Περιγραφή Μαθήματος

Στόχοι Μαθήματος

Το μάθημα αποσκοπεί στη μελέτη αλγεβρικών ιδιοτήτων συνόλων που είναι εφοδιασμένα με ορισμένες πράξεις. Συνήθως τέτοιου είδους μαθηματικά αντικείμενα τα ονομάζουμε αλγεβρικές δομές. Θα ασχοληθούμε κυρίως με δύο είδη αλγεβρικών δομών: Τις ομάδες και τους δακτυλίους.

Το πρότυπο παράδειγμα ομάδας είναι η ομάδα μετατάξεων (μεταθέσεων) n στοιχείων. Πρόκειται για το σύνολο των ένα προς ένα και επί απεικονίσεων από ένα σύνολο με n στοιχεία στον εαυτό του εφοδιασμένο με την πράξη τής σύνθεσης των απεικονίσεων.

Το πρότυπο παράδειγμα δακτυλίου είναι το σύνολο των ακεραίων αριθμών εφοδιασμένο με τις πράξεις τής πρόσθεσης και τού πολλαπλασιασμού ακεραίων αριθμών.

Θα διατυπώσουμε διάφορα θεωρήματα που αφορούν τις ομάδες και τους δακτυλίους με έμφαση στην έννοια τού ισομορφισμού ομάδων ή δακτυλίων. Από τη σκοπιά τις Άλγεβρας δύο αλγεβρικές δομές που είναι ισόμορφες έχουν ακριβώς τις ίδιες αλγεβρικές ιδιότητες με συνέπεια τα συμπεράσματα που ισχύουν για μια αλγεβρική δομή να ισχύουν και για οποιαδήποτε ισόμορφή της. Στο τέλος τού μαθήματος περιμένουμε από τον φοιτητή να έχει κατανοήσει τα βασικά θεωρήματα, να είναι σε θέση να τα εφαρμόζει για την εξαγωγή νέων στοιχειωδών συμπερασμάτων και να μπορεί να εκτελεί ορισμένους (όχι τόσο προφανείς) υπολογισμούς.

Σύντομη επισκόπηση τής εξέλιξης τής Άλγεβρας

Οι πρώτες έννοιες που σχετίζονται με «αγνώστους» στην Άλγεβρα προέρχονται από την Ινδία από όπου οφείλεται και το δεκαδικό σύστημα αρίθμησης. Οι ανωτέρω έννοιες εισήχθηκαν στην Ευρώπη από τους Άραβες και ο F. Viète (1540-1603) τις συστηματικοποίησε σε μια συμβολική μέθοδο που την ονόμασε Άλγεβρα αναπαριστώντας τους αριθμούς με γράμματα. Το πρώτο πρόβλημα τής Άλγεβρας ήταν η επίλυση εξισώσεων. Πριν από τον Viète, ο G. Cardano (1501-1576) και ο L. Ferrari (1522-1565) είχαν ήδη επιλύσει ορισμένες αλγεβρικές εξισώσεις 3ου και 4ου βαθμού. Η επίλυση εξισώσεων μικρότερου βαθμού ήταν γνωστή από την αρχαιότητα. Η επίλυση όμως των εξισώσεων με μεγαλύτερο βαθμό παρέμενε άγνωστη μέχρι τα μέσα τού 19ου αιώνα, όπου οι N.H. Abel (1802-1829) και E. Galois (1811-1832) απέδειξαν την ανυπαρξία αλγεβρικών λύσεων για ορισμένες τέτοιου είδους εξισώσεις. Θεωρώντας μάλιστα όχι μόνο μεμονωμένες λύσεις αλλά το σύνολο όλων των ρητών μετασχηματισμών των λύσεων οδηγήθηκαν στην έννοια τού σώματος. Επιπλέον παρατήρησαν ότι το πρόβλημα ύπαρξης αλγεβρικών λύσεων μπορούσε να χαρακτηριστεί από τις ιδιότητες των ομάδων μετατάξεων των λύσεων. Μετά την εισαγωγή τής λεγόμενης ομάδας Galois, η έννοια τής ομάδας και γενικότερα η θεωρία των ομάδων, κυριάρχησαν στην Άλγεβρα για κάποιο χρονικό διάστημα. Κατά τον 20ο αιώνα οι έννοιες αυτές εξελίχθηκαν στη λεγόμενη «Αφηρημένη Άλγεβρα» στο πλαίσιο τής αριθμητικοποίησης και αξιωματικοποίησης των Μαθηματικών. Σήμερα τα κύρια αντικείμενα τής Άλγεβρας είναι αλγεβρικά συστήματα διαφόρων ειδών, όπως οι ομάδες, τα σώματα, οι δακτύλιοι και οι μόδιοι. Δύο ακόμη θεμελιώδεις έννοιες τής Άλγεβρας είναι ο ισομορφισμός και ο ομομορφισμός. Η συλλογή αλγεβρικών συστημάτων με κοινές ιδιότητες μαζί με τους ομομορφισμούς τους οδηγεί στην έννοια τής Κατηγορίας. Η συγκεκριμένη έννοια χρησιμοποιήθηκε κατα τη δεκετία τού 1940 στη λεγόμενη Ομολογική Άλγεβρα και σήμερα έχει ουσιώδη σημασία παντού στα Μαθηματικά.

Ένας σημαντικός κλάδος τής Άλγεβρας με ευρύ φάσμα εφαρμογών είναι η θεωρία των Διανυσματικών Χώρων ή γενικότερα των μοδίων υπεράνω δακτυλίων. Ένας επιπλέον σημαντικός κλάδος τής Άλγεβρας είναι η λεγόμενη Θεωρία Αναπαραστάσεων, η οποία ασχολείται με τις αναπαραστάσεις των ομάδων ή των δακτυλίων με τη βοήθεια πινάκων. Οι μέθοδοι τής Σύγχρονης Άλγεβρας χορηγούν χρήσιμα και δυναμικά εργαλεία για το σύνολο τής Μαθηματικής Επιστήμης και ιδιαιτέρως για τη Θεωρία Αριθμών και την Αλγεβρική Γεωμετρία.

Το κείμενο προέρχεται από την

MIT-Encyclopedia of Mathematics

Σημαντικοί Μαθηματικοί που συνέβαλαν στην εξέλιξη τής Άλγεβρας