Cálculo Geométrico no R^n

Motivação: O movimento de uma partícula no espaço euclidiano de dimensão n em geral está sujeito a alguma classe de vínculos, determinando assim a variedade de configurações da partícula. Por exemplo, o movimento de uma partícula em R^3 pode estar restrito à esfera unitária, como acontece no caso do pêndulo esférico. Assim, é importante entender e formalizar os conceitos estudados no cálculo diferencial em R^3 para o caso em que o espaço ambiente deixa de ser linear e é, por exemplo, uma esfera. Neste curso de Cálculo Geométrico em R^n, estudaremos em detalhe os conceitos básicos do Cálculo Diferencial em várias variáveis reais, mantendo um equilíbrio entre o concreto e o abstrato, permitindo assim estender as ferramentas do Cálculo Diferencial em várias variáveis a contextos mais gerais que levam a estudar outras noções de espaço, por exemplo, as variedades em R^n. A esfera unitária é um exemplo de variedade em R^3 e é possível introduzir coordenadas (locais) na esfera usando a chamada Projeção Estereográfica (veja a imagem acima). Motivados por diferentes problemas em Matemática e Física, diversas noções generalizadas do conceito de espaço têm sido introduzidas e são alvo de pesquisa ativa em áreas tais como: Topologia, Geometria Algébrica, Geometria Aritmética, Análise, Geometria Complexa, Geometria Simplética e suas aplicações em Física Matemática, entre outras. Estes temas escapam dos objetivos principais deste curso, porém estudaremos os fundamentos que levam a entender uma primeira generalização do conceito de espaço: as variedades em R^n.

Objetivos: Este curso tem como objetivo principal introduzir os conceitos básicos do Cálculo Diferencial em várias variáveis, formulando a definição de diferencial de uma função como uma aplicação linear. Especial ênfase será dada aos Teoremas da Função Inversa e Implícita, juntamente com algumas de suas principais aplicações. Como aplicação principal, estudaremos uma generalização do conceito de espaço euclidiano, a saber, variedades em R^n. De forma concreta, o curso será dividido em quatro partes, as quais descrevemos brevemente a seguir:

Parte 1 (Topologia do R^n): Normas e produto interno, conjuntos abertos e fechados. Funções contínuas, completude, compacidade e conexidade.

Parte 2 (Aplicações Diferenciáveis): Derivadas direcionais, derivada como aplicação linear, Fórmula de Taylor e extremos de uma função real.

Parte 3 (Formas Locais): Difeomorfismos, Teorema da Função Inversa e aplicações. Teorema da Função Implícita e aplicações. Forma local de uma imersão e Forma local de uma submersão

Parte 4 (Geometria: Introdução às variedades em R^n): Variedades em R^n. Definições equivalentes de variedades em R^n. Lema de Morse. Espaço tangente. Multiplicadores de Lagrange.

Se o tempo permitir, podemos estudar os conceitos básicos da Teoria de Grupos de Lie, com foco nos grupos de matrizes.

Quando e onde: De Segunda a Quinta, das 14:00 às 16:00 na sala 139 do Bloco B do IME.

Monitor: Esta disciplina terá como monitor o estudante Juan Sebastián Herrera. A monitoria será realizada toda quarta-feira às 16:00 na sala 241 do bloco A do IME.

Atendimento a estudantes: Toda sexta-feira, das 14:00 às 15:00 estarei na minha sala para tirar dúvidas, sejam estas das listas, das aulas ou de qualquer exercício relacionado com a disciplina. Fiquem a vontade para me procurar e tirar suas dúvidas.

Avaliação: Serão aplicadas duas provas P1 e P2. Também haverão listas de exercícios, as quais devem ser entregues no horário de aula em datas a serem informadas. No fim do semestre, cada estudante terá uma nota L que corresponde às listas. A nota final NF será calculada assim:

NF=(P1x0,4) + (P2x0,4) + (Lx0,2)

Datas importantes: As provas serão realizadas nas datas seguintes:

• P1: 23 de janeiro. Conteúdo da Prova: Toda a matéria até a aula 8 (até Teorema do Valor Médio).
• P2: 13 de fevereiro

Notas e Conceitos: As notas das provas, listas e conceito final estão disponíveis aqui.

Listas de exercício: Toda semana será entregue uma lista de exercícios, a qual deve ser devolvida pelos estudant.es na semana seguinte.

