RT1_AA1819
Ricevimento Studenti: mar 14:30-16:30
Orario Lezioni: mar 11-13; gio 14-16; ven 16-18. (Se siete interessati a seguire il corso, ma avete problemi di orario, mandatemi un'email!)
Dal 15 ottobre cambia l'orario delle lezioni: lun 11-13 (Aula 16); mar 11-13 (Aula 29A); ven 16-18 (Aula 29A)
Modalità di esame: L'esame è orale, ma vi è la possibilità di avere un orale ridotto se si consegnano esercizi che verranno dati durante il corso (vi saranno tre consegne: 30/10, 3/12, 15/01). Qualora vi fossero dottorandi interessati a sostenere l'esame, è offerta loro la possibilità di sostituire l'esame orale con un seminario su un argomento facoltativo scelto assieme (ma in tal caso la consegna degli esercizi è obbligatoria).
Appelli d'esame: 28/01/2019 (h.9:30, aula 29A); 24/02/2019 (h.9:39, aula 5 del PP2)
Ulteriori informazioni: Nello stesso semestre si tengono i corsi di Algebra Commutativa (Prof. René Schoof) e Geometria Algebrica (Prof. Flaminio Flamini). Per quanto possibile, i contenuti dei tre corsi sono coordinati in modo tale da limitare al minimo le ripetizioni e, anzi, valorizzare le eventuali sovrapposizioni, che avverranno comunque da punti di vista diversi.
Programma di massima: concetti base di geometria algebrica (topologia di Zariski, varietà algebriche affini, algebre affini, varietà, varietà proiettive, morfismi tra varietà); definizione ed esempi di gruppi algebrici lineari; prime proprietà (G-spazi, decomposizione di Jordan, tori); derivazioni ed algebre di Lie (spazi tangenti, separabilità, algebra di Lie di un gruppo algebrico lineare); proprietà di morfismi di varietà e di gruppi algebrici; quozienti (teorema di Chevalley, costruzione esplicita); sottogruppi risolubili, sottogruppi di Borel e sottogruppi parabolici; azioni lineari di tori su varietà proiettive; teorema di struttura per gruppi riduttivi.
La scelta precisa degli argomenti da affrontare dipenderà dai prerequisiti posseduti dagli studenti, pertanto un programma dettagliato sarà disponibile orientativamente verso la fine della seconda settimana del corso.
Note delle lezioni (aggiornate al 1/1). Commenti e correzioni sono ben accetti!
Esercizi: 1 2 3 (da consegnare il 29 ottobre) -> consegna posposta causa sospensione della didattica il 29 e 30 ottobre.
4 5 6 (da consegnare il 3 dicembre)
7 8 9 (da consegnare il 15 gennaio)
Testi di riferimento:
Armand Borel, "Linear Algebraic Groups"
James Humphreys, "Linear Algebraic Groups"
Peter Littelmann, "Schubert Varieties", http://www.mi.uni-koeln.de/~littelma/SMTkurz.pdf
Gunter Malle, Donna Testerman, "Linear Algebraic Groups and Finite Groups of Lie Type"
Tonny Springer, "Linear Algebraic Groups" (questo sarà la nostra principale referenza).
