SM Exposés 2012-2013
No. SM-82 17/11/2012 14:00 ~ 16:00 Salle U/V
On finite generation of algebraic K-groups of algebraic curves (I)
SUN Fei (孙飞), Université Paris 6
In these two talks, I will explain my on-going project on the studying of the finite generation of K-groups of algebraic curves. I will first give a brief introduction to the background which includes the definition of Quillen's Q-construction and higher algebraic K-theory, and Quillen's result on the finite generation of K-groups over a Dedekind domain (under certain conditions). During his proof, Quillen constructed a spectral sequence by using the homotopy fiber of the Q-filtration. According to Bruno Kahn, we can re-interpret this spectral sequence on constructing a rank spectral sequence whose E1-terms coincide with E2-terms of Quillen's spectral sequence (with degree shifts). I will give the construction of rank spectral sequence which, on contrary to Quillen's idea, consider the homotopy cofiber of the Q-filtration. Then, I will show how to calculate the d^1-differential of the rank spectral sequence by exploring the relations between Steinberg modules, modular symbols and Nesterenko-Suslin-Van der Kallen's simplicial complexes. (Hopefully), the d^1-differential will lead us to obtain the rank of K-groups of smooth algebraic curves (both over a finite field and over a number field), which unifies the calculation of Borel and Harder.
No. SM-83 24/11/2012 14:00 ~ 16:00 Salle U/V
On finite generation of algebraic K-groups of algebraic curves (II)
SUN Fei (孙飞), Université Paris 6
In these two talks, I will explain my on-going project on the studying of the finite generation of K-groups of algebraic curves. I will first give a brief introduction to the background which includes the definition of Quillen's Q-construction and higher algebraic K-theory, and Quillen's result on the finite generation of K-groups over a Dedekind domain (under certain conditions). During his proof, Quillen constructed a spectral sequence by using the homotopy fiber of the Q-filtration. According to Bruno Kahn, we can re-interpret this spectral sequence on constructing a rank spectral sequence whose E1-terms coincide with E2-terms of Quillen's spectral sequence (with degree shifts). I will give the construction of rank spectral sequence which, on contrary to Quillen's idea, consider the homotopy cofiber of the Q-filtration. Then, I will show how to calculate the d^1-differential of the rank spectral sequence by exploring the relations between Steinberg modules, modular symbols and Nesterenko-Suslin-Van der Kallen's simplicial complexes. (Hopefully), the d^1-differential will lead us to obtain the rank of K-groups of smooth algebraic curves (both over a finite field and over a number field), which unifies the calculation of Borel and Harder.
No. SM-84 1/12/2012 14:00 ~ 16:00 Salle U/V
La formule de localisation de Bott et la démonstration formelle du théorème d'Atiyah-Singer (I)
ZHANG Yeping (张野平), Université Paris 11
Je vais d'abord expliquer la formule de localisation de Bott. Soient M une variété différentielle orientée compacte munie d'une action du groupe S^1 et K le champs de vecteurs associé à un élément non nul de l'algèbre de Lie de S^1. On note M_0 l'ensemble des points fixes qui est une sous variété différentielle. On considère les formes différentielles invariantes sous l'action de S^1 et leur cohomologie associée à l'opérateur d+i_K, appelée la cohomologie équivariante. Dans ce cas, on a une formule de localisation : l'intégrale sur M d'un élément de la cohomologie équivariante est déterminée par une intégration sur M_0.
Soit M une variété munie d'un module de Clifford. En appliquant formellement la formule de localisation de Bott sur l'espace des lacets de M qui peut être vu comme une variété de dimension infinie, on trouve une 'démonstration formelle' du théorème de Atiyah-Singer. Formellement, l'indice d'un opérateur de Dirac est l'intégrale d'une forme sur l'espace des lacets qui admet une action naturelle de S^1 sous laquelle la forme que l'on intègre est invariante. De plus, on a une injection naturelle de M dans son espace des lacets dont l'image est exactement l'ensemble des points fixes. Alors on peut 'appliquer' la formule de localisation de Bott pour exprimer l'indice de l'opérateur de Dirac comme une intégrale sur M. Cette idée originale est due à Witten. Malgré du fait que la forme qu'il a construit formellement n'a pas de sens mathématique, la conclusion est vraie : on retrouve bien le théorème d'Atiyah-Singer.
Jusqu'à maintenant on ne sait pas si le succès de l'argument formel de Witten est un hazard. Il est possible qu'il existe un nouveau cadre dans lequel l'argument de Witten a bien un sens mathématique. Ce problème reste ouvert.
