Algebra 3 -- 2019/2020
Ricevimento Studenti: Lunedì, 14-16, oppure per appuntamento.
Orario Lezioni:fino al 27 ottobre Martedì 14-16 (Aula 11), Venerdì 11-13 (Aula 11)
dal 28 ottobre: Mercoledì 9-11 (aula 1200), Venerdì 11-13 (Aula 11)-
Appelli sessione estiva anticipata: 4 febbraio, h. 14; 27 febbraio h.14
Appelli sessione estiva: 1 luglio, h.10; 29 luglio, h.10
Appelli sessione autunnale: Gli appelli della sessione di settembre si terranno in presenza, nel rispetto delle misure di sicurezza stabilite dall'Ateneo:
1 settembre, h. 15:00 (Aula L3) . Scadenza prenotazione su Delphi: 26/08/2020.
22 settembre, h. 10:00 (Aula De Blasi). Scadenza prenotazione su Delphi: 16/09/2020.
È obbligatorio prenotarsi su Delphi, entro i termini stabiliti. Solo gli studenti prenotati avranno accesso all'aula e dovranno firmare una dichiarazione, che verrà fornita in seguito. Gli studenti che non possono sostenere l'esame in presenza (per comprovati motivi di necessità), sono pregati di contattare il docente entro la scadenza della prenotazione su Delphi, in modo che si possa valutare la possibilità di farlo sostenere per via telematica. Eventuali variazioni verranno tempestivamente comunicate su questa pagina web e - solo per gli studenti prenotati - attraverso l'indirizzo email istituzionale.
Per poter sostenere l'esame è necessario prenotarsi su Delphi.
Programma di massima: teoria delle categorie; teoria dei moduli; algebre su un anello commutativo; (un assaggio di) teoria delle rappresentazioni. Piu' precisamente, i temi che si intendono coprire durante il corso sono:
Teoria delle categorie: prime definizioni ed esempi (categoria, diagrammi commutativi, gruppoidi, categoria opposta, sottocategorie); funtori, funtori covarianti e controvarianti; trasformazioni naturali, equivalenze, funtori rappresentabili; oggetti terminali e iniziali,proprietà universali, prodotti, coni, limiti e colimiti; monomorfismi ed epimorfismi, monomorfismi ed epimorfismi che spezzano, monomorfismi ed epimorfismi regolari, sotto-oggetti, funtori che preservano limiti; oggetto iniziale come limite, proiettivi e iniettivi; definizioni ed esempi di funtori aggiunti; alcune conseguenze/proprietà dell'aggiunzione, unità e counità, equivalenze aggiunte, aggiunzione e limiti
Teoria dei moduli: prime definizioni ed esempi (moduli, omomorfismi, sottomoduli, quozienti), somme dirette e prodotti diretti, duali, moduli liberi, prodotto tensoriale (proprietà universale, costruzione); estensione/restrizione scalari; successioni esatte, funtori esatti, esatti a destra, esatti a sinistra; aggiunzione ed esattezza.
Algebre su un anello commutativo: Prime definizioni ed esempi (algebre, algebre associative, prodotti tensoriali, algebre di Lie, prodotti), l'algebra universale inviluppante di un'algebra di Lie, definizione con proprietà universale, algebra simmetrica di uno spazio vettoriale e costruzione esplicita dell'algebra universale inviluppante; aggiunzione (sinistra) al funtore che manda ogni algebra associativa unitaria nella corrispondente algebra di Lie, anello di Lie, endomorfismi di uno spazio vettoriale
Teoria delle rappresentazioni: prime definizioni ed esempi di rappresentazioni di algebre associative e di algebre di Lie; sotto-rappresentazioni, rappresentazioni semplici e indecomponibili; rappresentazioni di un'algebra di Lie e dell'algebra universale inviluppante (equivalenza di categorie); sl2
Testi di riferimento:
Michael Atiyah, I. G. MacDonald, "Introduction to Commutative Algebra"
Julia Goedecke, Category Theory Notes
James Humphreys, "Introduction to Lie Algebras and Representation Theory"
Serge Lang, "Algebra"
Weiyun Lu & Aaron K. McBride, "Algebraic Structures on Grothendieck Groups"
Saunders Mac Lane, "Categories for the Working Mathematician"
Appunti del corso di Algebra 3 del 2017/2018 (note che ho scritto per me -quindi piene di errori di battitura-, corredate di esercizi). Proverò ad aggiornare le note via via durante il corso di quest'anno (ultimo aggiornamento 30/10).
