A análise combinatória envolve o processo de contagem, e nós, constantemente, precisamos fazer contas, não é mesmo? Então, é importante conhecer procedimentos corretos e eficientes para fazermos as contas. Você já imaginou que existe um jeito certo de contar? 

A análise combinatória envolve cálculos conhecidos, como arranjos, permutações e combinações e suas fórmulas. Mais do que conhecer as fórmulas, nosso objetivo é entender o processo de contagem eficiente para saber quando usar cada um deles e como fazer com que os sistemas desenvolvidos produzam informações úteis para as pessoas que irão utilizá-los. 

Os resultados desses processos de contagem, obtidos de maneira correta e eficiente, poderão nos ajudar a tomar decisões em diversas ocasiões, desde o cadastro de uma senha para acesso a algum dado específico, até a maneira de armazenar dados importantes em bancos de dados. Por isso, a análise combinatória será o tema desta lição. Vamos lá!

Você já precisou definir uma senha para acessar algum aplicativo, jogo ou arquivo pessoal? Já percebeu que, às vezes, durante o processo de cadastro dessa senha você recebe um aviso sobre o nível de segurança da senha criada? 

Muitas vezes, o nível de segurança tem a ver com a quantidade de caracteres ou símbolos que você pode escolher para compor sua senha. Dependendo da quantidade de dígitos ou letras que estão disponíveis para você usar, a quantidade de senhas ou combinações diferentes possíveis pode ser tão grande que fica difícil alguém conseguir descobrir qual é sua senha. 

Por exemplo, imagine que, para ter acesso a uma fase de um jogo, você deverá descobrir um código composto por quatro algarismos, ou seja, será um número de quatro dígitos. Você sabe quantas são as possibilidades? Suponha que esse código poderá ser um número entre 0000 e 9999. Mas quantos números existem nesse intervalo? Como são quatro posições e cada posição poderá conter um entre 10 algarismos, teremos 10 x 10 x 10 x 10 combinações possíveis, ou seja, 104 possibilidades, ou, ainda, 10.000 códigos possíveis para você desvendar e acessar a fase do jogo. 

Mas antes de você tentar 10.000 vezes, saiba que essa é uma situação em que a análise combinatória pode ajudar a fazer as contas e a chegar ao resultado! Vale ressaltar que essa é apenas uma das possibilidades, em que a análise combinatória pode ajudar. 

Veja o caso apresentado por Metz (2018): uma loja de roupas femininas decidiu fazer uma promoção e selecionou três de suas clientes para um desafio. A vencedora ganharia um pacote de viagem. No dia predeterminado, a loja reuniu as escolhidas: Laura, Julia e Isabela. Em espaços distintos, cada uma delas recebeu três camisetas, duas saias e dois pares de sapatos. 

Em seguida, foi solicitado que, em apenas 5 minutos, elas apresentassem o número de combinações possíveis de suas peças, que contemplasse sempre uma peça de cada item: camiseta, saia e par de sapatos. Quem acertasse esse número, seria a vencedora da promoção.

Laura começou a experimentar, apressadamente, as peças que recebeu e afirmou que existiam 4 possibilidades. Julia, em vez de começar a experimentar as roupas, pegou seu celular e fez uma série de contas, ao fim das quais afirmou que seriam oito as possibilidades. Isabela, por sua vez, sentou-se em um banco, refletiu e, de repente, afirmou em voz alta: “há 12 possibilidades”.

Quem será que foi a vencedora?

Isabela pensou assim: tenho 3 camisetas para escolher, 2 saias e 2 pares de sapatos. Então, terei 3 x 2 x 2 = 12 combinações. Ela estava certa! Então, foi a Isabela que ganhou a viagem, e ela conseguiu acertar porque utilizou análise combinatória, acredita?

Ficou interessado(a) sobre esse tema? Clique no play, a seguir, e assista ao vídeo:

Eu sempre faço contas. Fico contando quanto dinheiro, ainda, tenho na carteira, quantos dias faltam para chegar o aniversário de alguém que eu gosto, conto as horas para minha aula preferida, conto quantas pessoas estão na minha sala de aula e faço várias outras contas, todos os dias. Você também tem esse hábito? 

Essas contas que eu citei, faço de cabeça, com facilidade. Algumas outras contas que gosto de fazer exigem que eu pense um pouco mais. Por exemplo, no final do ano, alguns amigos meus fizeram uma rifa para ajudar, financeiramente, uma família que estava precisando. Cada bilhete da rifa tinha um número com 3 dígitos e cada dígito poderia ser um algarismo de 0 a 9. 