No. SM-85 8/12/2012 14:00 ~ 16:00 Salle U/V
La formule de localisation de Bott et la démonstration formelle du théorème d'Atiyah-Singer (II)
ZHANG Yeping (张野平), Université Paris 11
Je vais d'abord expliquer la formule de localisation de Bott. Soient M une variété différentielle orientée compacte munie d'une action du groupe S^1 et K le champs de vecteurs associé à un élément non nul de l'algèbre de Lie de S^1. On note M_0 l'ensemble des points fixes qui est une sous variété différentielle. On considère les formes différentielles invariantes sous l'action de S^1 et leur cohomologie associée à l'opérateur d+i_K, appelée la cohomologie équivariante. Dans ce cas, on a une formule de localisation : l'intégrale sur M d'un élément de la cohomologie équivariante est déterminée par une intégration sur M_0.
Soit M une variété munie d'un module de Clifford. En appliquant formellement la formule de localisation de Bott sur l'espace des lacets de M qui peut être vu comme une variété de dimension infinie, on trouve une 'démonstration formelle' du théorème de Atiyah-Singer. Formellement, l'indice d'un opérateur de Dirac est l'intégrale d'une forme sur l'espace des lacets qui admet une action naturelle de S^1 sous laquelle la forme que l'on intègre est invariante. De plus, on a une injection naturelle de M dans son espace des lacets dont l'image est exactement l'ensemble des points fixes. Alors on peut 'appliquer' la formule de localisation de Bott pour exprimer l'indice de l'opérateur de Dirac comme une intégrale sur M. Cette idée originale est due à Witten. Malgré du fait que la forme qu'il a construit formellement n'a pas de sens mathématique, la conclusion est vraie : on retrouve bien le théorème d'Atiyah-Singer.
Jusqu'à maintenant on ne sait pas si le succès de l'argument formel de Witten est un hazard. Il est possible qu'il existe un nouveau cadre dans lequel l'argument de Witten a bien un sens mathématique. Ce problème reste ouvert.
No. SM-86 5/1/2013 14:00 ~ 16:00 Salle U/V
Swan Conductors
HU Haoyu (胡昊宇), Nankai University
In this talk, I will begin by the definition of classical swan conductor and the theorem of semi-continuity of swan conductor on relative curves. Then I will give Kato’s generalization of this theorem by given an interesting definition of swan conductors over the local fields with special imperfect residue fields. If time permits, I would give the definition of Abbes-Saito filtrations of absolute galois groups of local fields.
No. SM-87 12/1/2013 14:00 ~ 16:00 Salle U/V
Slope Method and its Application (I)
LIU Chunhui (刘春晖), Université Paris 7
In these two lectures, I will introduce the slope method in Arakelov geometry developed by J. B. BOST. I would like to talk about its application to the point-counting problem due to Huayi CHEN if time permits.
No. SM-88 26/1/2013 14:00 ~ 16:00 Salle U/V
Slope Method and its Application (II)
LIU Chunhui (刘春晖), Université Paris 7
In these two lectures, I will introduce the slope method in Arakelov geometry developed by J. B. BOST. I would like to talk about its application to the point-counting problem due to Huayi CHEN if time permits.
No. SM-89 2/2/2013 14:00 ~ 16:00 Salle U/V
Périodes des connexions et revêtements cycliques
Javier FRESÁN, Université Paris 13
Classiquement, les périodes d'une variété algébrique X sont des intégrales de formes différentielles sur des cycles ou, dans un langage plus savant, les coefficients de l'isomorphisme de comparaison entre la cohomologie de de Rham algébrique et la cohomologie de Betti par rapport à des bases rationnelles. Cette construction peut être étendue aux fibrés vectoriels sur X, munis d'une connexion à singularités régulières et d'une structure rationnelle, en remplaçant le complexe de de Rham usuel par celui défini par la connexion et la cohomologie de Betti par la cohomologie à valeurs dans le système local des sections horizontales. Deligne a exploré l'analogie entre le déterminant d'un tel isomorphisme et les constantes des équations fonctionnelles des fonctions L. En particulier, il a conjecturé l'existence d'une formule locale-globale permettant de calculer ce déterminant purement en termes des singularités de la connexion, ce qui a été démontré par Saito et Terasoma à la fin des années 90. Dans cet exposé j'expliquerai leur formule et j'illustrerai comment elle permet de démontrer certaines conjectures de nature arithmétique pour une classe de structures de Hodges construites à partir de revêtements cycliques.
No. SM-90 9/2/2013 10:00 ~ 12:00 Salle U/V
Motifs classiques, exemples.