Diario delle Lezioni:
1 ottobre 2019: definizione ed esempi di categorie, isomorfismi, gruppoidi, sottocategorie, categorie opposte, diagrammi commutativi;
4 ottobre 2019: categorie prodotto, categorie quoziente, categoria delle frecce, categoria (co)fetta, categoria delle relazioni, funtori, categoria delle categorie, funtore dimenticante ed altri esempi;
8 ottore 2019: (lezione tenuta dalla Professoressa Damiani)
11 ottobre 2019: (lezione tenuta dalla Professoressa Damiani)
15 ottobre 2019: revisione di alcuni concetti: una categoria è concreta se e solo se se c'è funtore fedele da essa alla categoria degli insiemi; esempio di categoria non-semismall; trasformazioni naturali; un funtore dalla categoria associata ad un gruppo alla categoria degli insiemi è un G-insieme, le trasformazioni naturali corrispondenti sono G-morfismi, richiamo enunciato Lemma di Yoneda; funtori rappresentabili; l'immersione di Yoneda è piena e fedele;
18 ottobre 2019: rappresentazioni di funtori, esempi di rappresentazioni di funtori; una rappresentazione è unica a meno di isomorfismo unico; oggetti iniziali e finali, esempi; unicità (a meno di isomorfismo unico) di oggetti finali ed iniziali; prodotto di due oggetti; unicità del prodotto (a meno di isomorfismo unico); categoria dei coni e coconi su un diagramma; limite e colimite di un diagramma; oggetti finali come limiti del diagramma di forma categoria vuota; prodotti di due oggetti come limiti di diagrammi di forma categoria 2;
22 ottobre 2019: interpretazione dei coni come trasformazioni naturali; esempi di limiti: equalizzatore e prodotto fibrato; una categoria piccola/finita ammette oggetto iniziale se e solo se il funtore identità ammette un limite; monomorfismi ed epimorfismi, mono/epi-morfismi che spezzano, mono/epi-morfismi regolari; mono regolare+epi=iso;
25 ottobre 2019: relazione tra monomorfismi e prodotti fibrati; oggetti proiettivi; il funtore di Yoneda è proiettivo; esiste un limite di ogni diagramma nella categoria degli insiemi; aggiunzione, esempi.
30 ottobre 2019: definizione di unità e counità di un'aggiunzione; unità e counità sono trasformazioni naturali, esempi; aggiunzione tramite trasformazioni naturali che verificano identità triangolari; definizione di equivalenza aggiunta;
6 novembre 2019: ogni equivalenza tra categorie può essere resa un'equivalenza aggiunta; aggiunzione tramite esistenza di oggetti iniziali;
8 novembre 2019: aggiunti sinistri sono unici a meno di isomorfismo unico; se un funtore ammette aggiunto sinistro allora manda limiti in limiti; un funtore ammette aggiunto sinistro se e solo se manda limiti in limiti;
13 novembre 2019: definizione di moduli su un anello commutativo unitario e di morfismi tra essi; esempi (modulo nullo, gruppi abeliani, spazi vettoriali); costruzioni elementari: sottomoduli, quozienti, nucleo, immagine e conucleo di un morfismo; il (co)nucleo come (co)prodotto fibrato; prodotti e coprodotti nella categoria degli A-moduli; somma diretta e prodotto diretto; criterio sufficiente affinché un modulo sia prodotto diretto di sottomoduli;
15 novembre 2019: moduli finitamente generati, basi di moduli, moduli liberi; proprietà universale dei moduli liberi; ogni modulo finitamente generato è quoziente di un modulo libero; modulo duale; esistenza e unicità prodotto tensoriale;
20 novembre 2019: prime proprietà del prodotto tensoriale; definizione del funtore "prodotto tensore per un modulo"; estensione e restrizione di scalari; l'estensione di un modulo finitamente generato è ancora finitamente generato; aggiunzione estensione/restrizione; aggiunzione prodotto tensore/hom.
22 novembre 2019: successioni esatte di moduli su un anello commutativo unitario (casi particolari, successioni esatte corte); funtori esatti a destra/a sinistra, funtori esatti; esattezza ed aggiunzione; il funtore prodotto tensore è esatto a destra; moduli piatti.
