Toán học – Những điều kì thú và những mốc son lịch sử (Phần 1)

Sau quyển "Những câu hỏi và bài tập vật lí phổ thông" (L. Tarasov & A. Tarasova), tiếp tục với phong cách trình bày kiểu Hỏi-Đáp, TVVL giới thiệu với các bạn bản dịch của quyển sách “Toán học – Những điều kì thú và những mốc son lịch sử” (A.L. Audichya); bản dịch dựa trên bản in phát hành năm 2008 ở Ấn Độ.

LỜI NÓI ĐẦU

1. Mục đích của quyển sách này là gì?

Để truyền tải đến độc giả mức độ nhận thức toán học cao nhất và giới thiệu những thành tựu toán học xuất sắc.

2. Những thành tựu toán học vừa nói là những thành tựu nào?

Trước hết là sự đa dạng hóa của toán học, tức là trước đây chúng ta có hình học, nay chúng ta có các loại hình học, và các loại đại số thay cho đại số. và các hệ thống số thay cho hệ thống số.

Một số thành tựu khác bao gồm:

Lí thuyết phương trình đại số của Galois;

Định lí không hoàn hảo của Godel;

Chuỗi Fourier và những tập hợp vô hạn;

Lí thuyết nhóm; ma trận; giải tích số phức;

Topo học; giải tích hàm;

Vân vân.

3. Quyển sách này nhắm tới đối tượng độc giả nào?

Nó dành cho những người không chuyên hiếu kì muốn tìm kiếm những câu hỏi nhanh đáp gọn và không muốn sa vào nghiên cứu chi tiết các khái niệm và quan điểm toán học.

4. Nó có yêu cầu gì đối với độc giả trẻ tuổi hay không?

Có. Ở đây, độc giả trẻ cần có một chút cái nhìn toán học vượt ngoài cái họ đã học ở trường.

5. Có phải quyển sách này dự định thay thế cho sách giáo khoa không?

Không hề. Mục tiêu là rất khiêm tốn. Đó là thôi thúc độc giả tiếp tục tìm hiểu những vấn đề được trình bày ở đây.

6. Quyển sách này có sức hút đối với nhà toán học hay không?

Một nhà toán học thường bị trói buộc với một lĩnh vực riêng và hạn chế. Quyển sách này sẽ cung cấp cho anh ta một cái nhìn tổng quát của toán học.

Quyển sách này cũng sẽ hỗ trợ anh ta tìm kiếm câu trả lời cho những mơ hồ triết lí trong toán học. Nhân thể, mỗi môn học luôn có những mơ hồ như thế.

7. Quyển sách chia làm ba phần chính. Có cần đọc chúng theo thứ tự hay không?

Không cần thiết. Muốn đọc phần nào trước cũng được.

Cũng không cần thiết đọc tuần tự từng câu hỏi trừ khi chúng thu hút người đọc. Nếu có cái gì đó kém hấp dẫn hoặc không thu hút thì bạn có thể bỏ qua.

Bạn có thể lật lại đọc câu hỏi cũ nếu bạn thấy nó còn hấp dẫn.

8. Tại sao tác giả lại chọn kiểu trình bày hỏi-đáp?

Bởi vì trình bày dài dòng sẽ khiến độc giả phổ thông mau chán, còn dạng hỏi-đáp sẽ giữ được sự chú ý của anh ta.

9. Các câu hỏi tuần tự nhau theo khuôn mẫu gì?

Trong chừng mực logic có thể thôi, nghĩa là một câu hỏi hoặc được đề xuất hoặc phát sinh từ câu hỏi trước đó, hoặc có thể chẳng có liên quan gì.

10. Phong cách trình bày theo kiểu gì?

Các câu trả lời đơn giản, minh bạch và dùng ngôn ngữ dễ hiểu, và càng ngắn gọn càng tốt.

11. Nhưng nếu thỉnh thoảng có những câu trả lời chi tiết không thể tránh khỏi thì sao?

Trong những trường hợp như thế, câu trả lời được chia thành những đoạn nhỏ mà độc giả có thể đọc hết hay không tùy theo khẩu vị và cảm xúc.

12. Yêu cầu căn bản khi đọc quyển sách này là gì?

Yêu thích toán học và những cái liên quan đến toán học.

13. Cần có căn bản toán học gì khi đọc quyển sách này?

Không nhiều. Có kiến thức toán học sơ cấp là đủ.

14. Những chủ đề chính trong chương Hình học là gì?

Bao gồm những chủ đề sau:

(i) Hình học Euclid và những khái niệm có liên quan.

(ii) Hình học Lobachewski và hình học Riemann.

(iii) Hình dạng của Trái đất, không gian và các hạt sơ cấp.

