Cálculo Diferencial e Integral III

Descrição: O objetivo desta disciplina consiste em introduzir os conceitos básicos do cálculo integral em 1 e 2 variáveis reais. Começaremos o curso introduzindo a noção de área e volume de subconjuntos do plano e do espaço, respectivamente. Isso nos leva de maneira natural a estudar uma extensão da integral de uma função de 1 variável para o contexto de funções de 2 e 3 variáveis e, mais geralmente, para funções de uma quantidade arbitrária de variáveis. No curso estudaremos diferentes generalizações da integral em 1 variável, incluindo:

1. Integrais Duplas e Triplas: Aqui estudamos integrais de funções de 2 e 3 variáveis definidas em regiões do plano e do espaço, respectivamente. Isto permite por exemplo calcular áreas e volumes, a massa total de um corpo no espaço ou a carga elétrica total de uma lâmina.

2. Integrais de linha: Estudamos integrais de funções de 2 e 3 variáveis, mas a integral é calculada ao longo de uma curva parametrizada no plano ou no espaço. Isto permite por exemplo calcular o trabalho realizado por um campo de forças para movimentar uma partícula no plano ou no espaço.

3. Integrais de superfície: Uma superfície parametrizada é um subcojunto do espaço que possui 2 graus de liberdade, i.e. todo ponto em uma superfície é determinado por dois parâmetros. Por exemplo, uma esfera ou a superfície de uma donut. Nesta parte do curso vamos calcular integrais de funções de 3 variáveis ao longo de uma superfície. Isto permite por exemplo calcular a quantidade de fluxo de um fluido no espaço.

Daremos ênfase especial às ideias matemáticas que permitem introduzir estes novos conceitos de integral, isto é fundamental para compreender os conceitos introduzidos no curso. Os exemplos são parte importante do aprendizado, portanto apresentaremos muitos exemplos ao longo do semestre. Também discutiremos várias aplicações físicas das nocões de integral estudadas neste curso. Para de fato calcular integrais, mostraremos como uma integral em várias variáveis pode ser calculada iterando integrais de 1 variável e assim usar os métodos de cálculo integral em 1 variável.

O Teorema Fundamental do Cálculo desempenha um papel importante no cálculo de integrais. No caso de funções de várias variáveis, veremos extensões do Teorema Fundamental do Cálculo, estas são: o Teorema de Green e o Teorema de Stokes.

Avaliação: Considerando a situação sanitária atual, a avaliação será feita com trabalhos semanais.

Listas de exercício:

1. Lista1

2. Lista2

3. Lista3

4. Lista4 (O problema 7 deve ser entregue na terça 19 de maio)

5. Lista5 (Para ser entregue na quarta-feira 10 de junho)

6. Lista6

Bibliografia: Recomendo o livro "Calculus Vol. 2" de T. Apostol, o qual usarei para extrair exemplos e alguns problemas para as listas. Não irei adotar nenhum livro texto em particular, mas os estudantes reberão notas de aula toda semana. Recomendo estudar pelas notas de aula, complementando com algumas das seguintes referências sugeridas no Sistema Jupiter da Graduacão da USP :

1. J. Bouchara, V. Carrara, A. Hellmeister e R. Salvitti, CÁLCULO INTEGRAL AVANÇADO, 1a. ed., EDUSP, 1997.

2. W. Kaplan, CÁLCULO AVANÇADO, volume I, Edgard Blücher, 1972.

3. Stewart, CÁLCULO, volume II, Editora Pioneira-Thomson Leaming.

4. H. L. Guidorizzi, UM CURSO DE CÁLCULO, volume III. Livros Técnicos e Científicos, Rio de Janeiro.