27 novembre 2019: è sufficiente verificare se un modulo è piatto sulle successioni di moduli finitamente generati; intro al concetto di categorificazione (esempio dei numeri naturali visti come decategorificazione della categoria degli insiemi finiti o degli spazi vettoriali di dimensione finita); categoria dei monoidi (definizione ed esempi); gruppo di Grothendieck di un monoide (definizione con proprietà universale, dimostrazione costruttiva dell'esistenza,. esempi);
29 novembre 2019: categorie preadditive (definizione ed esempi); categoria additiva; in una categoria additiva un oggetto è finale se e solo se è iniziale; biprodotti; biprodotti in una categoria preadditiva; realizzazione matriciale dell'anello degli endomorfismi del biprodotto di n copie di un oggetto A di una categoria preadditiva;
4 dicembre 2019: il bifuntore "biprodotto"; gruppo di Grothendieck split di una categoria additiva, definizione ed esempi (spazi vettoriali di dimensiona finita su un campo, categoria degli spazi vettoriali, categoria dei gruppi abeliani finitamente generati); proprietà universale del gruppo di Grothendieck split; un funtore additivo tra categorie additive induce un omomorfismo dei loro gruppi di Grothendieck (split);
6 dicembre 2019: oggetti indecomponibili di una categoria con oggetto iniziale; proprietà di Krull-Schmidt (KS); le classi degli indecomponibili formano una base del gruppo di Grothendieck split di una categoria additiva con proprietà di KS (solo enunciato); nucleo e conucleo di morfismi in una categoria con oggetto zero; categorie abeliane, definizione ed esempi; succesioni esatte, successioni esatte corte, categorie esatte; gruppo di Grothendieck di una categoria abeliana, esempi; proprietà universale del gruppi di Grothendieck; il gruppo di Grothendieck di una categoria abeliana è un quoziente del suo gruppo di Grothendieck split;
11 dicembre 2019: categoria delle algebre su anelli commutativi unitari, definizione ed esempi; prodotto tensoriale di algebre, coprodotto di algebre associative commutative unitarie;
13 dicembre 2019: lezione sospesa causa allerta meteo (da recuperare?)
18 dicembre 2019: algebra tensoriale, proprietà universale dell'algebra tensoriale di un modulo; algebra simmetrica e sua proprietà universale, isomorfismo con algebra di polinomi nel caso libero e finitamente generato; aggiunzioni (T,U) e (S,U);
20 dicembre 2019: algebra inviluppante universale di un'algebra di Lie (definizione, esistenza ed unicità); aggiunzione tra funtore che produce algebra di Lie da un'algebra associativa unitaria ed il funtore algebra inviluppante; Teorema di Poincaré-Birkhoff-Witt (enunciato e conseguenze; no dimostrazione del Teorema)
8 gennaio 2020: oggetto gruppo; G-spazi; rappresentazioni di monoidi, gruppi, algebre a.u., algebre di Lie, moduli su monoidi, gruppi algebre a.u. e algebre di Lie, esempi vari; morfismi di rappresentazioni/moduli; equivalenza (isomorfismo, in realtà!) tra la categoria di rappresentazioni di un gruppo/algebra a.u./algebra di Lie e la categoria dei moduli sul dato oggetto algebrico; algebra monoide su un anello commutativo unitario
10 gennaio 2020: equivalenza di categorie tra moduli per un'algebra di Lie, risp. gruppo, e moduli sulla sua algebra inviluppante universale, risp. algebra gruppo; costruzioni nella categoria degli Y-moduli (Y= monoide/gruppo/algebra a.u/algebra di Lie): sottomoduli (esempi: immagine e nucleo di un morfismo), quozienti, Teorema fondamentale di Omomorfismo per moduli, Teorema di Isomorfismo per moduli, prodotti, coprodotti, oggetti iniziali e finali; definizione di moduli (in)decomponibili, completamente decomponibili, semplici, semisemplici, esempio di un modulo indecomponibile non semplice;
15 gennaio 2020:Lemma di Schur; altri esempi di (ir)riducibilità; completa decomponibilità per Y-moduli finitamente generati su un campo; Teorema di Maschke (caso dei gruppi finiti: completa riducibilità per G-moduli su un campo di caratteristica che non divide |G|);
17 gennaio 2020: classificazione (e costruzione esplicita) delle rappresentazion di dimensione finita dell'algebra di Lie sl2.