SM Exposés 2019-2020

Résumé : Étant donnée une variété sur un corps de nombres, on peut chercher à comprendre comment ses points rationnels se distribuent par rapport aux points locaux de la variété. Dans le cas de certains espaces homogènes, on peut montrer que ces questions sont équivalentes à un problème purement arithmétique (le problème de Grunwald) et ont des applications au problème de Galois inverse.

Dans cet exposé, je commencerai par définir différentes notions d'approximation (faible, très faible) ainsi que l'obstruction de Brauer-Manin à l'approximation faible, puis j'énoncerai une méthode de fibration due à David Harari (avec ébauche de démonstration). Comme application, on verra comment cette méthode de fibration permet de répondre au problème de Galois inverse pour certaines familles de groupes.

Abstract : The study of representations of $p$-adic Lie groups on vector spaces over fields of characteristic $p$ is driven by the $p$-adic and mod-$p$ Langlands programs recently. In this talk, I will introduce the basic theory of mod-$p$ representations and classification results for $\text{GL}_2(\mathbb{Q}_p)$. I will also give some reasons why the classification results as well as mod-$p$ Langlands correspondence for $\text{GL}_2(\mathbb{Q}_p)$ haven't been generalized to general groups, even for general $\text{GL}_2$. One result is that any smooth irreducible supersingular representation with central character of $\text{GL}_2(F)$ is never of finite presentation when $F$ is a finite field extension of $\mathbb{Q}_p$ such that $F\neq \mathbb{Q}_p$.

Abstract : A famous conjecture by Shfarevich in his ICM report stipulates that a smooth fibration of compact algebraic curves of genus at least 2 over a non hyperbolic curve is necessarily isotrivial, namely any two fibers are isomorphic. In this talk, I will explain how to formulate this conjecture for an arbitrary smooth fibration of complex manifolds, and survey the recent progress on these questions.

Abstract : The algebra of differential invariants of parabolic surfaces under SA_3(R) action with non-vanishing Pocchiola's 4-th invariant W is shown to be generated, through invariant differentiations, by only one other invariant M, of order 5, having 57 differential monomials. The proof is based on Fels-Olver's recurrence formulas, pulled back to the parabolic jet bundles. The method can be generalized to jet bundles subjected to arbitrary differential relations.