БОЛЬШОЙ СЕМИНАР КАФЕДРЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
МГУ имени М. В. ЛОМОНОСОВА
UNITED SEMINAR OF THE DEPARTMENT OF PROBABILITY THEORY OF LOMONOSOV MOSCOW STATE UNIVERSITY
Embedded Files
БОЛЬШОЙ СЕМИНАР КАФЕДРЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Это страница осеннего семестра 2022 года Большого кафедрального семинара кафедры теории вероятностей механико-математического факультета МГУ. Постоянный сайт семинара – здесь. Семинар является продолжением научно-исследовательского семинара кафедры теории вероятностей под руководством А.Н. Колмогорова и Б.В. Гнеденко.
For the English version click here or on the "Main page (EN)" button at the top.
Руководитель семинара: академик РАН, профессор Альберт Николаевич Ширяев
Координатор семинара осенью 2022 года: профессор Елена Борисовна Яровая
Секретарь семинара осенью 2022 года: Владимир Александрович Куценко
Чтобы подписаться на рассылку семинара, кликните "Подписаться на рассылку" вверху страницы.
Чтобы подать доклад, кликните "Подать доклад" вверху страницы.
Список докладов 2020 и ранее можно посмотреть по этой ссылке.
Список докладов 2021 и 2022 года можно посмотреть в соответствующих разделах этой странички.
Список докладов 2020 и ранее можно посмотреть по этой ссылке.
Список докладов 2021 и 2022 года можно посмотреть в соответствующих разделах этой странички.
Прошедшие доклады
14 сентября, 16:45 мск
Александр Вадимович Булинский, МГУ
Метод Стейна и его развитие
В 1972 C.Stein предложил новый метод доказательства центральной предельной теоремы. Точнее говоря, было введено дифференциальное уравнение первого порядка, называемое теперь уравнением Стейна, решение которого позволяет оценить с помощью некоторой вероятностной метрики близость изучаемого распределения (например, распределения должным образом нормированной суммы случайных величин) к заданному нормальному закону. Далее этот мощный метод был развит и усовершенствован для тех случаев, когда «целевое распределение», с которым сравнивается изучаемое, отлично от гауссовского. Существенную роль при этом играют различные преобразования исходных распределений (в частности, равновесия и нулевого смещения). В ряде случаев эта техника в сочетании с другими приемами дает неулучшаемые оценки. Обсуждается вопрос, какие основы метода Стейна целесообразно включить в общий курс теории вероятностей, читаемый студентам механико-математического факультета МГУ. Проводится сопоставление рассматриваемого метода с набором классических средств: метод моментов (или семиинвариантов), метод характеристических функций, метод Линдеберга и подход Троттера. Отдельного внимания заслуживает вариант метода Стейна, основанный на использовании генератора определенного марковского процесса. Кратко упоминаются результаты автора и его учеников, установленные с помощью метода Стейна. Для полноты картины затрагивается связь метода Стейна с исчислением Малявэна.
Запись семинара доступна здесь.
21 сентября, 16:45 мск
Александр Викторович Шкляев, МГУ, Математический институт имени В.А. Стеклова РАН
Большие уклонения ветвящихся процессов в случайной среде и их обобщения
Задача больших уклонений ветвящихся процессов в случайной среде (ВПСС) впервые была рассмотрена Михаилом Васильевичем Козловым в 2006 году. Для случая геометрического распределения числа потомков одной частицы при условии среды он сумел получить точную асимптотику вероятностей больших уклонений ВПСС Zn в форме P(ln Zn > x). Естественно подразумевать под большими уклонениями ВПСС случай x/n → θ, где θ > max(μ,0), μ – математическое ожидание шага сопровождающего блуждания. Однако, в работе 2006 года этот случай был рассмотрен не полностью – для строго докритического случая удалось рассмотреть только диапазон θ > γ, где γ > 0 некоторый параметр. Этот диапазон мы назовем первой зоной уклонений. Недостающая вторая зона уклонений μ < γ и переходные явления были изучены тем же автором в работе 2009 года в том же случае геометрического условного распределения числа потомков одной частицы.