Giuseppe ANCONA, Université Paris 13
On associe à chaque variété projective et lisse ses groupes de cohomologie de Betti ou l-adique (pour chaque premier l). Les motifs "classiques" (ou purs) ont deux buts, liés entre eux: d'une part donner une interprétation géométrique de ces groupes de cohomologie et d'autre part montrer des phénomènes communs à ces groupes (par exemple les questions d'indépendance du premier l). Dans cet exposé on introduira les motifs de la manière plus concrète possible et avec des exemples. On parlera surtout des théorèmes (inconditionnels!) connus.
No. SM-91 16/2/2013 14:00 ~ 16:00 Salle U/V
The Hodge-Tate decomposition for abelien varieties over p-adic fields
XU Daxin (许大昕), ENS
Tate asked if a similar result of Hodge decomposition could hold for the p-adic etale cohomology of a proper and smooth variety over a complete discrete valuation field K of characteristic 0 and perfect residue field of characteristic p > 0. He established a "Hodge-like" decomposition, called Hodge-Tate decomposition, for the abelien varieties with good reduction over K, after extending the scalars to the p-adic completion of an algebraic closure of K. In 1988, Faltings proved a more general result. In this talk, we will present a proof, following Fontaine, of the Hodge-Tate decomposition for abelian varieties over p-adic field.
No. SM-92 23/2/2013 14:00 ~ 16:00 Salle U/V
Homotopy type of p-adic analytic spaces
YU Yue (余越), ENS
P-adic numbers give us the feeling of being totally disconnected, so how shall we understand geometric objects over such fields? In the 60's, Tate remedied it by using the language of Grothendieck topology to artificially restrict to so-called admissible opens and admissible coverings. Nevertheless, the theory seemed still remote to our perception, until late 80's, Berkovich discovered the hidden points in Tate's geometry and gave the theory a more geometrical and intuitive flavor. In this student seminar, I will explain in detail, after Berkovich, what does a special class of p-adic analytic spaces look like, by exhibiting their homotopy type. If time permits, I will show how this leads to a better understanding of the geometry of curves.
No. SM-93 2/3/2013 14:00 ~ 16:00 Salle U/V
l'équation de Monge-Ampère
YU Yue (余越), ENS
Cet exposé sera largement indépendant de mon exposé précédent. Je parlerai l'équation de Monge-Ampère et son analogue non-archimedien.
No. SM-94 9/3/2013 14:00 ~ 16:00 Salle U/V
Classical topics on modular forms
LIN Jie (林洁), ENS
In this talk, I would like to introduce the theory of modular forms and some interesting problems:
(1) Kronecker Jungendtraum. We know that the maximal abelian extension of Q is characterized by roots of unity, i.e. the values of the function e^{2\pi i x} on Q. Kronecker Jungendtraum is such a dream: for an arbitrary extension, can we characterize its maximal abelian extension by values of a transcendental function? For a CM field, we know that the answer is yes, and the function is the j function. We can therefore deduce an explanation for why e^{\pi\sqrt(163)} is almost an integer.
(2) The classical Ramanujan conjecture. We put \Delta=q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}. It is a power series highly related to the ancient partition number problem. Ramanujan had conjectured that its coefficients were O(n^{11/2}). I would like to introduce the Ramanujan conjecture for modular forms and prove the simplest case (weight 2).
(3) The modularity theorem and Fermat's last theorem. The modularity theorem claims that the elliptic curves over Q is related to a modular form of weight 2. Wiles proved this theorem for semi-stable case which is enough to get the Fermat's last theorem. Breuil, Conrad, Diamond and Taylor proved the general cases. I would like to introduce the basic definitions and explain how the modularity theorem implies the Fermat's last theorem.
I would like to organize a groupe de travail on the modularity theorem from the end of February. If you are interested, welcome to join us! (jie.lin@ens.fr)
No. SM-95 16/3/2013 14:00 ~ 16:00 Salle U/V
On some local-global compatibility in the p-adic local Langlands programme for GL_2(F)
DING Yiwen (丁一文), Université Paris 11
Firstly, I will introduce a little on p-adic Langlands correspondence for GL_2(Qp). Then we move to the setting of a finite unramified extension F of Qp. In this case, such a correspondence (if exists!) is still mysterious. On the other hand, in "Remarks ... in the crystalline case", to a crystalline representation \rho of dimension 2 of Gal(\bar{Q_p}/F), Breuil associates a locally Qp-analytic representation \Pi(\rho) of GL_2(F). And he conjectures (in the same paper) that if this \rho is from a Hilbert eigenform, then \Pi(\rho) will occur together with \rho in the p-adically completed cohomology of the tower of certain Shimura curves. In this talk, we will show that it holds for a piece of \Pi(\rho), following the method of Breuil-Emerton. After some base change argument, we focus on p-adic theory of modular forms over unitary Shimura curves. The motivation is to get similar "overconvergent companion forms" result as in Breuil-Emerton. We will also talk a little on eigenvarieties, and explain how to get the "local-global compatibility" from those companion forms.
