Conduccion

Ley de Fourier

La conducción es el transporte de energía térmica debido a las interacciones a nivel molecular provocadas por una distribución no homogénea de temperatura. El medio en que ocurre generalmente se considera como un cuerpo homogéneo e isotrópico, ya sea éste un sólido o fluido, y la tasa de transferencia de calor (en Watts) se puede caracterizar por el flujo de calor (en Watts por metro cuadrado) en función del campo de temperatura que prevalece:

Esta relación conocida como la Ley de Fourier fue presentada de manera independiente por Jean Baptiste Biot (1816) y Joseph Fourier (1824).

Se han realizado mediciones muy precisas que confirman la validez de esta ley, y el factor de proporcionalidad entre el flujo de calor y el gradiente de temparatura es la conductividad térmica: k [W/m K]. Esta propiedad física de los materiales generalemente se considera constante, pero su valor depende de la temperatura, diminuyendo en los sólidos y aumentando en los gases.

En combinación con otras propiedades físicas de los materiales se obtiene la difusividad térmica,

y el coeficiente de penetración de calor, también llamado efusividad térmica,

este coeficiente determina la cantidad de calor que penetra en un cuerpo en un intervalo de tiempo cuando la temperatura en la superficie se incrementa súbitamente; por ello la sensación diferente al tocar madera o metal con la misma temperatura [valores de b de 400 y 15,000 (Fe), respectivamente].

Ecuación de Fourier

La ecuación de Fourier, también conocida como la ecuación del flujo de calor, resulta de la ecuación de conservación de la energía, que en el caso de los sólidos no existe una velocidad del medio y entonces el término advectivo es nulo, con los términos de transitorio, diffusivo y de fuente/sumidero:

donde el término de generación (i.e. fuente volumétrica) q' [W/m^3] puede ser de origen eléctrico, químico, biológico o nuclear (en caso de sumidero de calor el signo es negativo).

Para resolver esta ecuación diferencial parcial de acuerdo con la geometría, se deben prescribir las condiciones de frontera e inicial. Esto es el campo T(x,y,z,t) se especifica en la "pared = wall" en el instante t=0. Estas condiciones de frontera [CF] son de tres tipos:

CF del Primer Tipo se prescribe una temperatura constante en la pared

e.g. puede ser una función periódica,

CF del Segundo Tipo se prescribe un flujo de calor constante

e.g. puede ser una resistencia eléctrica en la superficie, o bien un flujo radiativo.

De la Ley de Fourier,

donde n es la normal a la pared cuyo signo es positivo hacia el interior del sólido. En el caso de una pared adiabática (aislamiento térmico) el flujo es nulo y entonces el perfil de temperatura es normal a dicha superficie.

CF del Tercer Tipo considera un flujo de calor por convección i.e. la llamada ley de enfriamento de Newton que fue realmente propuesta por Fourier,

Considerando la Ley de Fourier, esta última ec. se puede escribir como,

lo que permite visualisar la pendiente en la pared del perfil de la temperatura del sólido para cualquier instante de tiempo.

Estado Permanente, 1-D

En estado permanente el término transitorio es nulo, y sin fuentes o sumideros de calor se tiene entonces la ec. de Laplace,

que para el caso uni-dimensional se puede expresar en forma compacta con,

donde r es la coordenada espacial i.e. x para una placa y el radio para un cilíndro o esfera, y n = 0,1, o bien 2 para placa, cilíndro o esfera, respectivamente.

