Cudze

• Idź za sercem, biorąc ze sobą swój mózg – mądrość z kubka.

• Umysł jest jak spadochron – musi być otwarty, żeby działał. Z drugiej strony nie można przesadzić z tym otwarciem, żeby rozum nie wypadł.

• Mowa jest srebrem, milczenie – złotem, a słuchanie – diamentem. Ostatni dopisek jest mój lub kogoś ze znajomych, kto twierdzi, że był pierwszy.

• Chyba umiem się przyznać do błędu, ale nie wiem, mogę się mylić – Leszek Kołakowski odpowiadający Agnieszce Holland.

• Nie wierz we wszystko w Internecie – Albert Einstein.

• Nie ma nic bardziej praktycznego niż dobra teoria. Przeciwstawianie tego sobie to populizm, podobnie jak kontrastowanie słów i czynów. Starożytna religia zoroastryzmu – bardziej wpływowa niż znana – nakazuje dobre myśli, słowa i czyny, właśnie w tej kolejności. Mądrość ludowa każe się zastanowić przed powiedzeniem czegoś i przed zrobieniem, a powiedzenie czegoś chyba pomaga w przemyśleniu – o czym dalej.

• Matematyka to sztuka nazywania różnych rzeczy w ten sam sposób – Henri Poincaré. Lubię dodawać komentarz: to też sztuka nazywania tej samej rzeczy na różne sposoby. Możliwe, że tę myśl zaszczepił mi Terry Tao przez swojego bloga.

• Istnieć to być postrzeganym – George Berkeley. Jeszcze bardziej się zgadzam z twierdzeniem odwrotnym: być postrzeganym to istnieć. Nie lubię nadużywania słowa „iluzja” w kontekście fizyki; czasem się słyszy, że czas jest iluzją, że jakiś ruch, siły bezwładne albo efekty relatywistyczne są pozorne; w kontekście zasady holograficznej mawia się o iluzoryczności całego Wszechświata. Nie wiem, co to znaczy – pewne rzeczy istnieją co najmniej jako fenomeny. W podobnym duchu chyba się wypowiadał Andrzej Dragan – o podstawowych przedmiotach fizyki jak czas czy masa nie wiadomo do końca, czym są, ale chyba można śmiało powiedzieć, że są – inaczej trudno byłoby je badać.

• Szereg cytatów z Władysława Bartoszewskiego:

  • Na wojnie bałem się Polaków bardziej niż Niemców.

  • Państwa podziemne wychodzą Polakom lepiej niż te niepodległe.

  • Przeżyłem Hitlera i Stalina, to przeżyję też prawdziwych Polaków.

  • Kocham ten naród, nawet jak mnie do cholery doprowadza.

• How People in Science See Each Other – jeden z ważniejszych memów, jakie widziałem jako nastolatek, obok wykresu PhD Comics ambicji od czasu; link w odpowiedniej sekcji.

Moje

• Konsekwencja królową zasad – powtarzam to najpóźniej od 2017, co jest uwiecznione w Internecie, i nie znalazłem tego nigdzie indziej w Google, czyli to chyba moje. Niekonsekwencja jest zła, bo wprowadza arbitralność – brak racji dostatecznej.

• Zrozumieć to znaczy umieć to wyjaśnić drugiemu człowiekowi i maszynie, a w matematyce to jeszcze mieć wrażenie, że samodzielnie by się na to wpadło. To moja synteza trzech maksym, które słyszałem od innych.

  • Pierwszą chętnie przytaczał Richard Feynman i powtarza to jego uczeń Leonard Susskind; chyba najbardziej znany, a może i najważniejszy. Nauczanie bywa nazywane techniką Feynmana uczenia się – moim zdaniem to trochę zbyt szumne, tak jakby odkrył to Feynman, a nie np. Euler, Gauss czy Cauchy, którzy byli arcypłodnymi dydaktykami i trudno to oddzielić od ich badań. Korzeni można też szukać u Newtona; ponoć był niechętnym i niepopularnym wykładowcą, ale jego opus magnum, jakim są Principia, to próba systematycznego wykładu wzorowana na Elementach Euklidesa. Być może marudzę przez swoje żale do Feynmana. Tak czy owak poręczam za tę poradę – jestem zapalonym wikipedystą, okazjonalnym popularyzatorem i aspirującym podręcznikotwórcą (enchirydografem?) właśnie przez to, ile to mi już dało.

  • Drugą definicję zrozumienia widziałem jako nastolatek na stronie konkursu informatycznego Pollogia, chyba już nieistniejącej. Dopiero na studiach zacząłem w pełni rozumieć dzielenie pisemne, bo komputerowi trudno rozkazać zgadywanie – ale na szczęście nie przeszkadza mu żmudność wielokrotnego odejmowania. Mam wrażenie, że studia matematyczne dość rzadko, może za rzadko wyczerpują tematy od strony algorytmicznej – kompletne procedury rozkładania wielomianów czy całkowania symbolicznego są mało znane, bo chyba trudno znaleźć nawet opcjonalne kursy na ich temat. Kursy algebry liniowej rzadko mówią o złożoności obliczania rangi („rzędu”) macierzy, składania („mnożenia”) ich czy odwracania; m.in. dlatego widzę tu pole do popisu. Podstawowe kursy analizy matematycznej rzadko mówią o klasach asymptotycznych typu duże O, istotnych dla złożoności. Sporo się zmienia na lepsze, bo te informacje są już łatwiej dostępne niż pół wieku temu, ale i tak jest co robić.

  • Trzecie kryterium zrozumienia powtarza gwiazda dydaktyki i popularyzacji matematyki, Grant Sanderson. Chyba nie tylko ja mam wrażenie, że jedną z głównych przeszkód w poznawaniu matematyki wyższej – zwłaszcza algebry abstrakcyjnej, wyższej analizy i topologii – jest wrażenie arbitralności. Winowajcą może tu być m.in. grupa Bourbaki, która dla matematyki i jej nauczania zrobiła bardzo dużo, przez syntezę upowszechniającą pewną notację  i terminologię, do czego sam dążę w jakimś prowincjonalnym zakresie. Niestety ich wielkie podsumowanie postawiono na głowie – ten francuski, „zstępujący” styl zaczął być używany do wykładów początkowych, które – jak sugeruje słowo „wstępny” – powinny być raczej wstępujące. Łatwo znaleźć kursy akademickiej algebry – czy to liniowej, czy to abstrakcyjnej – zaczynające od potoku definicji aksjomatycznych, które dla laika są kompletnie nieumotywowane. Matematyka jest:

    • technologią, czyli sztuką rozwiązywania problemów;

    • nauką, czyli sztuką uzasadnionych przewidywań.

Definicja aksjomatyczna bez żadnego komentarza wydaje się kompletnie oderwana od tych celów. Lubię porzekadło – zasłyszane od znajomego – że jeśli coś się umie zdefiniować tylko przez krotkę (ciąg), to się tego nie rozumie. Definicje formalne są cenne i jak pisałem wyżej – wystrzegam się kontrastowania „złej teorii” z „dobrą praktyką”. Aksjomaty i konstrukcje są konieczne do drugiego warunku zrozumienia; warto podkreślać, że np. na przestrzeni kartezjańskiej można zadawać różne metryki, nie tylko euklidesową. Mimo to pierwszy i trzeci warunek wymagają też innych perspektyw. One pozwalają zajrzeć wgłąb tych idei, a formalizm – zobaczyć przez nie ogromne otoczenie. Gdyby Cantor nie wymyślił liczb porządkowych, to może zrobiłby to von Neumann, w prosty sposób rozszerzając swoją konstrukcję liczb naturalnych. Laik czuje, że wie wystarczająco dobrze, czym jest liczba, dlatego to może mu się wydawać scholastyczną, pedantyczną sztuką dla sztuki – i właśnie dlatego, przez tę trudność docenienia, nie uczyłbym dzieci liczenia tą drogą.

