Vimos, em outras lições, que é possível determinar o valor lógico de uma proposição. Definimos que a lógica matemática estuda as proposições que admitem um — e, apenas, um — dos valores lógicos: V, o que significa que a proposição é verdadeira, ou F, quando a proposição for falsa. 

Quando criamos modelos matemáticos para representar proposições, suas operações e até argumentos válidos, usamos apenas os nomes das proposições. Escrevemos as fórmulas e modelos, usando letras minúsculas para representar proposições simples e letras maiúsculas para representar proposições compostas. 

Apresentamos, também, três operações importantes nesse contexto: negação, conjunção e disjunção, você se recorda? Nesta aula, estudaremos outros operadores importantes: o condicional e o bicondicional. Nosso objetivo, nesta sexta lição, será desenhar um panorama geral sobre em quais situações uma proposição, composta por qualquer operador lógico, será verdadeira e em quais situações ela será falsa.

Imagine um engenheiro eletricista que precisa desenhar o projeto de um edifício, prever a quantidade de interruptores e como será o circuito elétrico que ligará esses interruptores. Esse trabalho não é fácil, mas alguns recursos podem ajudar. Suponha que cada interruptor tem dois estados possíveis: ligado ou desligado, ou seja, tem o mesmo comportamento de uma proposição, que pode ser verdadeira ou falsa. 

O uso de tabelas-verdade pode ajudar no funcionamento do circuito e oferecer uma ajuda para que o engenheiro possa simplificar o circuito, sem interferir em seu funcionamento como um todo, ou seja, a ativação dos mesmos interruptores manterá os mesmos ambientes do edifício iluminados. Desse modo, o uso de tabelas-verdade pode fazer com que essa e muitas outras tarefas sejam facilitadas, vamos descobrir como?

Imagine que você e seus colegas querem reservar a quadra esportiva do colégio para jogar futebol fora do horário de aula. A regra para isso é que a nota média da turma seja superior a 6 e a quadra esteja disponível no dia escolhido. Se essas duas regras forem atendidas, a reserva será efetuada. Caso contrário, não poderá usar a quadra no dia em questão. Pensando nisso, podemos escrever as seguintes proposições:

Em quais casos essa proposição será verdadeira? Esse exercício será útil, porque sempre que você tiver um problema parecido, bastará substituir as proposições relativas ao novo problema e já saberá o resultado. Bom trabalho!

O case o(a) deixou intrigado(a)? Assista ao vídeo, a seguir, para conhecer um pouco mais sobre essa história:

Na lição anterior, você aprendeu que “toda proposição simples tem um valor lógico verdadeiro (V) ou falso (F) e isso se deve ao princípio do terceiro excluído” (SOUZA, 2016, p. 41). Já vimos, também, que é possível criar proposições compostas, a partir de outras simples, usando conectivos ou operadores lógicos.

Você, também, conheceu os operadores binários (envolvem duas proposições): conjunção e disjunção. Vamos relembrar como funcionam? Para isso, tente interpretar as tabelas:

A tabela indica que a proposição composta p ⴷ q será verdadeira em apenas um caso: quando p e q forem verdadeiras, ao mesmo tempo.

Agora, com a tabela da disjunção, concluímos que a proposição composta p V q será verdadeira, quando pelo menos uma das proposições p e q for verdadeira. Ainda, podemos pensar que essa proposição só é falsa em um caso: quando ambas as proposições simples forem falsas.

Além desses operadores, dois outros se apresentam bastante importantes no contexto da lógica proposicional: o condicional e o bicondicional: condicional é aquele operador que envolve condição, ou seja, apresenta uma estrutura do tipo se ... então. Pianezzer (2020, p. 17) nos alerta para o fato de que precisamos “ter muito cuidado no estudo desse conectivo, visto que possui alguns detalhes que, frequentemente, levam a erros comuns dos estudantes”.

Observe a tabela, a seguir, para compreender o exemplo: 

Pense em um exemplo assim: “Se você alcançar a nota 9 ao final do curso, então eu darei um presente a você”.  É só uma brincadeira! Mas, nesse caso, podemos definir que p: você alcança a nota 9 ao final do curso, e q: eu dou um presente a você. Se você observar a tabela que define o operador, na primeira linha da tabela, as proposições p e q são verdadeiras, ou seja, você cumpriu sua parte e eu também. Portanto, o condicional foi satisfeito. Nas duas últimas linhas, em que você não teria cumprido sua parte, ainda que eu resolva dar um presente a você, não haveria motivos para desavenças, não é mesmo? Então, o condicional continuaria satisfeito. A única chance de você ter motivos para não terminar o curso satisfeito(a) com minha postura, aparece na segunda linha. Essa linha apresenta uma situação em que você teria cumprido seu compromisso, mas eu não teria cumprido minha parte. Assim, apenas nesse caso, o condicional será falso. O que acha de tentar formular outros exemplos, envolvendo promessas, para treinar?