Las condiciones de frontera del primer tipo se prescriben en la interna y externa del sólido,

en el caso de una placa el espesor es δ = r_e − r_i

La solución a la ec. de Laplace es entonces para placa, cilíndro y esfera:

y los flujos de calor respectivos son entonces,

Ecuaciones de Peclet

donde se define el coeficiente global de transferencia de calor U como,

Para el caso de múltiples capas {m} con su respectivo valor de conductividad térmica, las expresiones para placas, cilíndros y esferas son, respectivamente:

Estado Permanente, 1-D con Fuentes de Calor

En estado permanente el término transitorio es nulo, y considerando que existen fuentes o sumideros de calor se tiene entonces la ec. de Poisson,

que para el caso uni-dimensional se puede expresar en forma compacta con,

Las condiciones de frontera son, por simetría en el centro (r= 0),

y en la superficie externa (r= R) la condición del tercer tipo,

La solución arroja el perfil de temperatura,

y en la superficie { Attn! en la siguiente ec. k ¬> h },

y la diferencia entre las dos anteriores arroja,

En ciertos casos no es factible prescribir la intensidad de la fuente de calor q' , pero sí el flujo de calor en la pared de la superficie externa q_w ; y como el balance energético implica que,

entonces sustituyendo el valor de V/A de la tabla en las ecs. anteriores se obtiene para las tres geometrías,

Superficies Extendidas

Al aplicar el concepto de la "Ley de enfriamiento de Newton",

sobre un elemento diferencial dx en la dirección longitudinal x, con un área de sección a y longitud perimetral p, el balance de energía sobre una superficie extendida (aleta) arroja,

y considerando la Ley de Fourier, así como una temperatura de referencia nula:

donde m corresponde a (attn! A~a es el área de sección transversal de la aleta ):

que es la dimensión de longitud recíproca. La solución general de la ecuación diferencial es:

cuyas constantes de integración, C₁ y C₂ , se determinarán para satisfacer las condiciones de frontera. En x=0 tenemos T=T₀ , donde T₀ es la temperatura de pared. La cantidad de calor que abandona el área de la sección a en x=L no puede ser despreciada por varias razones. Esto se debe no sólo al hecho de que a es pequeña comparada con pL, sino también porque la distribución de la temperatura en esa región se ha vuelto constante considerablemente.

Tenemos entonces:

Con esto, convertimos la solución de la ecuación diferencial para que de:

El exceso residual de temperatura al final de la aleta en x=L es:

y la transferencia de calor en x=0 se convierte en:

La razón de temperaturas T/T₀ se grafica versus x/L en la siguiente figura con mL como parámetro. Obsérvese que el rango útil está limitado en el intervalo de mL=1 a 1.5, aproximadamente.

La aleta con mL=0.5 es demasiado corta debido que en su extremo, el exceso de temperatura equivale a un 89% de aquella en la raíz.

La aleta con mL=5 o 7 es demasiado larga, debido a que poco calor es disipado sobre algo como la mitad de su longitud, por eso la caída considerable de exceso de temperatura.

En caso de una aleta infinita con T=0 en x=infinito, la solución de la ecuación diferencial resulta en:

En este caso, la transferencia de calor en x=0 es:

La función representada por la ecuación de T / T_o , se muestra en línea de trazos en la figura previa considerando mL=2 : puede ser usada como una aproximación para aletas de longitud infinita, que es válida para valores bajos de x/L siempre y cuando mL no sea muy pequeña.

El calor transferido Q_0 en x=0 calculado de la ecuación antepenúltima puede ser comparado con:

la cual prevalece cuando no hay una superficie extendida, o, alternativamente, la cantidad:

la cual existiría si se desarrollara un perfil de temperatura constante a través de la aleta, por ejemplo, en el caso de que k tienda a infinito. Por otro lado, una comparación se puede hacer con la tasa de calor Q_0 que tiende a infinito, de la ecuación antepenúltima. Esto lleva a la formulación de tres diferentes formas de efectividad de la aleta:

La primera expresión con subíndice w caracteriza el incremento (o bien un decremento) del flujo de calor inducido por la superficie extendida; la segunda con subíndice k representa la conductividad limitada del material; y la última con subíndice infinito representa el efecto de longitud limitada de la aleta.

La siguiente figura ayuda a visualizar la variación de temperatura o bien efectividad de las ecuaciones arriba descritas: