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Apuntes de geometría:
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✏️ Postulados de Euclides
✏️ Postulados de Euclides
Comenzamos el estudio de la Geometría Analítica, que combina el álgebra con la geometría, permitiéndonos representar figuras y relaciones espaciales mediante ecuaciones y coordenadas. Pero antes de adentrarnos en lo "analítico", es esencial recordar los cimientos de la geometría clásica: los Postulados de Euclides.
Euclides, matemático griego del siglo III a.C., estructuró la geometría de manera deductiva en su obra Los Elementos. Partió de conceptos primitivos (punto, recta, plano) que no se definen, pero cuya naturaleza se precisa mediante axiomas o postulados: verdades evidentes que se aceptan sin demostración y a partir de las cuales se deduce todo lo demás.
Postulado 1: Por dos puntos distintos pasa una única recta
Postulado 1: Por dos puntos distintos pasa una única recta
Esto nos permite determinar completamente una recta con solo dos de sus puntos. En el plano cartesiano, este postulado se traduce en que dos puntos (x₁, y₁) y (x₂, y₂) determinan una única ecuación lineal.
Postulado 2: Un segmento rectilíneo puede prolongarse indefinidamente
Postulado 2: Un segmento rectilíneo puede prolongarse indefinidamente
Es decir, cualquier segmento es parte de una recta infinita. Este postulado permite la noción de rectas infinitas en el plano, fundamentales para la geometría analítica donde trabajamos con ecuaciones lineales que se extienden infinitamente.
Postulado 3: Se puede trazar una circunferencia con cualquier centro y cualquier radio
Postulado 3: Se puede trazar una circunferencia con cualquier centro y cualquier radio
Introduce la posibilidad de trabajar con distancias fijas (el radio) y curvas. En geometría analítica, este postulado se manifiesta en la ecuación de la circunferencia: (x - h)² + (y - k)² = r², donde (h, k) es el centro y r el radio.
Postulado 4: Todos los ángulos rectos son iguales
Postulado 4: Todos los ángulos rectos son iguales
Establece un patrón universal de medida angular. Este postulado garantiza la consistencia en la medición de ángulos en todo el plano, permitiendo definir conceptos como perpendicularidad y paralelismo de manera uniforme.
Postulado 5: El postulado de las paralelas
Postulado 5: El postulado de las paralelas
Formulación original: "Si una recta, al incidir sobre otras dos, forma ángulos internos de un mismo lado menores que dos rectos, esas dos rectas, prolongadas indefinidamente, se cortan en el lado en el que están los ángulos menores que dos rectos".
Con el tiempo, se reformuló de manera más intuitiva: "Por un punto exterior a una recta pasa una única paralela a dicha recta" .
El quinto postulado y las geometrías no euclidianas
El quinto postulado y las geometrías no euclidianas
El quinto postulado es famoso por su complejidad en comparación con los otros cuatro. Durante siglos, los matemáticos intentaron demostrarlo a partir de los otros cuatro, sin éxito. En el siglo XIX, se descubrió que negando este postulado se pueden construir geometrías consistentes pero diferentes: las geometrías no euclidianas.
En la geometría esférica (como en la superficie de una esfera), no hay paralelas por un punto exterior, y la suma de los ángulos de un triángulo es mayor a 180°.
En la geometría hiperbólica, existen infinitas paralelas y la suma de los ángulos de un triángulo es menor a 180°.
Esto nos enseña que la geometría euclidiana, aunque muy intuitiva en nuestro entorno plano, es solo un caso particular de sistemas geométricos más generales.
En nuestro estudio de la geometría analítica plana, trabajaremos en el marco de la geometría euclidiana, donde el quinto postulado es válido. Gracias a estos cinco postulados, podemos construir un sistema completo: definir distancias, ángulos, paralelismo y, finalmente, representar rectas y curvas mediante ecuaciones en el plano cartesiano.
Entender estos fundamentos nos ayuda a apreciar el poder del método axiomático y la profunda relación entre la intuición espacial y el razonamiento lógico-matemático.
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