O último operador que estudaremos é o bicondicional cujo símbolo é ↔. Isso mesmo, o símbolo do condicional é uma seta para a direita, ou seja, ⟶. O símbolo do bicondicional é uma seta bidirecional. Faz sentido, não é? A leitura de uma proposição composta assim: p ↔ q é “p se, e somente se, q”.  

Agora, para que essa proposição composta seja verdadeira, é necessário que as duas proposições envolvidas, p e q, tenham o mesmo valor lógico, ou seja, sejam ambas verdadeiras ou ambas falsas.

Observe a tabela desse operador:

Vamos ver um exemplo trazido por Pianezzer (2020) para uma proposição composta p ↔ q:

Analisando esses operadores, vemos que é possível criar proposições compostas, envolvendo duas ou mais proposições simples e uma combinação de conectivos. Além disso, sabendo os valores lógicos das proposições simples, calculamos o valor lógico de cada proposição composta. Observe:

Você já aprendeu que V(p) = V, V(q) = V e V(r) = F. Sabendo disso, podemos fazer os cálculos: qual é o valor lógico de ~p? Ora, sabemos que não p significa a negação de p. Se o valor lógico de p é verdadeiro, então: V(~p) = F.

Qual é o valor lógico de p ⴷ q? Uma proposição composta por conjunção será verdadeira, quando as duas forem verdadeiras, ao mesmo tempo. Portanto, nesse caso, V(p ⴷ q) = V.

Qual é o valor lógico de p → r? Nesse caso, temos que o antecedente (ou hipótese) é verdadeiro, que é a proposição p (que aparece antes do símbolo →) e o consequente (ou tese) é falso, representado por r (que aparece depois do símbolo →). Portanto, nesse caso, V(p → r) = F.

Também, é possível combinar mais de um operador. Qual é o valor lógico de ~q V r? Em primeiro lugar, precisamos pensar no cálculo da negação, porque ela vai apenas inverter o valor lógico de q. Então, antes de pensar na disjunção, já devemos considerar o valor de q invertido, ou negado. Assim, V(~q) = F e V(r) = F. Para uma proposição composta por disjunção ser verdadeira, preciso que tenha pelo menos uma proposição verdadeira envolvida. Como ambas são falsas, V(~q V r) = F.

Até aqui, os cálculos que fizemos envolveram proposições conhecidas. Determinamos os valores lógicos delas e efetuamos cada operação de acordo com sua definição. O que acontece, por exemplo, se não conhecemos as proposições? Ou, como eu poderia saber quando uma lâmpada ficaria acesa em um circuito elétrico em que p, q e r representassem interruptores desse circuito e eu não soubesse quando cada um deles estaria ligado? A resposta é: construímos uma tabela verdade para desenhar um panorama geral. Veja: quero construir a tabela para a proposição anterior, que vou chamar de A: ~q V r.

Eu sei que cada uma das proposições q, r e, até mesmo, A só pode assumir um dos dois valores lógicos possíveis: V ou F. Isso nunca vai mudar! Se eu não conheço as proposições q e r, preciso considerar todas as combinações possíveis, ou todos os cenários possíveis para duas proposições quaisquer. A partir daí, efetuamos as operações, na ordem correta e chegaremos aos valores de A.

Então, para construir a tabela verdade de A: ~q V r, seguiremos os três passos. Veja a seguir:

Passo 2: Vimos que a proposição A apresenta dois operadores e, portanto, a essas duas primeiras colunas gerais vou acrescentar duas outras, em que faremos cálculos. E, como já comentei, faremos primeiro a negação e, depois, a disjunção:

Passo 3: Vamos, agora, preencher a tabela com os valores lógicos adequados, de acordo com a definição de cada operador. A coluna que envolve ~q, deverá apresentar a cada linha o valor contrário ao de q. Para fazer o cálculo de ~q V r, você deverá olhar para as colunas de ~q e de r e observar o fato de que essa proposição será verdadeira, quando pelo menos uma das duas tiver valor lógico V:

Quando construímos tabelas-verdade, em geral, temos o objetivo de descobrir todas as possibilidades de valores lógicos para uma proposição composta. Quando não conhecemos os valores das proposições simples envolvidas, precisamos desse recurso para apontar como devem ser essas proposições simples para que obtenhamos o valor lógico de que precisamos para a proposição composta. 

Você verá aplicações para tabelas-verdade em várias áreas de atuação, como profissional de computação. Em especial, já comentei com você, sobre o uso para análise de circuitos elétricos. Também para testar software e outras áreas, você encontrará nas tabelas-verdade importantes aliadas para resolver vários problemas e produzir informações úteis para os usuários dos aplicativos que for desenvolver.