Fuensanta Aroca
Título: Por anunciar.
Resumen: Por anunciar.
Ramón Ronzón
Título: Singularidades Minimales en la Resolución Parcial de Singularidades de Variedades de Dimensión Baja Preservando Cruces Normales
Resumen: En este trabajo se aborda el problema de desingularización parcial preservando cruces normales para variedades algebraicas de dimensión ≤ 4 definidas sobre un campo algebraicamente cerrado de característica cero. El resultado principal proporciona una sucesión de explosiones con centros suaves donde cada explosión se restringe a un isomorfismo en una vecindad que contiene todas las singularidades en cruces normales y de modo que la variedad resultante sólo posee singularidades pertenecientes a una lista mínima finita N, donde cada elemento de N se expresa en una forma normal precisa. Dichos elementos se describen mediante determinantes de matrices circulantes, las cuales son las matrices de n×n generadas por las matrices de permutación asociadas a las permutaciones cíclicas de n elementos. Este resultado es el mejor posible ya que, en general, no existe un procedimiento de resolución que preserve el lugar de cruces normales y tal que la variedad resultante posea únicamente singularidades de cruces normales.
Paul Barajas
Título: La explosión del módulo de derivaciones como método de resolución de singularidades
Resumen: El problema de la resolución de singularidades es uno de los temas centrales en la geometría algebraica. Aunque el famoso teorema de Hironaka estableció la existencia de estas resoluciones en característica cero, la búsqueda de un procedimiento "sin elecciones" sigue siendo un problema abierto. Durante décadas, la explosión de Nash se consideró el candidato para lograr esto, pero trabajos recientes han demostrado que falla en dimensiones superiores a tres.
En esta plática, exploraremos un nuevo método. En lugar de basarnos en el módulo de diferenciales de Kähler (como lo hace la explosión de Nash), analizaremos qué sucede al realizar la explosión de su dual: el módulo de derivaciones.
A lo largo de la presentación, abordaremos la pregunta de si iterar este proceso nos lleva a una resolución de singularidades en un número finito de pasos. Discutiremos cómo este nuevo método ofrece respuestas afirmativas para el caso de las curvas y para las singularidades de superficies log-canónicas. Además hablaremos de una relación que tiene este método con la famosa conjetura de Zariski-Lipman.
Damián Ochoa
Título: Hipersuperficies de Puiseux y Singularidades Hizerbruch-Jung
Resumen: Una singularidad es casi-ordinaria cuando su discriminante tiene cruzamientos normales, entender su normalización es un primer paso hacia su resolución. El teorema de Jung–Abhyankar garantiza, en característica cero, que toda hipersuperficie casi-ordinaria admite una raíz de Puiseux. A cada raíz se le asocia un conjunto finito de exponentes característicos, los cuales generan un semigrupo afín cuya saturación corresponde a un cono simplicial. Mostraremos que esta relación permite identificar la normalización de una singularidad casi-ordinaria con el punto especial de una variedad tórica afín asociada a dicho cono: una singularidad de Hirzebruch–Jung. Veremos cómo este resultado se extiende a hipersuperficies de Puiseux no necesariamente casi-ordinarias, demostrando que su normalización es analíticamente equivalente a la de una hipersuperficie casi-ordinaria y discutiremos las obstrucciones que aparecen en característica positiva.
Trabajo en conjunto con Fuensanta Aroca, Annel Ayala, Oscar Castañon, Diana Mendez Penagos y Camille Plenat.