Algebra 3 2020/2021
Tutti gli studenti sono pregati di registrarsi sul canale Teams del corso
Ricevimento Studenti: data l'emergenza COVID, questo semestre il ricevimento sarà per appuntamento.
Orario Lezioni: Martedì 16-18 (Canale Teams PP2), Venerdì 11-13 (Aula L3)
Appelli sessione estiva anticipata: 10 febbraio, h. 15; 1 marzo h.15
Programma di massima: teoria delle categorie; teoria dei moduli; algebre su un anello commutativo; (un assaggio di) teoria delle rappresentazioni. Piu' precisamente, i temi che si intendono coprire durante il corso sono:
Teoria delle categorie: prime definizioni ed esempi (categoria, diagrammi commutativi, gruppoidi, categoria opposta, sottocategorie); funtori, funtori covarianti e controvarianti; trasformazioni naturali, equivalenze, funtori rappresentabili; oggetti terminali e iniziali,proprietà universali, prodotti, coni, limiti e colimiti; monomorfismi ed epimorfismi, monomorfismi ed epimorfismi che spezzano, monomorfismi ed epimorfismi regolari, sotto-oggetti, funtori che preservano limiti; oggetto iniziale come limite, proiettivi e iniettivi; definizioni ed esempi di funtori aggiunti; alcune conseguenze/proprietà dell'aggiunzione, unità e counità, equivalenze aggiunte, aggiunzione e limiti
Teoria dei moduli: prime definizioni ed esempi (moduli, omomorfismi, sottomoduli, quozienti), somme dirette e prodotti diretti, duali, moduli liberi, prodotto tensoriale (proprietà universale, costruzione); estensione/restrizione scalari; successioni esatte, funtori esatti, esatti a destra, esatti a sinistra; aggiunzione ed esattezza.
Algebre su un anello commutativo: Prime definizioni ed esempi (algebre, algebre associative, prodotti tensoriali, algebre di Lie, prodotti), l'algebra universale inviluppante di un'algebra di Lie, definizione con proprietà universale, algebra simmetrica di uno spazio vettoriale e costruzione esplicita dell'algebra universale inviluppante; aggiunzione (sinistra) al funtore che manda ogni algebra associativa unitaria nella corrispondente algebra di Lie, anello di Lie, endomorfismi di uno spazio vettoriale
Teoria delle rappresentazioni: prime definizioni ed esempi di rappresentazioni di algebre associative e di algebre di Lie; sotto-rappresentazioni, rappresentazioni semplici e indecomponibili; rappresentazioni di un'algebra di Lie e dell'algebra universale inviluppante (equivalenza di categorie); sl2
Testi di riferimento:
Michael Atiyah, I. G. MacDonald, "Introduction to Commutative Algebra"
Julia Goedecke, Category Theory Notes
James Humphreys, "Introduction to Lie Algebras and Representation Theory"
Serge Lang, "Algebra"
Weiyun Lu & Aaron K. McBride, "Algebraic Structures on Grothendieck Groups"
Saunders Mac Lane, "Categories for the Working Mathematician"
Appunti del corso di Algebra 3 del 2017/2018 (note che ho scritto per me -quindi piene di errori di battitura-, corredate di esercizi). Proverò ad aggiornare le note via via durante il corso di quest'anno (ultimo aggiornamento 6/11/2020).
