dissipativos

17. Dínamos discretos em dimensão 2: o cat map no toro, ferradura de Smale e pontos homoclínicos.

Bibliografia

1. V. Arnold, B. Khesin, "Topological methods in hydrodynamics", Applied Mathematical Sciences 125 - Springer Verlag

2. B. Khesin, R. Wendt, "The geometry of infinite dimensional Lie groups", Series of Modern Surveys in Mathematics 51 - Springer Verlag