No. SM-96 6/4/2013 14:00 ~ 16:00 Salle U/V
Autour d'un critère de densité du lieu de Noether-Lefschetz
LIN Hsueh-Yung(林學庸), École Polytechnique
étant donnée une famille de surfaces projectives lisses, le lieu de Noether-Lefschetz est l'ensemble des points de la base au-dessus desquels les surfaces possèdent des courbes autres que les sections hyperplanes. Ce lieu a deux allures complémentaires : d'une part, il a un nombre au plus dénombrable de composantes irréductibles (indexées par les polynômes de Hilbert) et d'autre part, il arrive très souvent que ses composantes irréductibles sont des fermés algébriques stricts; d'où l'intérêt du titre de cet exposé. Le critère de densité dont je parlerai (dû à Mark Green) a par ailleurs de nombreuses applications remarquables. Entre autres, cela nous permet de montrer que:
1) Les surfaces compactes kählériennes sont "approximables" par les surfaces projectives lisses (conjecture de Kodaira en dimension 2);
2) En dimension 3, la conjecture de Hodge entière de degré 4 est vraie pour les variétés de Calabi-Yau et les variétés uniréglées;
3) Le groupe de Griffiths d'une variété de Calabi-Yau générale de dimension 3 n'est pas de type fini.
Dans cet exposé, afin d'énoncer le critère, je rappellerai la définition du lieu de NL et la variation (infinitésimale) de structures de Hodge. Ensuite je parlerai du critère de densité du lieu de NL dû à Green, des grandes lignes de sa preuve, et quelques applications mentionnées ci-dessus.
No. SM-97 13/4/2013 14:00 ~ 16:00 Salle U/V
Equidistribution in supersingular Hecke orbits
Arno KRET, Université Paris 11
We prove that certain sequences of Hecke operators act with equidistribution in the basic stratum of some simple Shimura varieties, in cases where this basic stratum is finite. The talk will be roughly on the level of an M2 student, I will try to give a lot of examples and motivation.
No. SM-98 20/4/2013 14:00 ~ 16:00 Salle U/V
Motifs et théorie de Galois des périodes: l'exemple des multi-zêtas
Clément DUPONT (克雷芒.乔), Université Paris 6
Cet exposé est une introduction à la (très conjecturale) théorie de Galois des périodes. Les périodes forment une famille de nombres complexes qui contient les nombres algébriques, et la théorie des motifs prévoit une extension de la théorie de Galois classique à ces nombres.
On expliquera notamment en détails la théorie de Galois des multi-zêtas, à-travers les travaux de Goncharov, Deligne, et Brown.
No. SM-99 27/4/2013 14:00 ~ 16:00 Salle U/V
Introduction aux variétés de Shimura (sur \C)
GAO Ziyang (高紫阳), Université Paris-Sud
Dans cet exposé, je vais introduire la théorie des variétés de Shimura:
(1) Rappel de la théorie de Hodge, condition (\alpha), (\beta), (\gamma) de Deligne;
(2) Données de Shimura, quelques exemples;
(3) Variétés de Shimura, quelques exemples et interprétation modulaire;
(4) Si le temps le permet, je voudrais aussi parler des variétés de Shimura mixtes.
No. SM-100 18/5/2013 14:00 ~ 16:00 Salle U/V
Introduction to the local-global principle
LIANG Yongqi (梁永祺), Université Paris 7
I am going to give a short introduction to problems on the local-global principle. Several approaches will be discussed and some recent progress will be mentioned.
No. SM-101 1/6/2013 14:00 ~ 16:00 Salle U/V
La suite spectrale de coniveau et motifs
JIN Fangzhou (金方舟), ENS
La filtration par le coniveau est une filtation de nature arithmétique sur les groupes de cohomologie, qui joue un role essentiel dans les conjectures les plus célèbres sur les cycles algébriques, à savoir celles de Hodge et de Tate. Selon Grothendieck, cette filtration provient d'une suite spectrale naturelle, que l'on appelle la suite spectrale de coniveau maintenant, après les travaux importants de Bloch-Ogus. Dans cet exposé on étudie d'abord cette suite spectrale dans le cadre classique de cohomologie étale, avant de la généraliser à la catégorie de motifs mixtes de Voevodsky.