Você se lembra de já ter estudado conjuntos? É provável que tenha aprendido operações sobre conjuntos numéricos, relações entre elemento e conjunto, entre outros conceitos nas aulas de matemática. Acredito que tenha aprendido as operações de união e interseção de conjuntos e a diferença entre eles.

Na área de computação, também, estudamos conjuntos sob vários aspectos. É possível estudar conjuntos sob a ótica da lógica, o que envolve uma abstração para lidar com conjuntos de pontos. Mas a boa notícia é que os conceitos e operações são os mesmos que você já aprendeu. Além disso, as operações sobre conjuntos, também, são bastante parecidas com as operações sobre proposições que estudamos. 

E você, também, já ouviu falar em banco de dados? Acredito que sim, pois você tem uma disciplina sobre isso, não é mesmo? Pois, então, um banco de dados, também, pode ser visto como um conjunto de dados. Diante disso, nosso principal objetivo, ao estudar conjuntos, será aprender a lidar com várias maneiras de simbolizar conceitos parecidos e operações úteis no gerenciamento de bancos de dados. 

Imagine que você trabalha em uma empresa de desenvolvimento de sistemas. Você está aprendendo a programar, mas já é capaz de implementar aplicativos bem interessantes. Agora, você é chamado a desenvolver aplicações, ainda, melhores e precisa aprender a lidar com bancos de dados muito grandes. 

Você sabe como trabalhar com proposições compostas por disjunção e conjunção, conhece portas lógicas OU e E, mas não sabe como operar conjuntos. Esse é um problema bastante comum na nossa área de computação. Nos últimos anos, a capacidade que nossas máquinas têm de armazenar dados aumentou muito. Muitas informações são armazenadas todos os dias, em vários lugares. Todos esses dados podem ser úteis a alguém e a você também, já que podem ajudar a produzir informações aos seus usuários. 

Mas você pode se perguntar: “por que aprender sobre conjuntos? Como isso tem relação com os bancos de dados e com a computação de modo geral?”. Lembre-se de que, muitas vezes, o sistema que você desenvolver vai oferecer subsídios aos seus clientes para que eles tomem decisões corretas. Mas imagine que você, como profissional responsável, não saiba operar os bancos de dados, por meio da programação dessas operações. Vai gerar um problema bem impactante para o desenvolvimento de sistemas eficientes, pois as principais linguagens de gerenciamento de bancos de dados usam as operações sobre conjuntos. 

Por isso, vamos rever esse tema, nesta lição, e compreender a sua relação com a computação. Vamos lá? 

Imagine que sua escola resolveu fazer uma pesquisa para saber se os alunos gostam de aulas de música e de aulas de educação física. Os responsáveis pela pesquisa entrevistaram 220 alunos e 54 deles disseram que não gostam de aulas de músicas e, também, não gostam das aulas de educação física. Em contrapartida, 30 alunos disseram que gostam muito das duas aulas e 102 disseram que gostam, apenas, das aulas de educação física. Você consegue descobrir, com base nesses dados, quantos alunos gostam apenas das aulas de música?

Figura 1 - Dados do case / Fonte: a autora.

Quer descobrir como fazer esse cálculo? Assista, a seguir, ao vídeo, e descubra com a professora: 

Você sabe o que é conjunto? A maioria dos autores não define, formalmente, o conjunto. É um conceito chamado de primitivo porque a maioria das pessoas entende com facilidade, mas não é capaz de escrever uma definição formal. Desse modo, entende-se conjunto como um aglomerado de componentes que têm alguma característica em comum.

De fato, a maioria dos estudos sobre conjuntos envolvem elementos que tenham algo em comum. Por exemplo, na matemática, estudamos conjuntos de números e suas operações. Não é comum que estudiosos incluam, no mesmo conjunto, elementos diversos, como animais, flores, números e arquivos de fotos, por exemplo.

Imagine, no seu dia a dia, quando você precisa organizar alguma coisa, o seu guarda-roupa, por exemplo. Quando vai organizar as gavetas, separa por seções de blusas, calças, meias, pijamas, uniformes e assim por diante, não é mesmo? É um método bem comum unir os itens por conjuntos, isto é, por suas características comuns.

Barbosa (2017) afirma que o estudo sobre essas operações, sobre conjuntos, pode ser chamado de álgebra dos conjuntos e seus conceitos são muito parecidos com aqueles apresentados no cálculo proposicional. 

Vamos estudar esses operadores, usando diagramas de Venn, e compará-los mediante tabelas-verdade com conectivos lógicos. “O matemático inglês John Venn (1834-1923), com base em seus estudos aplicados à lógica, propôs uma forma inovadora de representar graficamente interseções e uniões entre conjuntos, por meio de diagramas” (BARBOSA, 2017, p. 48).

Figura 2 - Diagrama de Venn / Fonte: a autora.

Observando a Figura 2, você verá que esse diagrama delimita duas áreas a serem estudadas. Uma dentro do conjunto p, destacada em cinza, e uma fora dele, mas dentro do retângulo que representa o conjunto universo U. A área de dentro do conjunto p representa o conjunto de todos os pontos que pertencem a p. A área em branco representa o conjunto de pontos que não pertencem a p, chamado complemento de p, ou ~p. Reconheceu o símbolo? Pois, se é o conjunto dos pontos que não pertencem a um conjunto, tem o mesmo conceito do conectivo da negação da lógica proposicional. Então:

Figura 3 - Diagramas de Venn que representam p e ~p / Fonte: a autora.

O mesmo tipo de diagrama foi desenvolvido para atender situações em que tenhamos dois ou três conjuntos a serem estudados. Veja:

Figura 4 - Diagramas de Venn com dois conjuntos e com três conjuntos / Fonte: a autora.

Observando o diagrama com dois conjuntos, você verá que aparecem quatro regiões a serem estudadas. Da mesma forma, a tabela verdade para uma proposição com duas proposições simples apresenta quatro linhas, cada uma representando uma combinação de valores lógicos. A mesma semelhança acontece com o diagrama com três conjuntos, em que aparecem oito regiões, e a tabela-verdade de uma proposição composta com três proposições simples, que apresenta oito linhas.

As principais operações entre conjuntos que você já estudou, no contexto da matemática, são a união e a interseção. No contexto da lógica, também, estudamos essas operações. 

Souza (2016) apresenta a união entre conjuntos como A ⋃ B = {x ∈ A ou x ∈ B}, ou seja, olhando para o diagrama de Venn, devemos destacar as regiões que possuem pontos pertencentes a pelo menos um dos conjuntos que aparecem no diagrama. Está lembrado da disjunção entre proposições? 

A tabela-verdade que define a disjunção aponta que a proposição composta por esse operador é verdadeira em três casos. Isso sugere que tenhamos, agora, que destacar três das quatro regiões do diagrama. E, de fato, isso acontece. Veja que se tivermos três conjuntos envolvidos, ainda, é possível pensar na união entre dois conjuntos e, nesse caso, seis das oito regiões deverão ser destacadas:

Figura 5 - P ⋃ q – diagramas com dois conjuntos e com três conjuntos / Fonte: a autora.

Souza (2016), também, apresenta a operação da interseção entre conjuntos como A ⋂ B = {x ∈ A e x ∈ B}, ou seja, agora, devemos destacar no diagrama de Venn as regiões cujos pontos pertencem aos dois conjuntos, ao mesmo tempo. Está lembrado da conjunção entre proposições? 

A tabela-verdade que define a conjunção aponta que a proposição composta por esse operador é verdadeira, em apenas um caso. Isso sugere que tenhamos, agora, que destacar apenas uma das quatro regiões do diagrama. E, de fato, isso acontece. Veja que se tivermos três conjuntos envolvidos, ainda, é possível pensar na interseção entre dois conjuntos e, nesse caso, duas das oito regiões deverão ser destacadas:

Figura 6 - p ⋂ q – diagramas com dois conjuntos e com três conjuntos / Fonte: a autora.

Outra operação muito comum, quando estudamos conjuntos, é a operação da diferença. Souza (2016), também, define essa operação como A – B = {x ∈ A e x ∈ B}. Veja que, nesse caso, não temos um operador na lógica proposicional que representa essa operação. Mas é possível representar esse raciocínio, usando uma combinação, ou seja, p Λ ~q.

Figura 7 - p – q – diagramas com dois conjuntos e com três conjuntos / Fonte: a autora.

Perceberam que as definições são bem parecidas com os conceitos que aprendemos no contexto da lógica proposicional? Então, da mesma forma que você exercitou esses conceitos, construindo tabelas-verdade, você pode treinar agora, construindo diagramas de Venn. Bons estudos!

Ficou interessado(a) sobre esse tema? Clique no play, a seguir, e assista ao vídeo:

Na área da computação, em muitas atividades, deparamo-nos com situações em que precisamos nos adaptar às simbologias próprias do ambiente. Por exemplo, na área de hardware, trabalhamos com sistemas digitais, portas lógicas e outros símbolos com seus significados. Na área de bancos de dados, precisamos lidar com operadores de conjuntos e por aí vai longe, cada área com a sua especificidade... 

A vantagem é que, muitas vezes, os conceitos se confundem e, por isso, basta uma adaptação à nova simbologia. Então, aprender a trabalhar com conjuntos pode ser muito útil dentro da informática como um todo. Além disso, essa linguagem sobre operadores de conjuntos será útil para trabalhar com linguagens de gerenciamento de bancos de dados, em que aparecem operadores como união e interseção de conjuntos. 

Esse estudo sobre conjuntos, também, é útil para a implementação de relatórios estatísticos ligados aos aplicativos que você desenvolverá no seu futuro profissional. A maioria dos sistemas envolve o gerenciamento de bancos de dados e, consequentemente, exige que seja feita uma análise do conjunto de dados que são armazenados todos os dias.

Por isso, é muito importante praticar para compreender os conjuntos e sua aplicação prática. Que tal construir os diagramas das tabelas-verdade da lição anterior? Será um ótimo exercício para você aprimorar os seus conhecimentos. Bom trabalho!