Cada dígito foi sorteado separadamente. Então, fui fazer as contas para saber quais eram minhas chances de ser sorteada. Como são 3 posições e cada posição tem 10 possibilidades, existem mil maneiras diferentes de um número ser sorteado. A análise combinatória trata desse tipo de conta e, por meio dela, eu descobri que tenho, então, 1 em 1.000 possibilidades de ser sorteada, muito legal, não é mesmo? Mas, além desse tipo de conta, a análise combinatória contempla outros cálculos. Vamos ver quais são? 

A análise combinatória envolve processos de contagem e, segundo Souza (2016), consiste principalmente de processos de agrupamentos de elementos de conjuntos finitos, sem necessariamente apresentar esses agrupamentos. Muitas vezes, apenas queremos saber a quantidade de subconjuntos que conseguimos formar. A análise combinatória envolve o estudo de combinações, arranjos e permutações. Existem outros conceitos e outras maneiras de contagem, mas essas três operações já serão suficientes para resolvermos muitos problemas do nosso dia a dia.

Souza (2016) define esse processo como permutação de n objetos diferentes e a maneira de calcular é Pn = n!. O símbolo ! representa o cálculo do  fatorial. Simões-Pereira (2012) define esse cálculo como n x (n-1) x (n-2) x ... x 1. Lembre-se de que a palavra permutar significa trocar, ou seja, nesse caso, estamos apenas trocando as opções de lugar.

Você já ouviu falar em anagrama? Metz (2018, p. 18) define o cálculo da quantidade de anagramas como “a quantidade de palavras formadas, com ou sem sentido, utilizando as letras de outra palavra”. Esse é um bom exemplo de permutação.

Se eu quiser calcular quantos anagramas eu consigo formar com as letras da palavra SOL, devo pensar assim: começando com a letra S, tenho os anagramas SOL e SLO; começando com O, tenho OSL e OLS; começando com L, tenho LSO e LOS. Então, tenho 6 anagramas, ou seja, 3! = 3 x 2 x 1 = 6.

Metz (2018), também, define o fatorial como a multiplicação de números inteiros consecutivos. Não foi difícil descobrir os anagramas da palavra SOL, porque tínhamos apenas três letras. Mas, para descobrir a quantidade de anagramas da palavra LIVRO, por exemplo, teríamos bastante trabalho para escrever todas as possibilidades. Como a palavra LIVRO tem cinco letras, temos 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 anagramas.

De acordo com o que vimos até aqui e com Metz (2018), podemos dizer que o número de permutações de n elementos diferentes é dado por Pn = n!. Mas, ainda, segundo Metz (2018, p. 22), “[...] quando há elementos repetidos a serem permutados, o processo é um pouco diferente”.

Vamos supor que queremos encontrar quantos anagramas existem da palavra LOBO. Como a palavra tem quatro letras, a primeira ideia é calcular 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24. Mas teremos alguns pares de anagramas iguais, se não diferenciarmos as duas letras O. Então, quando temos repetições, precisamos excluir os anagramas iguais da nossa conta. Podemos pensar no cálculo como sendo: Pnr = n! / r!, em que r representa a repetição. A palavra LOBO tem quatro letras, mas duas são repetidas. Portanto, a quantidade de anagramas para a palavra LOBO será P42 = 4! / 2! = 4 x 3 x 2! / 2! = 4 x 3 = 12.

Vamos considerar outra situação, digamos que eu e quatro colegas estamos fazendo um trabalho em equipe. O professor disse que precisamos escolher um integrante do grupo para apresentar o trabalho, oralmente, e outro para ser o representante do grupo perante a sala.

Diante disso, quero saber de quantas maneiras diferentes podemos eleger o representante e o orador. Como temos 5 pessoas no total, vou representar cada uma delas com uma letra: A, B, C, D e E. Nesse caso, esses agrupamentos são chamados de arranjos de 5, 2 a 2.

Metz (2018) apresenta a fórmula, a seguir, para o cálculo de arranjos: A n,p = n! / (n – p)!, sendo que n é o número total de elementos do conjunto e p a quantidade de elementos que serão escolhidos. Então, em nosso caso, n = 5 e p = 2 e teremos A 5,2 = 5! / (5 – 2)! = 5! / 3! = 5 x 4 x 3! / 3! = 5 x 4 = 20.

Atenção: lembre-se de que, nesse caso, a posição do elemento é importante, já que os dois escolhidos executarão tarefas diferentes. Então, teremos as seguintes possibilidades:

Agora, vamos pensar em uma situação parecida, mas com uma diferença sutil. Minha equipe continua com 5 alunos e 2 serão escolhidos, mas a diferença é que os dois escolhidos farão a mesma tarefa. Portanto, quem será escolhido primeiro, ou em segundo lugar, não fará diferença.

Nesse caso, AB ou BA significam a mesma situação em que esses dois alunos foram escolhidos para realizarem uma tarefa juntos. Percebeu a diferença? A ordem não é importante. E uma combinação de 5 elementos, 2 a 2.