(iv) Hình chiếu.

(v) Hình học tọa độ 2, 3, 4 và n chiều.

(vi) Hình học của không gian màu.

(vii) Hình học hữu hạn.

(viii) Topo học.

(ix) Bài toán Cầu nối Koenigsberg.

(x) Bài toán bốn màu.

(xi) Phương pháp tiên đề trong hình học.

(xii) Chủ nghĩa hình thức Hilbert.

(xiii) Khám phá của Godel.

15. Những chủ đề chính trong chương Đại số là gì?

Bao gồm những chủ đề sau:

(i) Số học trừu tượng.

(ii) Số học lí thuyết số.

(iii) Mở rộng hệ thống số.

(iv) Lí thuyết phương trình đại số.

(v) Lí thuyết phương trình của Galois.

(vi) Các phương trình Diophantine.

(vii) Đại số trừu tượng.

(viii) Lí thuyết nhóm và những vấn đề có liên quan.

(ix) Vành, vector, ma trận, miền nguyên, trường, không gian vector, đại số tuyến tính.

(x) Không gian Hilbert, không gian Banach.

(xi) Đại số Boole.

(xii) Câu nói năm 1901 của Russel.

(xiii) Tập hợp đếm được và tập hợp không đếm được.

(xiv) Giả thiết liên tục.

(xv) Nghịch lí Barber.

(xvi) Nghịch lí Russel.

16. Những chủ đề chính trong chương Giải tích là gì?

Bao gồm những chủ đề sau:

(i) Giải tích và những khái niệm cơ bản của nó.

(ii) Giới hạn của thương, giới hạn của tổng, và giới hạn của chuỗi vô hạn.

(iii) Nghịch lí Zeno về Achilles và con rùa.

(iv) Chuỗi Fibonacci.

(v) Vi phân và đạo hàm.

(vi) Các ứng dụng hằng ngày của cực đại và cực tiểu.

(vii) Bài toán tia sáng của Heron.

(viii) Tổ ong và sai sót của Koenig.

(ix) Đường cong lấp đầy-không gian.

(x) Đạo hàm riêng và điểm yên ngựa.

(xi) Tích phân và các ứng dụng của nó.

(xii) Tích phân Riemann.

(xiii) Tích phân Lebesgue.

(xiv) Chuỗi Fourier.

(xv) Hệ phương trình vi phân.

(xvi) Hệ phương trình Laplace.

(xvii) Hệ phương trình Maxwell.

(xviii) Hệ phương trình tích phân.

(xix) Các hàm biến phức.

(xx) Các hàm giải tích và dòng chất lưu.

(xxi) Khám phá của Zukovskii.

(xxii) Hàm zeta của Riemann.

(xxiii) Giải tích nhiều biến.

(xxiv) Lí thuyết phân bố.

(xxv) Giải tích thực.

(xxvi) Giải tích hàm.

(xxvii) Gần đúng của các hàm.

(xxviii) Toán rời rạc.

(xxix) Toán học lí thuyết và toán học ứng dụng.

(xxx) Giải tích hiện đại.

17. Nên đọc quyển sách như thế nào?

Trước tiên hãy đọc câu hỏi. Nếu bạn nghĩ bạn không biết câu trả lời thì cứ đọc tiếp. Nhưng nếu bạn nghĩ mình có câu trả lời hợp lí thì hãy tạm dừng một chút và đoán xem câu trả lời là gì. Tiếp theo hãy đọc câu trả lời và kiểm tra xem dự đoán của bạn có đúng không. Nếu bạn đúng thì bạn sẽ có một niềm vui nho nhỏ và niềm tin nữa, còn nếu không thì bạn có câu trả lời trong tay rồi.

18. Nội dung quyển sách có xuất xứ từ đâu?

Trong một quyển sách như thế này, thật không thể nào nhớ nổi một quan điểm hay một khái niệm lần đầu tiên tác giả bắt gặp là nằm ở đâu. Tác giả vay mượn các ý tưởng từ nhiều người và nhiều tác giả khác.

19. Tác giả có muốn cảm ơn ai không?

Quyển sách này được xuất bản là nhờ sự quan tâm liên tục của con gái tôi, Kiran Bhatt, và sự cố gắng bền bỉ, không mệt mỏi của tiến sĩ Latika Jha. Họ đáng được cảm tạ đặc biệt. Nhưng tôi không muốn cảm ơn họ. Tôi dành cho họ chỗ đề tặng của bản in lần thứ nhất này của quyển sách.

Tôi đặc biệt cảm tạ đội ngũ biên tập và xuất bản của nhà xuất bản Messrs. ABD, đặc biệt là Shri Gopal vì sự sắc sảo và hợp tác trong khâu thiết kế và in ấn quyển sách.

20. Còn những góp ý cải tiến quyển sách thì sao?

Các phê bình và góp ý cải tiến quyển sách luôn được hoan nghênh.

-- A.L. Audichya

Toán học – Những điều kì thú và những mốc son lịch sử

A.L. Audichya

Trần Nghiêm dịch

"Nguồn: Thuvienvatly.com"

(Phần 2)

Đại số và Các loại đại số

1. Hình học đã được phát triển ở hình thức tiên đề, còn Số học và Đại số thì không. Tại sao vậy?

Nguyên nhân nằm ở nguồn gốc của chúng.

Hình học đã được phát triển bởi người Ai Cập, là kết quả đo đạc đất đai của họ. Vào thế kỉ thứ 7 trước Công nguyên, hình học đã lan truyền từ Ai Cập sang Hi Lạp, nơi nó dần dần phát triển thành một lí thuyết toán học.

Như vậy, hình học là một lí thuyết toán học có nguồn gốc Hi Lạp. Người Hi Lạp đã gắn giá trị lớn cho các chứng minh và vì thế đã phát triển hình học theo hướng tiên đề.

Toán học của những con số của chúng ta có nguồn gốc của nó thuộc về toán học của người Hindu, người Arab và người Babylon.

Họ không quan tâm đến việc đưa ra các chứng minh nên toán học của những con số đã được truyền lại cho chúng ta đơn thuần ở dạng một tập hợp những quy tắc tính toán không liên quan với nhau mấy.

Xu hướng hiện đại là trình bày tất cả các nghiên cứu toán học theo hình thức tiên đề.

2. Ý nghĩa của từ “arithmetic” là gì?

Từ “arithmetic” (sự tính/số học) có nghĩa là “nghệ thuật tính toán” nên bài học ở trường tiểu học của chúng ta là một tập hợp gồm những lời giải của những bài toán đa dạng và các quy tắc tính toán.

Nhưng theo thời gian arithmetic đã biến thành lí thuyết của những con số.

3. Số học là một trừu tượng phải không?

Số học thể hiện những nỗ lực sớm nhất của trí tuệ con người đối với sự trừu tượng.

Như vậy, khi chúng ta nói, 2 + 3 = 5, đó là một phát biểu không phải nói về những vật đặc biệt như cái bút chì hay đồng xu, mà về tất cả những vật có thể đếm được vẫn giữ được nhận dạng riêng của chúng.

Ở đây, bản chất của các vật, tức là chúng là cái bút chì hay đồng xu hay cây cối hay bất kì cái gì khác, dù sống hay không sống, vân vân... không còn liên quan nữa, và phát biểu thành ra đúng theo một kiểu chung chung.

Các con số được đặt tên (một, hai, ba,...) và kí hiệu (1, 2, 3,...) và được sử dụng như những vật cụ thể bền bỉ đến mức chúng ta có xu hướng quên mất rằng chúng ta đang giải quyết các khái niệm chứ không phải các vật cụ thể.

4. Phát biểu 2 + 3 = 5 có đúng cho mọi loại vật hay không?

Không. Nếu các vật không giữ được nhận dạng riêng của chúng, thì phát biểu trên có thể không đúng đối với chúng.

Ví dụ, thêm 2 giọt nước vào 3 giọt nước có thể chỉ tạo ra một giọt nước – một giọt nước lớn.

Tương tự, nếu nhốt 2 con hổ và 3 con thỏ chung một chuồng, thì sau một lúc nào đó có thể ta thấy chỉ còn hai con vật thôi – hai con hổ sẽ ăn thịt 3 con thỏ cùng đường mạt lộ kia.

Một ví dụ nữa, một lực bằng 2 đơn vị và một lực khác bằng 3 đơn vị, hai lực cùng tác dụng vào một vật có thể cho hợp lực bằng bất kì giá trị nào nằm giữa 1 và 5 đơn vị lực tùy thuộc vào góc giữa chúng.

Nếu chúng tác dụng ngược chiều nhau, thì tổng của chúng sẽ bằng một đơn vị, còn nếu chúng tác dụng cùng chiều nhau, thì tổng của chúng sẽ bằng 5 đơn vị.

Tuy nhiên, tổng của chúng sẽ bằng 4 đơn vị nếu góc giữa chúng bằng 75,5 độ.

5. Sự mở rộng khái niệm số có nghĩa là gì?

Những con số đầu tiên gắn liền với những vật cụ thể nên khái niệm số ban đầu hạn chế với chỉ những con số nguyên. Các phân số xuất hiện tự nhiên sau đó và sự ra đời của một kí hiệu cho số không là một sự kiện lớn, còn các số âm được thừa nhận lại là một sự miễn cưỡng lớn.