Diario delle Lezioni:
29 settembre 2020: definizione ed esempi di categorie, isomorfismi, gruppoidi, sottocategorie, sottocategorie piene, categorie opposte, categorie prodotto;
2 ottobre 2019: categorie quoziente, categoria delle frecce, categorie fetta e cofetta; definizione ed esempi di funtori (funtore identità, funtore dimenticante, inclusione, proiezione dal prodotto, quoziente, abelianizzato, gruppo fondamentale);
6 ottobre 2020: ulteriori esempi di funtori (tra categorie associate a gruppi, tra la categoria associate ad un gruppo e quella degli insiemi, ...); definizione ed esempi di funtori controvarianti (duale di uno spazio vettoriale, prefascio, funtore Spec:CRing->Top, funtori di tipo Hom); funtori pieni e fedeli; trasformazioni naturali, composizione di trasformazioni naturali, la categoria funtoriale;
9 ottobre 2020: ulteriori esempi di trasformazioni naturali; equivalenze, esempi; funtori essenzialmente suriettivi sugli oggetti, se un funtore è parte di un'equivalenza allora è fedele, pieno, essenzialmente suriettivo sugli oggetti ;
12 ottobre 2020: (assunto l'assioma della scelta) se F è pieno, fedele ed essenzialmente suriettivo sugli oggetti, allora è parte di un'equivalenza; immersione di Yoneda (definizione, verifica che è ben definita); esempio del Lemma di Yoneda nel caso in cui la categoria C è quella associata ad un gruppo; enunciato Lemma di Yoneda, dimostrazione della biiezione;
16 ottobre 2020: applicazione del Lemma di Yoneda in Algebra lineare: eseguire un'operazione elementare sulle righe di una matrice equivale a moltiplicare a destra per una matrice ottenuta eseguendo l'operazione elementare sulla matrice identità; definizione di funtore rappresentabile, rappresentazione di un funtore, elemento universale;
20 ottobre 2020: esempi di funtori rappresentabili e corrispondenti rappresentazioni; oggetti finali, iniziali e zero oggetti (definizioni ed esempi); unicità ( ameno di isomorfismo unico) di oggetti finali (e dualmente di oggetti iniziali); prodotto di due oggetti di una categoria (definizione ed esempi); unicità (a meno di isomorfismo unico) del prodotto;
23 ottobre 2020: coprodotto (definizione, esempi, unicità a meno di iso unico); categoria coni /coconi su diagrammi; il dato di un cono è il dato di una trasformazione naturale; limiti e colimiti (definizione, unicità; esempi:oggetti finali, prodotto di due -o più- oggetti, (co)equalizzatore di due morfismi, (co(prodotto fibrato), una categoria localmente piccola ammette oggetti iniziali se e solo se il funtore identità ammette limite;
27 ottobre 2020: ogni diagramma con codominio la categoria degli insiemi ammette limite; monomorfismi e epimorfismi (definizione, esempio nel caso della categoria degli insiemi); mono/epimorfismi che spezzano; mono-/epimorfismi regolari; un epimorfismo che sia anche un monomorfismo regolare è un isomorfismo; oggetti iniettivi e proiettivi, il funtore C(A, -) è un oggetto proiettivo nella categoria funtoriale [C, Ins];
30 ottobre 2020: gruppi abeliani finitamente generati sono proiettivi se e solo se non hanno torsione; funtori aggiunti (definizione ed esempi: funtore spazio vettoriale libero\funtore dimenticante, funtore topologia discreta/funtore dimenticante, funtore dimenticante/funtore topologia banale); unità e counità verificano le identità triangolari;
3 novembre 2020: il dato di un'aggiunzione è equivalente al dato di due funtori assieme a due trasformazioni naturali che verificano le identità triangolari; il funtore abelinizzazione è aggiunto sinistro del funtore inclusione della categoria dei gruppi abeliani nella categoria dei gruppi; categoria associata ad uno spazio vettoriale con prodotto interno (trasformazioni lineari aggiunte tra spazi con prodotto interno forniscono coppie di funtori aggiunti tra le crrispondenti categorie); equivalenze aggiunte; ogni equivalenza può essere resa un'equivalenza aggiunta (avente la stessa unità);
6 novembre 2020: aggiunti sinistri tramite oggetti iniziali; aggiunti sinistri dello stesso funtore sono naturalmente isomorfi;
10 novembre 2020: aggiunti sinistri tramite limiti; ulteriori esempi di coppie di funtori aggiunti;
13 novembre 2020: moduli sinistri su un anello commutativo unitario (definizione, esempi: modulo banale, ideali di un anello commutativo unitario, gruppi abeliani come Z-moduli, spazi vettoriali come moduli su un campo, ... ); omomorfismi di moduli su un anello commutativo unitario (definizione, esempi: morfismo nullo, funzioni lineari tra spazi vettoriali); il modulo banale è un oggetto finale nella categoria degli A-moduli; sottomoduli (definizione, esempi: somma di sottomoduli, intersezione di sottomoduli, nucleo e immagine di un omomorfismo, sottomodulo di torsione); quoziente di un modulo per un sottomodulo (definizione, esempi: quoziente di un anello commutativo unitario per un suo ideale ,conucleo di un omomorfismo); Proprietà universale del nucleo di un omomorfismo di moduli e Teoremi di isomorfismo per moduli;