Diario delle lezioni:
2 ottobre 2018: topologia di Zariski, prime proprietà della topologia di Zariski; Nullstellensatz (enunciato); corrispondenza tra chiusi di k^n ed ideali radicali di k[T]; Teorema della base di Hilbert(enunciato); noetherianità e quasicompattezza degli insieme algebrici; (ir)riducibilità; un insieme algebrico X è chiuso se e solo se il corrispondente ideale I(X) è primo;
4 ottobre 2018: unicità delle componenti irriducibili per uno spazio topologico noetheriano; algebra affine di un insieme algebrico; aperti principali; funzioni regolari; fasci di funzioni su uno spazio topologico e spazi anellati; varietà algebriche affini; morfismi di spazi anellati e di varietà affini;
5 ottobre 2018: k-algebre affini; esistenza ed unicità del prodotto di due varietà algebriche affini; il prodotto di due varietà affini irriducibile è irriducibile; definizione di gruppi algebrici lineari; gruppo additivo e gruppo moltiplicativo
9 ottobre 2018: esempi di gruppi algebrici: GLn, gruppi finiti, matrici invertibili triangolari superiori, diagonali e triangolari superiori unipotenti, SLn, gruppo simplettico, gruppo ortogonale pari e dispari; morfismi di gruppi algebrici; componente connessa dell'identità; gruppi algebrici connessi=irriducibili; gruppo speciale ortogonale; prodotto di elementi di due aperti densi non vuoti dà tutto il gruppo algebrico
11 ottobre 2018: sottogruppi di gruppi algebrici e loro chiusure; prevarietà; esistenza del prodotto nella categoria delle prevarietà; varietà; assioma di separazione e qualche sua applicazione; condizione necessaria e sufficiente affinché una prevarietà sia una varietà; spazi proiettivi e loro struttura di varietà
12 ottobre 2018: dimensione di una varietà; dimensione di una sottovarietà propria di una varietà irriducibile; dimensione del prodotto di due varietà irriducibili; primi risultati su morfismi; l'immagine di un morfismo contiene un aperto della sua chiusura; l'immagine e il nucleo di un morfismo i gruppi algebrici sono un gruppi algebrici; l'immagine della componente dell'identità è la componente dell'identità dell'immagine (di un morfismo di gruppi algebrici); G-varietà; definizione di spazi omogenei.
15 ottobre 2018: lo stabilizzatore di un punto in un G-spazio è chiuso; il luogo dei punti fissi di un G-spazio è chiuso; rappresentazioni razionali; rappresentazioni fedeli; G-spazi affini e locale finitezza della loro algebra affine; caratterizzazione dei sottogruppi chiusi come zeri di ideali stabili; linearizzazione dei gruppi algebrici (affini)
16 ottobre 2018: endomorfismi semisemplici, nilpotenti e unipotenti; trangolarizzazione (diagonalizzazione) simultanea di endomorfismi (semisemplici) che commutano; Decomposizione di Jordan additiva e moltiplicativa nel caso finito dimensionale; generalizzazione al caso infinito dimensionale: locale finitezza, semisemplicità e locale nilpotenza; Decomposizione di Jordan in un gruppo algebrico (esistenza ed unicità della decomposizione di Jordan, comportamento rispetto a morfismi di gruppi)
19 ottobre 2018: Decomposizione di Jordan come gruppo algebrico e come spazio di endomorfismi coincidono; elementi nilpotenti e semisemplici; gruppi unipotenti e matrici triangolari superiori unipotenti; un gruppo algebrico abeliano è il prodotto diretto del sottogruppo degli elementi semisemplici e del sottogruppo degli elementi nilpotenti; caratteri e cocaratteri di un gruppo algebrico; caratteri del gruppo delle matrici diagonali invertibili.
22 ottobre 2018: gruppi diagonalizzabili e tori algebrici; pesi e spazi peso di una rappresentazione; una rappresentazione razionale ha sempre un numero finito di pesi e la somma degli spazi peso è diretta; se un gruppo è diagonalizzabile allora ogni sua rappresentazione razionale è somma diretta di sottorappresentazioni di dimensione 1.
23 ottobre 2018: se ogni rappresentazione irriducibile di G è di dimensione 1 allora G è diagonalizzabile; gruppi diagonalizzabili e p-torsione; gruppi abeliani finitamente generati senza p-torsione e gruppi diagonalizzabili; ogni gruppo diagonalizzabile è prodotto di un toro per un gruppo finito; un gruppo diagonalizzabile è un toro se e solo se è connesso; rigidità dei gruppi diagonalizzabili; normalizzante e centralizzante di un sottogruppo diagonalizzabile.
26 ottobre 2018: classificazione dei gruppi algebrici connessi 1-dimensionali; algebre di Lie; derivazioni di un'algebra in un modulo; algebra di Lie di un gruppo algebrico, esempi dei gruppi algebrici connessi di dimensione 1; spazio tangente di una varietà affine in un punto.