Wielkim szczęściem było dla mnie odkrycie brakującego ogniowa – kursów w bardziej niemieckim duchu, zaczynających od najprostszych przypadków jak płaszczyzna. Podkreślę raz jeszcze: one nie są lepsze, pod pewnymi względami są nawet gorsze, ale są komplementarne – tego mi brakowało i pewnie wielu innym, także dydaktykom, dalej brakuje. W 2018 roku planowałem przeprowadzić kursik tego typu na Wakacyjnych Warsztatach Wielodyscpylinarnych. W 2021 roku na polskim Wikibooks zacząłem pisać kurs teorii grup przemiennych, prawdopodobnie pierwszy po polsku i nie zdziwię się, jeśli na całym świecie powstało ich tylko kilka.  Idea podgrupy normalnej jest tak trudna do uchwycenia, że John Baez i Tim Gowers pisali poradniki, jak o tym myśleć, a Évariste Galois, który wprowadził to pojęcie, imponuje mi bardziej niż Newton i Einstein razem wzięci. Byłem bardzo podekscytowany, kiedy po przeszło dekadzie dość nagle to przełknąłem, widząc związek różnych definicji. Ten typ olśnienia opisał klasyczny esej z serwisu Quora (autor: Yakov Berchenko-Kogan). To wszystko stałoby się lata wcześniej, gdybym poznał pierwsze twierdzenie o izomorfizmie na najprostszym przykładzie – wszystkie grupy cykliczne to obrazy homomorficzne grupy addytywnej liczb całkowitych. Grupy cykliczne i homomorfizmy, a przez to grupy ilorazowe, łatwiej umotywować niż podgrupy normalne definiowane warstwami, automorfizmami wewnętrznymi czy abstrakcyjnymi kongruencjami. Jeszcze łatwiej umotywować ideę izomorfizmu, o czym pisze Gowers, a wtedy homomorfizm nasuwa się jako naturalne uogólnienie, również pomocne w rozwiązywaniu problemów.

Przykłady chyba mogłyby wypełnić cały wykład; jeden z prostszych, jaki mi przychodzi do głowy, to definicja zbioru zwartego. Sama w sobie wydaje się wzięta z sufitu, jeśli się nie zna lematów Bolzana–Weierstrassa ani Borela. Te własności odcinków liczbowych nasuwają pytanie o uogólnienie ich w sposób, który mógłby uogólnić twierdzenia o nich, np. Weierstrassa czy Heinego–Cantora. Nie zdziwię się, jeśli autorzy tych pojęć wprost o tym pisali, co nie zmieściło się w opasłych Elementach Bourbakiego i przez to nie przeszło do standardowej dydaktyki.

Widuję też odwrotny problem, czyli pewien niedosyt rygoru, zwłaszcza przy tensorach. W krajach Anglosfery to się też zdarza w analizie, bo Calculus zwykle jest nauczany nawet bez granic ciągów, umieszczanych w Analysis – akademickim i to przekazywanym głównie matematykom.  Na szczęście ten drugi problem jeśli w ogóle występuje, to przejściowo, a ten pierwszy to wyjątek.

Podsumowując, dobry wykład jest jak muzyka i jak wywiad – to fala naprzemiennych pytań i odpowiedzi nasuwających dalsze pytania, przy czym to właśnie od pytania powinno się zacząć. Czasem się mówi, że wiedza to znajomość odpowiedzi, a inteligencja – zadawanie dobrych pytań. Leszek Kołakowski zatytułował swój program telewizyjny i opartą na nim książeczkę O co nas pytają wielcy filozofowie – bo to pytania uczyniły ich wielkimi; mój ulubiony Leibniz jest najbardziej znany właśnie z pytania, które zadał. Pretensjonalnie parafrazując Jana Pawła II – obliczenia i formalizm, pytania i odpowiedzi to dwa skrzydła, na których ludzki umysł się unosi ku rozumieniu.

Mam też inne przemyślenia o dydaktyce, np. o roli znajomości historii i solidnych fundamentów logiczno-mnogościowych; m.in. to mnie pchnie do pisania Funkcji i innych relacji. Niestety rozwodzenie się o tym przyćmiłoby chyba inne treści z tej strony i może nawet odepchnęło od niej.

• Kiedyś chciałem być mesjaszem nauki, a potem naukowym Janem Chrzcicielem, który dzięki doskonałej dydaktyce znajdzie i zainspiruje naukowego mesjasza. Wreszcie w wieku 28 lat zrozumiałem, że mesjasze już przyszli i za mojego życia prawdopodobnie nie będzie większych, dlatego lepiej być apostołem nauki, upowszechniającym wiedzę także wśród tych najskromniejszych i najbardziej anonimowych postaci.