Những con số như thế gộp chung lại được gọi là số hữu tỉ.

Một lần nữa sự mở rộng này bắt đầu, và đến lượt số vô tỉ và số phức được công nhận.

Một số vô tỉ là con số không thể biểu diễn được bằng thương của hai số nguyên. Ví dụ, √2 là một số vô tỉ.

Số vô tỉ và số hữu tỉ được gọi chung là số thực.

Một số phức là một con số bất kì có dạng a + bi, trong đó a và b là số thực, và i là kí hiệu cho căn bậc hai của trừ một, tức là i² = - 1.

6. Các số siêu việt là gì?

Những số vô tỉ không bằng căn bậc hai của bất kì phương trình đại số nào được gọi là số siêu việt.

e và π là những số như thế.

e = 2,71828...; π= 3,14159...

các dấu chấm ở cuối có nghĩa là chuỗi số không có kết thúc mà kéo dài đến vô tận.

Về các số siêu việt, có một kết quả thú vị do Gelfond chứng minh vào năm 1934 là α^β là siêu việt nếu α là đại lượng đại số khác 0 và khác 1, và β là đại lượng đại số và không phải số hữu tỉ.

Như vậy, 2^√3, 3^√2, 5^√3 là những số siêu việt. Nhưng nếu α và β đều là siêu việt thì không biết α^β có siêu việt hay không. Ví dụ, người ta không rõ e^e, π^π hoặc π^e có là siêu việt hay không.

Tuy nhiên, e^iπ = - 1 là một kết quả rất đẹp.

7. Vì sao đại số được gọi là số học khái quát hóa?

Một ví dụ sẽ làm sáng tỏ.

Ở nhà trường, trẻ em được học rằng nếu lấy bình phương của một con số trừ cho 1, thì nó bằng tích của số liền trước và số liền sau con số đó.

Như vậy, 4² – 1 = (4 + 1) (4 – 1).

5² – 1 = (5 + 1) (5 – 1),

6² – 1 = (6 + 1) (6 – 1).

Rõ ràng mệnh đề trên là đúng nếu ở chỗ 4, 5 hoặc 6, ta thay vào con số bất kì nào khác.

Nếu đưa một kí hiệu mới, ví dụ như x, để biểu diễn một con số bất kì và là một con số không có gì đặc biệt hết, thì mệnh đề trên có thể được viết khái quát như sau

x² – 1 = (x + 1) (x – 1).

Việc đưa thêm vào kí hiệu x là sự khởi đầu của đại số.

8. Sức mạnh của đại số nằm ở đâu?

Đại số có được phần lớn sức mạnh của nó từ việc xử lí bằng kí hiệu với các phần tử, các toán tử và các liên hệ.

Các kí hiệu x, y, z,... được dùng làm các phần tử, phép cộng và phép nhân chủ yếu được dùng làm toán tử, và dấu bằng là liên hệ bình thường kết nối các phần tử.

Như vậy x + x = 2x, và x + y = y + x

cho dù x và y biểu diễn con số nào.

9. Đại số có được khái quát hóa không?

Kí hiệu x, dùng để biểu diễn con số bất kì, có tiềm năng giả định lớn. Trước tiên, nó mang đến các phương trình đại số, cái thống lĩnh địa hạt nghiên cứu lâu đến mức trong khoảng một thế kỉ rưỡi, đại số chỉ là lí thuyết của các phương trình.

Sau này x không chỉ hạn chế là những con số mà nó còn được sử dụng để biểu diễn bất kì thực thể nào khác, và các dấu toán tử cho phép cộng và phép nhân đã được phép mang lại những ý nghĩa mới tùy thuộc vào loại thực thể đang được xét đến.

Vì thế, thực thể xác định ý nghĩa gắn liền với dấu + và ×.

Các vector và ma trận là hai ví dụ quen thuộc của những thực thể như thế. Chúng sẽ được nói tới ở phần sau.

Đây là hình ảnh khái quát hóa của cái đại số ban đầu đại diện.

10. Nó khác như thế nào với hình thức ban đầu của đại số?

Trong đại số sơ cấp, các chữ cái kí hiệu cho những con số bình thường, và các dấu toán tử, ví dụ + và ×, kí hiệu cho phép cộng và phép nhân bình thường. Nhưng ở hình thức khái quát hóa, các chữ cái kí hiệu cho thực thể bất kì nào đó, và dấu của toán tử là bất kì quy tắc kết hợp nào có liên quan đến thực thể.

Toán học – Những điều kì thú và những mốc son lịch sử

A.L. Audichya

Trần Nghiêm dịch

"Nguồn: Thuvienvatly.com"