Embedded Files
Это архивная страница весеннего семестра 2021 года Большого кафедрального семинара кафедры теории вероятностей механико-математического факультета МГУ.
Руководитель семинара: академик РАН, профессор Альберт Николаевич Ширяев
Координатор семинара весной 2021 года: профессор Елена Борисовна Яровая
Секретарь семинара весной 2021 года: Владимир Александрович Куценко
10 февраля, 16:45 мск
Йордан (Данчо) Стоянов, Институт математики и информатики, Болгарская академия наук
Случайные величины, распределения, функциональные уравнения
Если случайная величина Х имеет функцию распределения F, всегда полезно иметь свойства, которые характеризуют однозначно F, а значит и Х. Все началось почти век назад, когда Пойя, Крамер и Райков установили характеризации нормального и пуассоновского распределений. Задачи характеризации удается решать с помощью разнообразных методов. Один из них – использовать функциональные уравнения в терминах преобразования Лапласа-Стилтеса. В этом докладе будет показано, что есть классы функциональных уравнений, связанных с нелинейными уравнениями типа Z = X + TZ, где X, T, Z – неотрицательные случайные величины, а “=” означает равенство по распределению. В таких задачах требуется найти функцию распределения F случайной величины Х, если распределение Т известно, а распределение Z определяется через F. Важно сказать, что единственность решения функционального уравнения (“неподвижная точка”) эквивалентна характеризационному свойству распределения. Будут представлены новые результаты или улучшения существующих результатов. В частности, мы даем еще один положительный ответ на вопрос, который поставили Дж. Питман и М. Йор в 2003 г. Будут приведены иллюстрирующие примеры и затронуты интересные смежные вопросы.
Запись доклада находится по этой ссылке.
Материалы доклада находятся по этой ссылке.
24 февраля, 16:45 мск
Игорь Владимирович Родионов, Институт проблем управления им. В.А.Трапезникова РАН
О распределении экстремальных значений стохастических систем
Пусть Xn = ( X1,n,…,Xd,n ), d = d(n), n ∈ N – последовательность серий случайных величин. Нас будет интересовать асимптотика распределения последовательности максимумов Mn = max1≤i≤d Xi,n, n ∈ N. Ясно, что если для всех x ∈ R выполнено
и известно асимптотическое распределение максимума независимых копий Xi,n, то известно и асимптотическое распределение Mn. В 1974 году Лидбеттером была показана справедливость (1) в случае, если Xn – первые n членов стационарной последовательности, при наложении на нее условия перемешивания D и условия отсутствия кластеров D', а в 1986 году аналогичный результат для нестационарных последовательностей был получен Хюслером.
В докладе будет рассказано о новых достаточных условиях для (1). Предложенный подход обобщает результаты Лидбеттера и Хюслера и позволяет получить первые результаты в этом направлении для случайных полей в Zk, k > 2. В докладе также будут обсуждаться применения этого результата для гауссовских систем и случайных графов и другие результаты автора.
Запись доклада находится по этой ссылке.
Материалы доклада находятся по этой ссылке.
3 марта, 16:45 мск
Владимир Игоревич Богачев, МГУ им. М.В. Ломоносова
Проблемы единственности для уравнений Фоккера – Планка – Колмогорова
В докладе будет рассказано о нескольких элементарно формулируемых проблемах единственности, связанных со стационарным уравнением Колмогорова и задачей Коши для эволюционного уравнения Фоккера – Планка – Колмогорова. Некоторые из этих проблем, поставленных самим Колмогоровым еще в 1930-х годах или естественно связанных с вопросами Колмогорова, относительно недавно были решены, а другие остаются открытыми. Речь пойдет в основном о случае единичного коэффициента диффузии и гладкого сноса b, когда стационарное уравнение относительно меры µ имеет вид ∆µ − div(bµ) = 0 или такой же вид для плотности решения, а параболическое уравнение для плотности p(x,t) записывается в виде ∂t p = ∆p − div(bp). Такие уравнения можно рассматривать как в классе вероятностных мер, так и в классе ограниченных (возможно знакопеременных) мер, что приводит к различным интересным задачам. Обсуждаемые проблемы единственности имеют отношение также к стационарным мерам диффузий, уравнениям Чэпмена – Колмогорова и полугруппам, порождаемым эллиптическими операторами второго порядка. Для понимания существа наших основных задач достаточно сведений из курса анализа первых двух семестров.
Запись доклада находится по этой ссылке.