Затем Vincent Bansaye, Julien Berestycki, Christian Boeinghoff в цикле работ 2008-2013 годов изучили грубую (логарифмическую) асимптотику тех же вероятностей для более широких классов распределений. На время публикации по теме прекратились, пока в 2018-2022 годах не вышли сразу три независимых исследования: работа Dariusz Buraczewski и Pyotr Dyszewski (Wroclav), цикл из двух статей Александра Шкляева (Москва), статья Евгения Прокопенко и Марины Струлева (Новосибирск), посвященных точной асимптотике тех же вероятностей в первой зоне уклонений для широкого класса распределений. Первые два исследования использовали достаточно похожую технику, однако, автору этих строк удалось несколько шире развить идеи, лежащие в основе исследования такого рода вероятностей, применив ту же технику для второй зоны уклонений докритических ВПСС, к ВПСС с иммиграцией, а также для других видов процессов с ветвлением.
Мы рассмотрим большие уклонения в более общей постановке рекуррентной последовательности
Yn+1 =AnYn+Bn, n ≥ 0,
где Ai независимые одинаково распределенные положительные величины, а вот Bi могут быть разнораспределенными и зависимыми, однако, должны удовлетворять определенным структурным и моментным условиям. В докладе будут обсуждены сопровождающие блуждания, которые можно сопоставить такого рода последовательности, описана асимптотика вероятностей больших, умеренных и нормальных уклонений для Yn, описана связь траектории и сопровождающего случайного блуждания при условии больших уклонений.
В качестве последовательностей, к которым можно применить такого рода подход, можно назвать:
• ветвящиеся процессы в случайной среде (в том числе, включающие иммиграцию и определенную зависимость от числа частиц);
• двуполые ветвящиеся процессы в случайной среде;
• максимальные ветвящиеся процессы для некоторого частного случая функции распределения числа потомков одной частицы;
• максимальные ветвящиеся процессы в случайной среде для некоторого частного случая условной (при условии среды) функции распределения числа потомков одной частицы.
Запись доклада доступна здесь.
12 октября, 16:45 мск
Александр Игоревич Буфетов, Математический институт имени В.А. Стеклова РАН
Гауссов мультипликативный хаос для синус-процесса
Синус-процесс возникает как скейлинговый предел радиальной части меры Хаара на унитарной группе. Реализации синус-процесса сопоставляется случайная целая функция, аналог Эйлерова произведения для синуса, скейлинговый предел отношения значений характеристического полинома случайной матрицы. Основной результат доклада устанавливает, что квадрат модуля нашей случайной целой функции сходится к гауссову мультипликативному хаосу.
Из этого основного результата следует, что реализация синус-процесса с одной удаленной частицей является полным минимальным множеством для пространства Пэли-Винера, а если удалены две частицы, то получающееся множество есть множество нулей функции из класса Пэли-Винера. Квази-инвариантность синус-процесса под действием группы диффeоморфизмов с компактным носителем – аналог теоремы Де Финетти в нашей ситуации – играет главную роль.
Запись доклада доступна здесь.
19 октября, 16:45 мск
Станислав Алексеевич Молчанов, Университет Северной Каролины в Шарлотте
Что называть распределением Дикмана?
Распределение Дикмана было введено на физическом уровне строгости немецким актуарием Дикманом в связи со статистикой простых множителей натуральных чисел. В прикладной вероятностной литературе, особенно в последние годы, появилось много публикаций, где под именем распределения Дикмана изучаются другие объекты. Обзор этой огромной литературы можно найти в недавней статье С.А. Молчанова и В.А. Павлова (УМН, 2020, 75(6)). В докладе будут обсуждены некоторые свойства этих квази-Дикман распределений, особенно в связи с вопросами об их безграничной делимости и приложениях в теории графов, финансовой математике и пр.