17 novembre 2020: somma diretta e prodotto diretto di una famiglia di A-moduli; criterio per un modulo per essere somma diretta di un numero finito di sottomoduli; sottomoduli generati da sottoinsiemi di un modulo dato; moduli finitamente generati; insiemi linearmente indipendenti; moduli liberi (esempio: spazi vettoriali; non esempio: Z/3Z); proprietà universale dei moduli liberi; isomorfismo tra moduli liberi con basi indicizzate da stesso insieme; un modulo M è finitamente generato se e solo se vi è epimorfismo da modulo libero A^n a M;
20 novembre 2020: duale di un A-modulo, morfismo da un modulo al suo doppio duale (iniettivo se A libero), ogni modulo libero e finitamente generato è iso al suo duale; c'è isomorfismo naturale tra funtore identità e funtore "doppio duale" nella categoria dei moduli liberi finitamente generati (che induce equivalenza tra categoria dei moduli liberi e fin. generati e la sua opposta); prodotto tensoriale di due moduli (esistenza e unicità); generalizzazione al caso di n moduli; proprietà elementari del prodotto tensoriale; l'endofuntore "prodotto tensoriale per un modulo fissato" ;
24 novembre 2020: funtore restrizione di scalari, se un anello B è A-mod finitamente generato, allora la restrizione di un B-modulo finitamente generato è a sua volta finitamente generato; funtore estensione di scalari, se un modulo è finitamente generato anche la sua estensione lo è; estensione di scalari è aggiunto sinistro a restrizione di scalari; aggiunzione "tensore per P", Hom(P,.); successioni esatte di moduli, successioni esatte corte, funtore esatto;
27 novembre 2020: il funtore AMod(P,.) è esatto a sinistra; se F ammette aggiunto destro, risp. sinistro, è esatto a destra, risp. sinistra; il funtore restrizione/estensione di scalari è esatto a sinistra/destra; il funtore "prodotto tensoriale per P" è esatto a destra; incollamento di opportune successioni esatte corte per ottenere una successine esatta lunga; moduli piatti (definizione, esempio degli Z-moduli ilberi finitamente generati, proposizione sulla caratterizazzione die moduli piatti); A-algebre (definizione, esempi)
1 dicembre 2020: ulteriori esempi di A-algebre; algebre di Lie (definizioni e esempi); ideali di un'algebra (definizione ed esempi), algebra quoziente; prodotto tensoriale di algebre associative; prodotto tensoriale di due A-algebre associative commutative unitarie è un coprodotto nella categoria della A-algebre associative, commutative e unitarie, algebre graduate (definizione, esempi, morfismi di algebre graduate); l'algebra tensoriale di un modulo (costruzione, proprietà universale) ;
4 dicembre 2020: il funtore "algebra tensoriale" è aggiunto sinistro del funtore dimenticante dalla categoria delle A-algebre associative unitarie e ZZ-graduate alla categoria degli A-moduli; l'algebra simmetrica di un A-modulo (costruzione, proprietà universale); il funtore "algebra simmetrica" è aggiunto sinistro del funtore dimenticante dalla categoria delle A-algebre associative unitarie commutative e ZZ-graduate alla categoria degli A-moduli;
11 dicembre 2020:algebra inviluppante universale (definizione, unicità, costruzione); algebre ZZ-filtrate (definizione, esempi); algebra graduata associata; enunciato Teorema di PBW ed esempio per sl2
15 dicembre 2020: Introduzione a teoria delle Rappresentazioni: moduli vs rappresentazioni per varie strutture algebriche (monoidi, gruppi, algebre associative/di Lie); morfismi di rappresentazioni/moduli; esempi; equivalenza di categorie tra rappresentazioni di un'algebra di Lie e della sua algebra universale inviluppante; equivalenza di categorie tra rappresentazioni di un gruppo e della sua algebra gruppo;
18 dicembre 2020: costruzioni: sottomoduli/sottorappresentazioni;, quozientiprodotti/coprodotti; decomposizione e riduzione (moduli decomponibili e riducibili definizioni ed esempi/controesempi); completa riducibilità per gruppi finiti (in caratteristica "buona"): Lemma di Schur (enunciato e dimostrazione)
22 dicembre 2020: corollario del lemma di Schur: le rappresentazioni irrudicibili di un'algebra commutativa unitaria e associativa su un campo algebricamente chiuso sono 1-dimensionali; l'algebra di Lie sl2 (definizione, generatori e relazioni, semplicità); rappresentazioni di sl2 (rappresentazione naturale e aggiunta, spazi peso, effetto degli operatori e ed f sugli spazi peso, vettori dipeso più alto; teorema di classificazione delle rappresentazioni irriducibili di dimensione finita di sl2