17 марта, 16:45 мск
Лыков Александр Андреевич, МГУ им. М.В. Ломоносова
Проблемы устойчивости в многокомпонентных случайных системах
В докладе будет обсуждаться устойчивость некоторых многокомпонентных систем по отношению к 1) случайному внешнему воздействию или 2) случайному возмущению начальных условий. Основными моделями многокомпонентных систем будут выступать гамильтоновы системы частиц (конечного или бесконечного числа) с потенциалом взаимодействия специального вида. Вначале мы обсудим устойчивость к случайному внешнему возмущению: сформулируем ряд результатов о сходимости к равновесию для таких систем, и наоборот, для некоторых моделей укажем условия резонанса (транзиентости). Наличие сходимости мы (хотя и не в полной мере оправданно) отождествляем с устойчивостью. В качестве внешних возмущений будут рассматриваться несколько различных классов случайных сил: белый шум, гауссовские стационарные процессы, флипы скорости, упругие соударения. Во второй части доклада мы планируем обсудить свойство регулярности (непересечения траекторий) многочастичных систем. Исследуем, как это свойство ведёт себя по отношению к возмущению начальных условий. Будем рассматривать как случайные, так и детерминированные возмущения. Укажем на несколько приложений свойства регулярности к задачам вывода уравнений гидромеханики и к транспортным задачам.
Запись доклада находится по этой ссылке.
31 марта, 16:45 мск
Евгений Бурнаев, Сколтех, руководитель научной группы ADASE
Построение генеративных моделей на основе глубоких нейросетей
Задачи предсказательного моделирования требуют обработки многомерных данных, и из-за т.н. проклятия размерности использование многих методов для их решения затруднено. В приложениях реальные данные зачастую занимают лишь очень малую часть пространства наблюдений, внутренняя размерность которого существенно ниже размерности самого пространства. Популярной моделью для таких данных является модель многообразия, в соответствии с которой данные лежат на неизвестном низкоразмерном многообразии (Data Manifold, DM), встроенном в окружающее высокоразмерное пространство. Задачи предсказательного моделирования, изучаемые в рамках этого предположения, называются задачами оценки многообразий, общей целью которых является обнаружение низкоразмерной структуры многомерных данных по заданной выборке точек и оценка распределений данных. Если точки выборки порождаются в соответствии с неизвестной вероятностной мерой на DM, возникают статистические задачи оценки многообразий. В докладе планируется рассказать о некоторых подходах к построению генеративных моделей на основе глубоких нейросетей, которые позволяют моделировать распределение данных, "живущих" на многообразии.
Запись доклада находится по этой ссылке.
7 апреля, 16:45 мск
Станислав Алексеевич Молчанов, Университет Северной Каролины в Шарлотте, Высшая Школа Экономики
Популяционная динамика в случайных средах
В докладе будет дан обзор недавних результатов о существовании статистического равновесия (предельного при t стремящемся к бесконечности состояния) для моделей популяционной динамики в случайных средах. При этом среда может быть стационарной (не зависящей от времени), или нестационарной (когда параметры системы быстро меняются во времени). Технически эти результаты связаны со спектральной теорией случайного оператора Шрёдингера или же со SPDEs (стохастическими дифференциальными уравнениями в гильбертовом пространстве). Эти результаты характеризуются сильными эффектами локализации и перемежаемости.
Запись доклада находится по этой ссылке.
14 апреля, 16:45 мск
Михаил Грабчак, Исаак Михайлович Сонин, Университет Северной Каролины в Шарлотте
Закон нуля или единицы для цепей Маркова (на англ.)
Мы доказываем аналог классического закона нуля или единицы для обычных и неоднородных Марковских цепей (МЦ). Его почти точная формулировка такова: для любого события из хвостовой сигма алгебры и далеких моментов времени МЦ будет находиться в тех состояниях, где эта вероятность близка к 0 или 1. Сходное утверждение доказано для событий из входной сигма алгебры. Здесь нам приходится доказывать существование МЦ в обратном времени, обобщая результат А.Н. Колмогорова. Мы отмечаем также интересное различие между двумя определениями МЦ. Последнее неформально. Вопрос: все ли одинаково понимают что такое МЦ? Ответ: в прямом времени – да, а в обратном – нет.
Запись доклада находится по этой ссылке.
21 апреля, 16:45 мск
Юлиана Юрьевна Линке, Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН
Построение явных оценок в задачах нелинейной регрессии с приложениями к непараметрическим регрессионным моделям
В задачах нелинейной регрессии асимптотически оптимальные оценки как правило задаются неявно в виде решений тех или иных уравнений, при этом нередко имеется несколько корней того или иного уравнения, определяющего оценку. Последний факт является главной проблемой, затрудняющей использование численных методов. Преодолеть эти трудности можно с помощью популярных в современной западной статистической литературе одношаговых процедур оценивания, восходящих к работам Р. Фишера. Одношаговая оценка по сути представляют собой один шаг метода Ньютона, стартующего из некоторой предварительной состоятельной оценки и асимптотически имеют точность искомой статистики, являющейся корнем упомянутого уравнения.
В докладе, во-первых, будет предложен метод построения явных состоятельных с некоторой скоростью оценок параметров для широкого класса моделей нелинейной регрессии. Применительно к упомянутым выше одношаговым процедурам оценивания эти новые оценки могут быть использованы в качестве предварительных. Во-вторых, будут обсуждаться асимптотические свойства некоторых типов одношаговых оценок, построенных по разнораспределенным выборочным данным и являющихся явными приближениями для состоятельных M-оценок (например, оценок квазиправдоподобия, наименьших квадратов и др. в задачах нелинейной регрессии). Кроме того, для широкого класса моделей непараметрической регрессии будут предложены явные оценки регрессионной функции, равномерно состоятельные при весьма слабых ограничениях на корреляцию элементов дизайна. Отметим, что при построении оценок как в нелинейной, так и непараметрической регрессии используются близкие идеи и условия на зависимость элементов дизайна.
Запись доклада находится по этой ссылке.
21 апреля, 18:10 мск
Ломоносовские чтения
Болдин М.В., МГУ им. М.В. Ломоносова
О критериях типа Колмогорова-Смирнова и Пирсона для проверки нормальности авторегрессии
Рассматриваются авторегрессионные схемы с ненулевым средним в двух ситуациях. В первой авторегрессионная последовательность наблюдается без ошибок (засорений). Строятся критерии типа Колмогорова-Смирнова и Крамера-Мизеса-Смирнова для проверки нормальности авторегрессии. Найдены асимптотические распределения тестовых статистик при гипотезе и локальных альтернативах.
Во второй ситуации наблюдения могут содержать засорения, распределение которых неизвестно и произвольно. Строится специальный симметризованный критерий типа хи-квадрат Пирсона для проверки нормальности авторегрессии. Найдено распределение тестовых статистик при гипотезе и локальных альтернативах. Установлена качественная робастность теста.
Иванов А.О., Малышев В.А., МГУ им. М.В. Ломоносова
Статические Кулоновские Кластеры
Дается краткий обзор по равновесным распределениям Гиббса систем точечных заряженных частиц при нулевой и ненулевой температурах. Далее вводится понятие Кулоновского кластера и перечисляются случаи когда существуют устойчивые равновесные распределения для систем Кулоновских кластеров. Приводится библиография, показывающая важную роль понятия кластера в физике, химии и биологии.
Кондратенко А.Е., Соболев В.Н., МГУ им. М.В. Ломоносова
Об одном свойстве свертки с равномерным распределением
На практических занятиях по теории вероятностей тема сверток освещается, к сожалению, традиционно несколько однобоко. Точнее, после того, как становится понятна их крайне высокая вычислительная сложность, делается вывод о том, что на практике их вычисление следует заменить применением центральной предельной теоремы. Из-за этого остается невысказанным утверждение, что свертка по модулю N любой дискретной целочисленной случайной величины и дискретной равномерной, принимающей значения 0, 1, … , N-1, имеет равномерное распределение. Доклад посвящен развитию этого утверждения для свертки произвольной и абсолютно непрерывной случайных величин.
12 мая, 16:45 мск
Елена Евгеньевна Баштова, МГУ им. М.В. Ломоносова
Сильная гауссовская аппроксимация в теории массового обслуживания
В докладе будут представлены результаты о сильной гауссовской аппроксимации регенерирующих потоков и приложения этих результатов в теории массового обслуживания. Первая теорема, относящаяся к области сильной гауссовской аппроксимации случайных процессов, принадлежит Штрассену (1964). Фундаментальный результат Комлоша, Майора и Тушнади (1975-1976), которые получили точные оценки сильной гауссовской аппроксимации сумм независимых одинаково распределенных случайных величин, положил начало целому направлению исследований, нацеленных на получение оценок (по возможности точных) для многомерных систем, слабозависимых последовательностей, случайных полей и т.д.
Следует отметить, что получение точных оценок скорости сходимости - нетривиальная задача. Иллюстрацией этого может послужить тот факт, что каплинг процессов, дающий экспоненциальную скорость сходимости для сумм ограниченных функционалов от геометрически эргодичных цепей Маркова, был построен лишь в 2015 году в работе Мерлевед и Рио, тогда как естественная комбинация результатов для сумм н.о.р.с.в. и применения метода вложения Скорохода дает лишь скорость t-1/4.
Процессы, которые будут рассматриваться в докладе, являются обобщением многих видов процессов, использующихся в теории массового обслуживания и в теории страхования. В частности, упомянутые суммы функционалов от цепей Маркова являются частным случаем регенерирующего потока. Далее, многие процессы в теории массового обслуживания являются липшицевыми функционалами на траекториях входящего потока и процесса обслуживания, и поэтому теоремы о сильной гауссовской аппроксимации регенерирующих потоков дают возможность построить сильное приближение уже диффузионными процессами для таких процессов, как длина очереди в сильно загруженных системах или время ожидания. В докладе будет представлено несколько примеров таких приближений.
Page updated
Google Sites
Report abuse