29 ottobre 2018: allerta meteo (lezione da recuperare)
30 ottobre 2018: allerta meteo (lezione da recuperare)
2 novembre 2018: ponte (lezione da recuperare)
5 novembre 2018: isomorfismo tra algebra di Lie di un gruppo algebrico e spazio tangente del gruppo algebrico all'identità; struttura di algebra di Lie indotta sullo spazio tangente; differenziale di un morfismo e prime proprietà (funtorialità); algebra di Lie di un sottogruppo chiuso; spazi tangenti di aperti nello stesso punto sono isomorfi; definizione di spazio tangente di varietà algebriche
6 novembre 2018: differenziale di un morfismo tra gruppi algebrici è un morfismo di algebre di Lie; algebra di Lie di GLn; differenziali del morfismo di moltiplicazione e del morfismo di inversione; differenziale di un automorfismo interno;
9 novembre 2018: la rappresentazione aggiunta Ad; rappresentazioni di algebra di Lie; rappresentazione aggiunta dell'algebra di Lie di un gruppo algebrico; somma diretta e prodotto tensoriale di rappresentazioni razionali e relativi differenziali; decomposizione di Jordan nell'algebra di Lie; modulo dei differenziali di Kaehler; il modulo dei differenziali di Kaehler di A rappresenta il funtore Der(A,-).
12 novembre 2018: modulo dei differenziali di Kaehler di un'algebra di polinomi; morfismi di R-algebre e successioni esatte di moduli di differenziali di Kaehler; differenziali di Kaehler di un quoziente di un'algebra di polinomi; relazione con lo spazio tangente.
13 novembre 2018: polinomi, elementi ed estensioni separabili; estensioni separabilmente generate; estensioni separabilmente generate e successioni esatte; estensioni di tipo finito, dimensioni dei moduli dei differenziali di Kaehler e grado di trascendenza; campi perfetti; ogni estensione finitamente generata di un campo perfetto è separabilmente generata;
15 novembre 2018: (recupero lezione 29 ottobre) catena d'estensioni di tipo finito su un campo perfetto e condizione necessaria e sufficiente affinché l'estensione intermedia sia separabilmente generata; dimensione dello spazio tangente e rango del modulo dei differenziali di Kaehler; ogni spazio omogeneo per l'azione di un gruppo algebrico connesso è irriducibile e liscio; ogni gruppo algebrico connesso è liscio; morfismi dominanti, separabili e birazionali; condizione necessaria e sufficiente affinché un morfismo tra due varietà irriducibili sia birazionale;
16 novembre 2018: no lezione -> Workshop "Representation Theory in Rome and Beyond" (siete invitati a partecipare e ad iscrivervi entro il 15 ottobre)
19 novembre 2018: criterio di separabilità (per morfismi) nel caso di varietà e di gruppi algebrici connessi; ogni orbita è aperta nella sua chiusura; orbite chiuse; G-spazi omogenei come G^0-spazi
20 novembre 2018: lemma preliminare al Teorema di Chevalley; potenza esterna di una rappresentazione razionale e descrizione sottogruppo chiuso; Teorema di Chevalley; orbita è spazio omogeneo e varietà quasi-proiettiva; definizione di quoziente; esempio di P1
22 novembre 2018: (recupero lezione 30 ottobre) Dimostrazione dell'esistenza ed unicità del quoziente di un gruppo algebrico per un suo sottogruppo chiuso; il quoziente di un gruppo algebrico per un sottogruppo chiuso normale è un gruppo algebrico a sua volta.
23 novembre 2018: algebra di lie dell'intersezione di due sottogruppi; vi è una biiezione che mantiene le inclusioni, tra l'insieme dei sottogruppi chiusi e connessi di un gruppo algebrico e le sottoalgebre di Lie algebriche della sua algebra di Lie; esempi vari di quozienti: SL2/U2; spazi proiettivi come quozienti di GLn per un parabolico massimale; Grassmanniana Gr(d,n) come quoziente opportuno di GLn; varietà delle bandiere simplettiche in uno spazio di dimensione 4 come quoziente di Sp4. per le matrici triangolari superiori simplettiche.
27 novembre 2018: (lezione tenuta da Dario Antolini)
29 novembre 2018: (lezione tenuta da Dario Antolini)
30 novembre 2018: (lezione tenuta da Dario Antolini)
3 dicembre 2018: richiamo definizione gruppi risolubili e nilpotenti; il commutatore di un sottogruppo chiuso ed uno chiuso e connesso è a sua volta chiuso e connesso; n-esimo termine della serie derivata/centrale discendente di un gruppo algebrico è chiuso e connesso; il centro di un gruppo algebrico nilpotente non banale è non banale; Teorema di Lie-Kolchin.