Запись доклада доступна здесь.
26 октября, 16:45 мск
Наталия Васильевна Смородина, Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А. Стеклова РАН
Об одной предельной теореме для ветвящихся случайных блужданий
Доклад основан на совместной работе с Е.Б. Яровой (МГУ). Рассматривается ветвящееся случайное блуждание по многомерной решетке с непрерывным временем. Перемещение каждой частицы по решетке описывается симметричным, однородным и неприводимым случайным блужданием, а интенсивность ветвления в точке x решетки стремится к нулю при ||x|| → ∞. Также накладывается дополнительное условие на параметры ветвящегося случайного блуждания, гарантирующее экспоненциальный по времени рост среднего числа частиц в каждой точке решетки. В этих предположениях доказывается предельная теорема о сходимости в среднеквадратическом нормированного числа частиц в произвольной фиксированной точке решетки при t → ∞. Доказательство основано на аппроксимации нормированного числа частиц некоторым неотрицательным мартингалом.
Запись доклада доступна здесь.
2 ноября, 16:45 мск
Александр Николаевич Тихомиров, Коми НЦ УрО РАН
Предельные теоремы для матриц Лапласа обобщенных случайных графов
Рассматривается асимптотическое поведение эмпирической спектральной функции распределения матрицы Лапласа взвешенного случайного графа при растущем числе вершин. В терминах вероятностей наличия ребра и дисперсий соответствующих весов сформулированы условия достаточные для сходимости эмпирической спектральной функции распределения матрицы Лапласа случайного графа к свободной свертке стандартного нормального распределения и распределения полукругового закона. В терминах преобразования Стилтьеса получено характеризационное уравнение для предельного распределения. Доказательство основного результата основано на устойчивости относительно слабых возмущений полученного характеризационного уравнения.
Запись семинара доступна здесь.
16 ноября, 16:45 мск
Андрей Андреевич Замятин, МГУ
Регулярная динамика классических частиц на окружности
Доклад основан на совместной работе с профессором В.А. Малышевым. Исследована система классических частиц на окружности при наличии постоянной внешней силы (сила зависит только от времени). Изучены два вида динамики: динамика с упругими столкновениями частиц и динамика c диссипацией, когда на частицы действует сила трения (помимо внешней силы). Для динамики с упругими столкновениями мы доказываем сходимость (время стремится к бесконечности) к стационарному потоку, где частицы двигаются под воздействием детерминированной или случайной силы. Для динамики с диссипацией мы даем достаточные условия регулярности (условия на начальные данные и параметры модели), при которых частицы не сталкиваются между собой. При выполнении условий регулярности мы доказываем сходимость (число частиц стремится к бесконечности) к регулярной континуальной системе и для предельной системы даем строгий вывод уравнений Эйлера. Также получено явное выражение для давления.
Запись семинара доступна здесь.
23 ноября, 16:45 мск
Никита Евгеньевич Ратанов, Челябинский государственный университет
Телеграфные модели оценивания опционов
В докладе будет дано введение в финансовые модели, построенные на основе различных вариантов телеграфных процессов со скачками. При соответствующем масштабировании эта модель сходится к модели Блэка-Шоулса, что позволяет естественным образом определить волатильность модели в зависимости от скоростей процесса и величин скачков, а также от интенсивностей переключений. В настоящее время модель рынка, построенная на неоднородном телеграфном процессе с постоянными амплитудами скачков, уже стала стандартной. Данная модель продолжает развиваться в различных направлениях. В докладе подробно представляется модель, основанная на дважды стохастическом телеграфном процессе с двойной скачковой компонентой, когда интенсивности переключений зависят от внешних (средовых) факторов. Поразительным эффектом является то, что несмотря на двойную стохастичность, при определенных комбинациях параметров эта модель рынка оказывается полной. Основные результаты опубликованы в работах N. Ratanov. A jump telegraph model for option pricing. Quantitative Finance, 7 (5), (2007), 575-583 и A.D.Kolesnik, N.Ratanov. Telegraph Processes and Option Pricing. 1st Ed, Springer – Heidelberg, New York, Dordrecht, London, 2013. В этом году будет опубликовано существенно расширенное второе издание этой монографии. В докладе также будет представлена модель оценивания бинарного барьерного опциона, основанная на близкой модели.