Metz (2018) apresenta a fórmula, a seguir, para o cálculo de combinações: C n,p = n! / p! (n – p)!, sendo que n é o número total de elementos do conjunto e p a quantidade de elementos que serão escolhidos. Então, no nosso caso, n = 5 e p = 2 e teremos C 5,2 = 5! / 2!(5 – 2)! = 5! / 2!3! = 5 x 4 x 3! / 2!3! = 5 x 4 / 2 x 1 = 20 / 2 = 10.

Veja as possibilidades, agora com as repetições apagadas:

Tabela 2 - Possibilidades de combinações de 5 pessoas, 2 a 2 / Fonte: a autora. 

Você já apostou ou conhece alguém que já jogou na Mega Sena? São 60 números disponíveis, do 01 ao 60. Apenas 6 deles serão sorteados e vence quem acertar quais serão esses números. A ordem em que serão sorteados não é importante. Então, temos outro caso de combinação. Veja a quantidade de possibilidades: C 60,6 = 60! / 6!(60 – 6)! = 60 x 59 x 58 x 57 x 56 x 55 x 54! / 6! 54! = 60 x 59 x 58 x 57 x 56 x 55 / 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 50.063.860 possibilidades. Ou seja, suas chances de acertar os números sorteados é de 1 em 50.063.860.

Ainda, temos algumas situações mais específicas para estudar. Digamos que eu quero formar apenas números pares e sem repetições com os algarismos 1, 2, 3 e 4. Quantos números consigo escrever? Cada número terá 4 posições a serem preenchidas, mas na última posição eu tenho apenas duas opções: 2 ou 4, já que o número formado deve ser par. Depois de escolher uma das duas opções para o último dígito, terei 3 algarismos para escolher para a primeira posição. Depois disso, terei ainda 2 opções para a segunda posição, e o último dígito ocupará a terceira posição. Assim, teremos 3 x 2 x 1 x 2 = 12 números possíveis.

Outra situação que precisamos pensar é aquela na qual é possível repetir um elemento do conjunto original. Por exemplo, usando os algarismos conhecidos, de 0 a 9, quantos números com 3 dígitos conseguimos formar? Nesse caso, para cada uma das três posições do número a ser formado, temos 10 possibilidades, já que é possível repetir um algarismo. Então, teremos 10 x 10 x 10 = 103 = 1000 números possíveis. 

Viu quantas possibilidades de cálculos nós tivemos a oportunidade de fazer, por meio da Análise Combinatória? Você gostou? Então, que tal aprender um pouco mais sobre esse tema?  Clique no play, a seguir, e assista ao vídeo:

Embora tenhamos visto exemplos que podem parecer simples, muitos pesquisadores já apontaram a aplicação desses conceitos em várias áreas de atuação. Souza (2016, p. 24) apontou que o estudo da análise combinatória serviu de base para o desenvolvimento de “[...] uma nova técnica para tratar de maneira unificada a enumeração de isômeros de uma substância química”.

Também, na área da computação, os conceitos da análise combinatória podem ser de grande ajuda, em muitas áreas. Por exemplo, ao projetar um banco de dados, você deverá pensar em um código para armazenar os produtos que uma empresa comercializa, por exemplo. Então, cada produto deverá ter seu código dentro do sistema de gerenciamento do banco de dados da empresa. Assim, você deve pensar no tamanho e no modelo do código, de maneira a conseguir uma quantidade de códigos suficiente para cadastrar todos os produtos da empresa.

Outra área que você pode escolher para trabalhar e na qual usará bastante processos de contagem é a pesquisa operacional. Esse estudo pode ser importante em muitas empresas em que há a preocupação de usar, de maneira eficiente, os recursos disponíveis. 

Por exemplo, imagine uma fábrica de sapatos de couro. A indústria compra peças de couro e deve cortar essa peça da melhor maneira possível, ou seja, usar a peça para produzir a maior quantidade de sapatos, dependendo do modelo e tamanho de cada um. Então, o sistema que você desenvolverá para essa empresa deverá realizar cálculos com base nesses nossos estudos. Por isso, você tem que estar familiarizado com o tema, combinado? 

Vou fazer um desafio para você treinar, você topa?

Antigamente, o modelo das placas de carros, aqui, no Brasil era assim: LLL NNNN, considere que L representa uma letra do nosso alfabeto e N um dígito numérico; hoje em dia, o modelo foi alterado e as placas dos carros obedecem ao modelo LLL N L NN. Que tal descobrir quantas placas diferentes é possível criar com esse modelo? Considere que nosso alfabeto tem 26 letras diferentes e conhecemos 10 algarismos diferentes, de 0 a 9. Será que agora podemos ter mais placas diferentes?