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PROPORCIONALIDAD

 Vídeoclase Proporcionalidad I

 Videoclase Proporcionalidad II

Videoclase Proporcionalidad III

 
 La proporcionalidad es una relación entre magnitudes medibles.

 
 RAZÓN
Entre dos segmentos es el valor de la relación entre las longitudes de ambos segmentos.

Razón = a/b = K


PROPORCIÓN
Es la igualdad entre dos razones

a/b = c/d

b y c son los Medios
a y d son los Extremos

La proporción puede ser directa o inversa.
Son magnitudes directamente proporcionales aquellas que varían de forma que se razón es constante.
a/b = c/d = K
Son magnitudes inversamente proporcionales aquellas que varían de tal forma que su producto permanece constante.

 
 TEOREMA DE TALES

Cuando dos rectas concurrentes r y s son cortadas por un haz de rectas paralelas, los segmentos que resultan sobre r son proporcionales a los que se determinan sobre la recta s.


Aplicaciones del teorema de Tales:

División de un segmento en partes proporcionales.
Dados 3 segmentos l, m y n, hallar los segmentos proporcionales sobre el segmento AB. Pasos:
- Colocamos el segmento AB y sacamos de uno de sus extremos (por ejemplo desde A) una recta r concurrente.
- Desde el vértice del ángulo que forman, situamos los segmentos l, m y n.
- Desde el extremo de n unimos con el extremo B del segmento mediante una recta.
- Hacemos paralelas a esta recta desde todas las medidas y obtenemos los segmentos l’, m’ y n’  

 












División de un segmento en partes proporcionales.



 

División de un segmento en partes iguales

- Tenemos el segmento AB que queremos dividir, por ejemplo en 3 partes.

- Desde uno de los dos extremos (pongamos desde A), trazamos una semirecta r que forme un ángulo cualquiera con el segmento. 

- A partir del vértice, medimos en la semirecta, tres partes iguales. Se puede hacer con tres medidas iguales de compás.

- Unimos el 3 con el extremo B y hacemos paralelas por 2 y por 1, dividiendo proporcionalmente en tres partes iguales al segmento AB.

 

División de un segmento en partes iguales


 

Cuarta proporcional de tres segmentos


Dados tres segmentos a, b y c, se denomina cuarta proporcional al segmento d, si éste cumple que: 


a/b =c/d

Luego: d = b x c/a


Construcción:

- Trazamos dos rectas concurrentes r y s que se cortan en O con un ángulo cualquiera. 

- Se llevan los segmentos ordenadamente: a y b sobre una recta a partir de O y el segmento c sobre la otra (a partir de O).

- Trazamos una recta desde el extremo de a al extremo de c. Con la misma inclinación, hacemos una paralela desde el extremo b, obteniendo el segmento d buscado.


Nota: También se puede poner a y c en una recta, y, b y d en otra.


 

Cuarta proporcional de tres segmentos


a/b =c/d

  Otra forma de colocación:


 

Producto de dos segmentos


Tomamos un segmento como unidad, por ejemplo el c.

Basándonos en la cuarta proporcional:

a x b = x

a x b = x x c siendo c = 1

a/c = x/b      c/a = b/x


 

Producto de dos segmentos

a.b = x





Cociente de dos segmentos


Basándonos en la 4ª proporcional y a partir de dos segmentos dados, a y b, tomamos un segmento como unidad, por ejemplo el c.


a/b = x

a/b = x/c siendo c = 1


Luego b/a = c/x



 
 

Cociente de dos segmentos: 

a/b = x




 

Tercera proporcional de dos segmentos


Dados dos segmentos a y b, se denomina tercera proporcional al segmento c, si cumple que 

a/b = b/c

luego  a x c = b2             c = b2/a


Construcción:

- Dibujamos dos rectas concurrentes. En una de ellas  (recta s) ponemos los segmentos a y b colocados a continuación uno del otro. En la otra ponemos el segmento b.

- Unimos el extremo de a con el de b de la otra recta. Trazamos la paralela por el extremo del segmento b situado sobre s. Así obtenemos c.

 

Tercera proporcional de dos segmentos: a/b = b/c



 

Cuadrado de un segmento: a2 = x


Nos basamos en la 3º proporcional y además tomamos un segmento c como unidad. 


a x a = x

a x a = x x c siendo c = 1

Luego a/c = x/a           c/a = a/x

 

Cuadrado de un segmento: a2 = x

 c/a = a/x



Media proporcional


Dados dos segmentos a y b se denomina media proporcional al segmento c, si cumple que :


a/c = c/b

a x b = c2 

 
 

Media proporcional




Media proporcional: Teorema de Euclides y Pitágoras


Teorema de la altura (Euclides):

La altura de un triángulo rectángulo respecto de la hipotenusa es media proporcional de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.


Dados dos segmentos a y b, queremos hallar su media proporcional aplicando el teorema de la altura.

Construcción:

- Dibujamos un arco capaz de 90º para la suma de los segmentos a+b. Así, a+b, es la hipotenusa de los posibles triángulos rectángulos con vértice en el arco. 

- Por el extremo común de ambos segmentos trazamos una perpendicular que corta al arco en V, vértice del triángulo rectángulo buscado.

- La altura x, es media proporcional de a y b.


Teorema del cateto (Euclides):

En un triángulo rectángulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella.


- Dados dos segmentos a y b, queremos hallar su media proporcional aplicando el teorema del cateto

Construcción:

- Dibujamos un arco capaz de 90º para el segmento b. Así, b, es la hipotenusa de los posibles triángulos rectángulos con vértice en el arco. 

- Llevamos sobre b el segmento a y por su extremo trazamos una perpendicular que corta al arco en el punto V, vértice del triángulo buscado. 

- El cateto c es media proporcional de a y b.




Teorema de Pitágoras: Otra forma de obtener raíces


En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.  a2 = b2 + c2.    


 a =   √ b2 + c2



 


















Determinación de dos segmentos conocida su suma y su producto



Tenemos los datos:

a + b = s

a x b = p



Pasos para la solución:


- Hallamos la media proporcional del producto. Podemos aplicar el teorema de la altura para su resolución. Para ello ponemos p y un segmento que valga la unidad, trazamos el arco capaz de 90º y la altura será media buscada.


- Hacemos un arco capaz de 90º para la suma y  llevamos la media proporcional del producto mediante una paralela que le cortará, dividiendo así la suma en dos segmentos a y b.


Se observa que hay dos posibles soluciones.















Determinación de dos segmentos conocida su diferencia y su producto



Tenemos los datos:

a - b = d

a x b = p


Pasos para la solución:

- Trazamos una circunferencia de diámetro la diferencia d.

- Hallamos la raiz cuadrada del producto.

- Trazamos una tangente a la circunferencia que tenga una medida igual a √p, y obtenemos el punto P.

- Unimos P con el centro de la circunferencia y alargamos la recta. En esta recta están los dos segmentos buscados a y b.

 












Ejercicios resueltos Dibujo I
 
Ejercicios resueltos Dibujo II
 
 Apuntes digitales

 
 

 

 LISTA DE REPRODUCCIÓN PROPORCIONALIDAD

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