Запись семинара доступна здесь.
30 ноября, 16:45 мск
Алексей Владимирович Клименко, Математический институт им. В.А. Стеклова РАН, ВШЭ
Сходимость сферических средних для действий фуксовых групп
Если дано действие группы G на вероятностном пространстве сохраняющими меру преобразованиями, то для функции на этом пространстве определено среднее по подмножеству M группы G — среднее арифметическое композиций этой функции с отображениями, соответствующими элементам группы из M. Если в группе задан набор образующих O, то естественный выбор M — сферы или шары в группе G относительно этого набора O. Сходимость по Чезаро этой последовательности сферических средних полностью исследована для широкого класса групп, порождаемых некоторым марковским кодированием (этот класс включает в себя, в частности, гиперболические по Громову группы). Однако сходимость самой последовательности сферических средних была известна лишь для свободной группы. Мы доказали, что такая сходимость имеет место для широкого класса фуксовых групп, построив их марковские кодирования, обладающие определённым свойством симметрии. Доклад основан на совместной работе с А.И. Буфетовым и К. Сириес (arXiv:1805.11743).
Запись семинара доступна здесь.
7 декабря, 16:45 мск
Елена Анатольевна Жижина, ИППИ РАН
Астральная диффузия как предельный процесс для симметричного случайного блуждания в высоко-контрастной периодической среде
Рассматривается симметричное случайное блуждание на решетке в высоко-контрастной периодической среде. Это случайное блуждание служит дискретизацией диффузионного процесса, коэффициент диффузии которого асимптотически мал на периодически расположенных островах, и равномерно положителен на их дополнении. Известно, что при усреднении таких процессов предельная эволюция не является марковской и обладает памятью. Мы показываем, что предельный процесс для нашего случайного блуждания остается марковским в некотором расширенном пространстве. А именно, если к пространственным координатам добавить координаты, которые описывают положение случайного блуждания внутри периода, то случайное блуждание, рассматриваемое в этом расширенном пространстве, будет сходиться к некоторому марковскому процессу, который мы назвали астральной диффузией. Доклад основан на результатах работ: A. Piatnitski, E. Zhizhina, Scaling limit of symmetric random walk in high-contrast periodic environment (2017); A. Piatnitski, S. Pirogov, E. Zhizhina, Limit behaviour of diffusion in high-contrast media and related Markov semigroups (2019).
Запись семинара доступна здесь.
14 декабря, 16:45 мск
Александр Ханиевич Шень, LIRMM CRNS, Монпелье, Франция
Алгоритмическая теория информации
Алгоритмическая теория информации, заложенная Колмогоровым и другими учеными в 1960е, занимает особое место: с одной стороны это математическая теория с теоремами и доказательствами, а с другой стороны её мотивировка в значительной степени связана с основаниями теории вероятностей и статистики. В докладе представлен обзор работ, затрагивающий следующие направления: колмогоровская сложность; случайность конечных и бесконечных объектов; связь с частотным подходом (Мизес); связь с мартингалами (Вилль, Шнорр); игровой подход (Вовк, Шейфер); практические генераторы и тесты случайности; псевдослучайность в теории сложности вычислений и криптографии; законы теории информации универсальны (Шеннон, Колмогоров, комбинаторика); алгоритмическая статистика (Витаньи, Верещагин).
Запись семинара доступна здесь.
Page updated
Google Sites
Report abuse