4 dicembre 2018: automorfismi di G e punti fissi; condizione necessaria e sufficiente affinché l'algebra di Lie dei punti fissi coincida con i punti fissi dell'algebra di Lie; caratterizzazione degli automorfismi semisemplici;
7 dicembre 2018: la classe di coniugio di un elemento semisemplice è chiusa; centralizzatore di un elemento semisemplice ed algebra di Lie; in un gruppo algebrico nilpotente gli elementi semisemplici costituiscono un toro centrale; teorema di struttura per gruppi algebrici nilpotenti; il derivato di un gruppo algebrico risolubile connesso è chiuso, connesso e unipotente; gli elementi unipotenti di un gruppo risolubile connesso costituiscono un sottogruppo chiuso normale e nilpotente; esistenza di sottogruppi unipotenti normali 1-dimensionali in un gruppo algebrico risolubile; tori massimali;
10 dicembre 2018:teorema di struttura per gruppi algebrici risolubili; tori massimali per gruppi connessi risolubili (ogni elemento semisemplice è contenuto in un toro massimale, il centralizzante di un elemento semisemplice è connesso, ogni due tori massimali son coniugati); ogni sottogruppo chiuso di un gruppo algebrico connesso risolubile e i cui elementi sono semisemplici è contenuto in un toro massimale ed ha centralizzante connesso;
11 dicembre 2018: esistenza di funzioni regolare non costante sul quoziente di un gruppo connesso risolubile per un sottogruppo chiuso proprio; radicale e radicale unipotente; gruppi riduttivi e semisemplici; il radicale di un gruppo riduttivo connesso è un toro; varietà complete (definizione, qualche proprietà); definizione di varietà abeliane
14 dicembre 2018: sottogruppi parabolici; il quoziente di un gruppo algebrico per un sottogruppo parabolico è una varietà proiettiva; esistenza di sottogruppi parabolici propri è equivalente a non risolubilità del gruppo; un sottogruppo parabolico di un sottogruppo parabolico di un gruppo algebrico G è a sua volta parabolico per il gruppo G; teorema del punto fisso di Borel; sottogruppi di Borel; tori massimali di un gruppo algebrico; un sottogruppo chiuso è parabolico se e solo se contiene un Borel; ogni Borel è parabolico; tutti i sottogruppi di Borel sono coniugati; tutti i tori massimali sono coniugati.
17 dicembre 2018: l'immagine tramite un morfismo suriettivo di gruppi algebrici di un Borel, risp. parabolico, risp. toro massimale è un sottogruppo dello stesso tipo; proprietà del centro di un sottogruppo di Borel; se un sottogruppo di Borel di un gruppo algebrico G è nilpotente allora coincide con la componente connessa dell'identità di G; sottogruppi di Cartan; un sottogruppo di Cartan è nilpotente e coincide con la componente connessa dell'identità del suo normalizzante; traslati tramite coniugio di un sottogruppo chiuso di un gruppo algebrico connesso.
18 dicembre 2018: centralizzante di un toro ottenuto come centralizzante di un particolare elemento semisemplice; ogni elemento di un gruppo algebrico connesso appartiene ad un sottogruppo di Borel, ed ogni elemento semisemplice appartiene ad un toro massimale; l'unione dei sottogruppi di Cartan di un gruppo algebrico connesso G contiene un aperto denso di G; il centralizzante di un toro di un gruppo algebrico connesso è connesso; sottogruppi di Borel del centralizzante di un toro; sistema di radici di un gruppo algebrico contente un toro non banale (e.g. riduttivo); gruppo di Weyl di un gruppo algebrico riduttivo; azione del gruppo di Weyl su caratteri e cocaratteri; accoppiamento perfetto tra caratteri e cocaratteri; l'azione del gruppo di Weyl stabilizza il sistema di radici; radicale e radicale unipotente in termini di sottogruppi di Borel (senza dimostrazione); il centralizzante di un toro di un gruppo riduttivo è riduttivo;
20 dicembre 2018: un toro massimale di un gruppo riduttivo connesso si autocentralizza; il centro di un gruppo algebrico riduttivo connesso è contenuto nell'intersezione dei tori massimali; il caso di PGL2; sketch del Teorema di classificazione dei gruppi semisemplici di rango 1; Teorema di struttura dei gruppi abeliani (enunciato e dimostrazione di alcuni risultati preliminari+sketch della dimostrazione)