Solido_semi-infinito

Es conveniente recordar la función y = exp{ - x^2 }, la cual genera la bien conocida "campana de Gauss" que se describe en la teoría de la probabilidad (recordando la base estadística de la Ley de los Grandes Números). El área bajo dicha curva es entonces igual a la unidad.

donde en azul intenso es el área entre los límites de ± 1 sigma {el 68% de los datos}; y entre ± 2 sigma {el 96% de los datos}.

¢ƒ para recordatorio ...

Se define entonces la función Gaussiana 'normalizada' si se considera la integral de [menos]_infinito a [más]_infinito:

donde sigma es la desviación estándar. Se prescribe además la siguiente integral definida:

Se tiene entonces la definición de la función de Error como el área bajo la curva 'normalizada' de Gauss de 0_∫ ^x:

Las funciones previas se pueden apreciar en la gráfica:

donde en { verde } se ha graficado la función complementaria de Error: erfc x = 1 - erf x

Los valores de dicha función están generalmente 'tabulados' en diversos textos, y su gráfica se representa como,

Es importante recordar estas bases matemáticas de la función de Error, ya que permite mejor comprender la solución de la Ec. de Fourier que se aplica a un Sólido Semi-infinito con el cambio de variable que permite 'transformar' la ecuación diferencial parcial (para las dos variables de tiempo y distancia) en una ecuación diferencial ordinaria, cuya solución es justamente la función de Error.