1. Lista 1 (Data de entrega: Segunda-feira 14 de janeiro em aula)
2. Lista 2 (Data de entrega: Segunda-feira 21 de janeiro em aula)
3. Lista 3 (Data de entrega: Quarta-feira 06 de fevereiro em aula)
4. Lista 4 (Data de entrega: Quinta-feira 14 de fevereiro em aula. Exercícios adicionais: Entregar na Sexta-feira dia 15 no horário de atendimento)

Bibliografia: As referências sugeridas no Sistema Janus da Pós-Graduacão da USP são:

• Sallum, E.M., Murakami, L.S.I., Silva, J.P., Cálculo Diferencial Geométrico no Rn. Publicações do Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo, 1999.
• Lima, E.L., Análise no espaço Rn. Coleção Matemática Universitária. Publicação IMPA, 2002.
• Buck, R.C., Advanced Calculus, 3ª ed., McGraw-Hill, 1978.

Também recomendamos os seguintes livros:

• Spivak, M. Calculus on manifolds
• Rudin, W. Principles of real analysis

Resumo das aulas: A cada dia será incluída aqui uma lista com os assuntos principais discutidos em cada aula. Uma descrição detalhada pode ser encontrada nas Notas de Aula disponíveis ao final da página.

Aula 1 (07 de janeiro): Produto interno e norma, desigualdade de Cauchy-Schwarz, distância euclidiana em R^n. Convergência de sequências em Rn.

Aula 2 (08 de janeiro): Conjuntos abertos e fechados. Pontos de acumulação, fecho de um conjunto.

Aula 3 (09 de janeiro): Funções contínuas; exemplos (funções Lipschitz, funções lineares). Caracterização da continuidade em termos da imagem inversa de conjuntos abertos. Mais exemplos.

Aula 4 (10 de janeiro): Subsequências e Completude; Teorema de Bolzano-Weierstrass, Sequências de Cauchy, Completude de Rn. Teorema do ponto fixo de Banach.

Aula 5 (14 de janeiro): Compacidade; funções contínuas em conjuntos compactos, máximos e mínimos. Equivalência de normas em Rn.

Aula 6 (15 de janeiro): Funções diferenciáveis; definição e exemplos.

Aula 7 (16 de janeiro): Derivadas direcionais e derivadas parciais. Diferenciabilidade como consequência da continuidade das derivadas parciais.

Aula 8 (17 de janeiro): Regra da cadeia e aplicações; Derivada de um difeomorfismo, cálculo da derivada usando curvas. Teorema do valor médio.

Aula 9 (21 de janeiro): Caracterização de funções constantes pelo anulamento da derivada; Gradiente de uma função, propriedades do gradiente, pontos críticos, conjuntos de nível.

Aula 10 (22 de janeiro): Aulas de dúvidas para a prova 1.

Aula 11 (23 de janeiro): Prova 1.

Aula 12 (24 de janeiro): Derivadas parciais de ordem superior; independência da ordem de derivação; matriz Hessiana.

Aula 13 (28 de janeiro): O Teorema de função inversa: enunciado e preparação da demonstração.

Aula 14 (29 de janeiro): O Teorema de função inversa: demonstração e aplicações.

Aula 15 (30 de janeiro): O Teorema da função implícita: ideias principais e demonstração.

Aula 16 (31 de janeiro): Aplicações do Teorema da Função Implícita. Subvariedades de R^n

Aula 17 (04 de fevereiro): Imersões e mergulhos. Forma local das imersões. Exemplo: o toro em R^3.

Aula 18 (05 de fevereiro): Submersões. Forma local das submersões. Subvariedades das pela pré-imagem de um valor regular. Exemplo: o grupo ortogonal O(n).

Aula 19 (06 de fevereiro): Atlas em subvariedades. Funções diferenciáveis entre subvariedades. Espaço tangente.

Aula 20 (07 de fevereiro): Exemplos de espaços tangentes.

Aula 21 (11 de fevereiro): Alguns assuntos para aprender com após ter feito esta disciplina. Grupos de Lie e álgebras de Lie: exemplos, o funtor de Lie. Teoria de Morse: Lema de Morse, resultados principais da Teoria de Morse, Aplicações em dimensão infinita.

Aula 22 (12 de fevereiro): Aula de dúvidas para a prova 2.

Aula 23 (13 de fevereiro): Prova 2.

Notas de aula: As notas de aula serão atualizadas toda semana. A última versão, incluindo a Aula 21 (11 de fevereiro), encontra-se disponível abaixo: