БОЛЬШОЙ СЕМИНАР КАФЕДРЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
МГУ имени М. В. ЛОМОНОСОВА

Это страница весеннего семестра 2023 года Большого кафедрального семинара кафедры теории вероятностей механико-математического факультета МГУ. Постоянный сайт семинара – здесь. Семинар является продолжением научно-исследовательского семинара кафедры теории вероятностей под руководством А.Н. Колмогорова и Б.В. Гнеденко. 

For the English version click here or on the "Main page (EN)" button at the top.

8 февраля, 16:45 мск
Егор Александрович Илларионов, Дмитрий Дмитриевич Соколов, МГУ, Московский центр фундаментальной и прикладной математики

Относительная эффективность трех механизмов роста векторных полей в случайной среде

В работе рассматривается модель случайной среды с фиксированным и конечным временем памяти (короткокоррелированная модель). Внутри интервалов постоянных параметров среды мы можем наблюдать либо усиление, либо осцилляцию векторного поля в данной частице. Совместный эффект усилений на последовательных интервалах, очевидно, приводит к усилению среднего поля и средней энергии. Аналогично, эффект перемежающихся усилений или осцилляций также приводит к усилению среднего поля и средней энергии, однако, с меньшей скоростью. Наконец, возможно, что последовательные случайные колебания войдут в резонанс и приведут к росту среднего поля и энергии. Это и есть три механизма, которые мы исследуем и для которых, на примере уравнения Якоби со случайным параметром кривизны, будут представлены аналитические и численные оценки скоростей роста.

Запись доклада: https://youtu.be/XM1cHJ_qS6M 

22 февраля, 16:45 мск
Алексей Викторович Лебедев, МГУ
Анастасия Владимировна Горбунова, ИПУ РАН

Нетранзитивные системы непрерывных случайных величин и их приложения 

Изучается проблема нетранзитивности отношения стохастического предшествования для наборов случайных величин с распределениями из определенных классов. Первоначально этот вопрос был поставлен в связи с задачей из теории прочности (Трыбула, 1961). В дальнейшем тема нетранзитивности стала популярной на примере так называемых нетранзитивных (игральных) костей. В докладе представлены критерии, с помощью которых доказано, что нетранзитивности не может быть для многих классических непрерывных распределений (равномерного, показательного, нормального, логистического, Лапласа, Коши, Симпсона, однопараметрического Вейбулла и др.). Далее рассмотрен случай распределений с полиномиальной плотностью на единичном отрезке, где нетранзитивность может возникать при достаточной большой степени. Приведен метод построения нетранзитивных триплетов смесей распределений, который работает для смесей нормальных и показательных распределений. Затронута тема влияния нетранзитивности на поведение стохастических систем, т.е. как различные отношения между случайными величинами на входе сказываются на выходе. Изучаются эффекты нетранзитивности в системах массового обслуживания, в двух моделях: когда времена обслуживания в различных системах образуют нетранзитивные наборы и когда параметры систем обслуживания случайны. 

Запись доклада: https://youtu.be/Q1l1Q6pN_Ow 

15 марта, 16:45 мск
Станислав Алексеевич Молчанов,  Университет Северной Каролины в Шарлотте, ВШЭ

Дискретное динамо

Одно из многих приложений знаменитой колмогоровской теории изотропной турбулентности связано с так называемой проблемой кинематического динамо в магнитогидродинамике. Эта проблема активно изучалась в физической литературе (1960-1990), большой вклад в эту тематику внесли Я. Б. Зельдович и его группа. Математически это задача об эволюции магнитного поля, которая описывается уравнением Максвелла в турбулентной электропроводящей среде. В известном обзоре (Я.Б. Зельдович, С.А. Молчанов, А.А. Рузмайкин, Д.Д. Соколов) было установлено, что второй момент магнитного поля в модели кинематического динамо демонстрирует фазовый переход: для горячих звезд магнитное поле экспоненциально растет, а для холодных – убывает. В силу явления перемежаемости это еще не дает почти-наверное роста. В докладе будет описана дискретная модель, где  фазовый переход гарантируется с вероятностью 1.

Запись доклада: https://youtu.be/8WuMV0ziSoU

29 марта, 16:45 мск
Елена Евгеньевна Баштова,  МГУ

Об аппроксимации с вероятностью единица некоторых типов многомерных случайных блужданий

В ряде исследований движения микрочастиц (бактерий, лейкоцитов и т.п.) показано, что это движение хорошо описывается случайными ломаными, вдоль прямых участков которых частица движется с постоянной скоростью, а затем поворачивает на случайное направление (в частном случае вопрос об исследовании подобного случайного процесса, названного случайным полетом, впервые был поставлен К.Пирсоном в 1905 г.).  Формализация этих и других наблюдаемых явлений приводит к различным видам случайных блужданий: полетам Леви, марковски-модулированным случайным блужданиям и др. При этом многие естественные с точки зрения приложений модификации случайного блуждания оказываются неоднородными или немарковскими. Сильная гауссовская аппроксимация является существенным усилением классического принципа инвариантности, поскольку дает возможность подобрать винеровский процесс, траектории которого близки к траекториям исходного процесса с вероятностью единица. Такое приближение позволяет получать другие предельные теоремы, строить состоятельные оценки долгосрочной дисперсии, рассматривать предельное поведение различных функционалов от приближаемых процессов. В докладе будут  представлены теоремы о сильной гауссовской аппроксимации для марковски-модулированных случайных блужданий и некоторых немарковских случайных блужданий с нестационарными приращениями.

12 апреля, 16:45 мск
Ломоносовские чтения

Екатерина Вадимовна Булинская, МГУ
Модели страхования с дискретным временем

Математические модели входа-выхода целесообразно использовать для исследования реальных процессов, возникающих в таких приложениях как страхование, финансы, запасы, очереди, надежность, динамика популяций и многих других. Мы формулируем результаты в терминах страхования, старейшей области применения теории вероятностей. Основная цель – найти оптимальное управление, обеспечивающее экстремум выбранной меры риска (целевой функции). Классы допустимых управлений содержат начальный капитал компании, тарификацию, сострахование и перестрахование, банковские займы и инвестиции. Чтобы использовать полученные результаты, необходимо убедиться в устойчивости рассматриваемой модели.  Мы также рассматриваем предельное поведение капитала компании при неограниченном росте горизонта планирования и доказываем усиленный закон больших чисел и центральную предельную теорему. Изучается несколько моделей с дискретным временем, так как в ряде случаев они более точно описывают реальную ситуацию, удобны для численных расчетов, а также могут использоваться для аппроксимации соответствующих моделей с непрерывным временем.   

Александр Юрьевич Веретенников, ИППИ РАН, МГУ
Об усиленном законе больших чисел

Предложено новое замечание о варианте усиленного закона больших чисел для попарно независимых случайных величин. Основная цель – ослабить требование существования математического ожидания каждого из слагаемых. Будут также упомянуты некоторые малоизвестные, но исторически важные работы на данную тему. Доклад на основе совместного препринта с Алиной Ахмяровой.

Владимир Александрович Куценко, Дмитрий Дмитриевич Соколов, Елена Борисовна Яровая, МГУ
Неустойчивые режимы в ветвящихся случайных блужданиях со случайными интенсивностями генерации частиц

Рассматривается эволюция системы частиц на многомерной решетке с непрерывным временем. В начальный момент времени в системе имеется одна частица, которая может разделиться на две, погибнуть или перейти в соседнюю точку решетки. Эволюция частиц происходит в случайной среде, т.е. интенсивности размножения и гибели частиц задаются стационарными случайными величинами. Новые частицы эволюционируют независимо друг от друга и всей предыстории. В этой системе изучается рост средней численности частиц, который зависит от разности между интенсивностью деления и интенсивностью гибели, называемой случайным потенциалом. Фундаментальные основы для изучения таких моделей заложены в работах Я. Зельдовича, С. Молчанова, Ю. Гертнера, В. Кёнига с соавторами. Основное применение такие модели находят в статистической физике и при изучении динамики различных популяций. Нами показано, что если потенциал достаточно медленно убывает на бесконечности, то происходит взрывной рост числа частиц и их средняя численность может обращаться в бесконечность сразу после начала эволюции системы. Кроме того, доказан следующий результат: если конечна средняя численность частиц для каждой конкретной реализации среды, то это условие не гарантирует того, что средняя численность частиц останется конечной при усреднении по всем реализациям среды. Наконец, описано поведение усредненных по среде моментов численностей частиц для асимптотически гумбелевских потенциалов при больших временах.

Запись: https://youtu.be/Hpfjynn4kbI 

3 мая, 16:45 мск
Максим Павлович Савелов, МГУ

Предельные совместные распределения статистик, используемых при проверке качества генераторов случайных двоичных последовательностей

Пакет статистических критериев NIST, разработанный Национальным институтом стандартов и технологий США,  является одним из наиболее популярных инструментов, созданных для решения важной практической задачи о проверке качества генераторов случайных двоичных последовательностей. В докладе будут представлены результаты о предельных совместных распределениях различных наборов статистик критериев пакета NIST в ситуации, когда тестируемая последовательность является последовательностью Бернулли. Будут обсуждаться необходимые и достаточные условия асимптотической некоррелированности и необходимые и достаточные условия асимптотической независимости данных статистик. Изложенные результаты можно использовать при выборе параметров критериев пакета NIST.

Запись доклада: https://youtu.be/xKYk3FMb9Dg